- •Розділ I. Лінійна алгебра
- •§1. Матриці. Різновиди матриць. Дії над матрицями
- •Дії над матрицями
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§ 2. Визначники, їх властивості.
- •Властивості визначників
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§3. Обернена матриця
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§4. Розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими за допомогою оберненої матриці та за правилом Крамера
- •Матричний метод
- •Метод Крамера
- •Завдання для самостійного розв’язування.
- •§5. Ранг матриці і його обчислення
- •Методом елементарних перетворень
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§6. Дослідження і розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими
- •Розв’язування систем m лінійних рівнянь з n невідомими методом Жордана-Гаусса
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Розділ іі. Аналітична геометрія
- •§1. Метод координат
- •§2. Елементи векторної алгебри
- •Основні означення
- •§3. Дії над векторами
- •Умова колінеарності
- •Скалярний добуток
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§4. Найпростіші задачі аналітичної геометрії
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§5. Рівняння лінії
- •§6. Пряма лінія
- •Дослідження загального рівняння прямої
- •Рівняння прямої, що проходить через дану точку паралельно даному вектору (канонічне рівняння прямої)
- •Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки
- •Рівняння прямої у відрізках на осях
- •Відстань від точки до прямої
- •Кутовий коефіцієнт прямої. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
- •Взаємне розташування двох прямих. Умова паралельності та перпендикулярності прямих
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§7. Перетворення системи координат
- •Паралельне перенесення
- •2. Поворот координатних осей
- •§8. Криві іі порядку
- •Характеристична властивість точок еліпса
- •Характеристична властивість точок м(х; у) гіперболи
- •Рівнобічна гіпербола
- •Характеристична властивість точок параболи (геометричне означення параболи).
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Відповіді:
Властивості визначників
Нижче сформулюємо і доведемо деякі властивості визначників 2–го порядку. Зазначимо, що всі ці властивості справедливі для визначників будь-якого порядку.
-
При транспонуванні визначник не змінюється.
Дійсно:
Наслідок. У визначнику рядки та стовпці мають однакові властивості (рівноправні), тому надалі у формулюваннях будемо говорити „ряд”, розуміючи під цим словом „елементи деякого рядка або деякого стовпця” визначника.
-
Якщо у визначнику поміняти місцями будь-які два паралельних ряди, то визначник змінить знак на протилежний.
-
Якщо визначник має два однакових паралельних ряди, то він дорівнює нулю.
-
Для того щоб помножити визначник на число, потрібно помножити на це число деякий один його ряд.
Наслідок 1. Спільний множник усіх елементів будь-якого ряду виноситься за знак визначника.
Наслідок 2. Визначник, у якому є нульовий ряд, дорівнює нулю.
Наслідок 3 (із властивостей 3, 4). Визначник, у якого є два паралельних пропорційних ряди, дорівнює нулю.
-
Якщо у визначнику елементи деякого ряду є сумою двох доданків, то він дорівнює сумі двох визначників, наприклад:
-
Визначник не зміниться, якщо до всіх елементів будь-якого ряду додати відповідні елементи паралельного ряду, помножені на одне й те ж число.
Дійсно, застосувавши попередні властивості, отримаємо:
.
Зауваження. Властивість 6 дозволяє перетворювати в нуль деякі елементи визначника, не змінюючи його. Це часто застосовують для спрощення обчислень.
Наприклад, обчислити визначник .
„Зробимо” якомога більше нульових елементів, наприклад у 1–ому стовпці. Для цього працюємо з 2–им рядком (оскільки є елемент, рівний 1): домножимо його на 2 і додамо до 1–го рядка, а потім домножимо його на 3 і додамо до 3–го і 4–го рядків.
|
·3 |
|
|
|
||
2· |
= |
= |
|
= – = – = –2·A33 = –2·(–1)3+3·M33=
= – 2· = –2 · (5 · 18 – 21 · 4) = –2 · (90 – 84) = –12
-
Сума добутків елементів будь-якого ряду визначника на алгебраїчні доповнення елементів паралельного ряду дорівнює нулю (іноді цю властивість називають другою теоремою розкладу визначника).
Дійсно, якщо , то, наприклад,
-
Визначник добутку двох квадратних матриць одного порядку дорівнює добутку їх визначників.
-
Визначник трикутної (верхньої або нижньої), діагональної матриці дорівнює добутку діагональних елементів:
.
Зокрема, визначник одиничної матриці дорівнює одиниці:
.
Завдання для самостійного розв’язування
2.1. Обчислити визначники:
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) ; |
д) . |
2.2. Обчислити визначники.
а) ; |
б) ; |
в) . |
Відповіді:
2.1. а) –11; б) 3; в) 10; г) 17; д) 0.
2.2. а) 0; б) 153; в) –72.