- •Розділ I. Лінійна алгебра
- •§1. Матриці. Різновиди матриць. Дії над матрицями
- •Дії над матрицями
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§ 2. Визначники, їх властивості.
- •Властивості визначників
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§3. Обернена матриця
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§4. Розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими за допомогою оберненої матриці та за правилом Крамера
- •Матричний метод
- •Метод Крамера
- •Завдання для самостійного розв’язування.
- •§5. Ранг матриці і його обчислення
- •Методом елементарних перетворень
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§6. Дослідження і розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими
- •Розв’язування систем m лінійних рівнянь з n невідомими методом Жордана-Гаусса
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Розділ іі. Аналітична геометрія
- •§1. Метод координат
- •§2. Елементи векторної алгебри
- •Основні означення
- •§3. Дії над векторами
- •Умова колінеарності
- •Скалярний добуток
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§4. Найпростіші задачі аналітичної геометрії
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§5. Рівняння лінії
- •§6. Пряма лінія
- •Дослідження загального рівняння прямої
- •Рівняння прямої, що проходить через дану точку паралельно даному вектору (канонічне рівняння прямої)
- •Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки
- •Рівняння прямої у відрізках на осях
- •Відстань від точки до прямої
- •Кутовий коефіцієнт прямої. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
- •Взаємне розташування двох прямих. Умова паралельності та перпендикулярності прямих
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§7. Перетворення системи координат
- •Паралельне перенесення
- •2. Поворот координатних осей
- •§8. Криві іі порядку
- •Характеристична властивість точок еліпса
- •Характеристична властивість точок м(х; у) гіперболи
- •Рівнобічна гіпербола
- •Характеристична властивість точок параболи (геометричне означення параболи).
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Відповіді:
§3. Обернена матриця
Повернемось до операції ділення матриць (яку визначимо як добуток на обернену матрицю).
Нехай – квадратна матриця порядку .
Означення. Матриця називається оберненою до матриці , якщо
- одинична матриця.
Зауваження. Очевидно, що – квадратна матриця того ж порядку, що і .
Означення. Квадратна матриця називається невиродженою, якщо її визначник . У противному разі матриця називається виродженою.
Справедлива така
Теорема. Для існування оберненої матриці до квадратної матриці необхідно і достатньо, щоб її визначник (тобто матриця повинна бути невиродженою).
Схема знаходження оберненої матриці
-
Знаходимо визначник матриці . Якщо , якщо ж - вироджена, і не .
-
Знаходимо – алгебраїчні доповнення усіх елементів визначника.
-
Записуємо обернену матрицю:
.
4. Якщо потрібно, виконуємо перевірку:
(або ).
Наприклад, знайти обернену для матриці
.
Розв’язування.
1. . .
2. Знаходимо алгебраїчні доповнення :
; ;
; ;
; ;
; ;
.
3. Записуємо обернену матрицю:
.
4. Перевірка:
Завдання для самостійного розв’язування
3.1. Для даної матриці знайти обернену матрицю , якщо існує.
а); б) ; в) ; г) .
Відповіді:
3.1. а); б) ;
в) ; г) Не існує.
§4. Розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими за допомогою оберненої матриці та за правилом Крамера
Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) з невідомими:
(*).
Означення . Розв’язком СЛАР (*) називається упорядкована множина дійсних чисел , яка при підстановці у систему замість невідомих перетворює її в систему тотожностей.
Матричний метод
Позначимо:
, , .
Тут: – матриця коефіцієнтів при невідомих (основна матриця системи);
– матриця-стовпець невідомих;
– матриця-стовпець вільних членів (правих частин).
Тоді СЛАР (*) можна записати у вигляді матричного рівняння:
.
Якщо , то існує . Домножимо обидві частини матричного рівняння зліва на . Одержимо:
,
,
.
Отже, справедлива така
Теорема. Якщо визначник основної матриці СЛАР (*) відмінний від нуля , то система має єдиний розв’язок, який знаходиться як добуток оберненої до матриці на матрицю–стовпець вільних членів .
Приклад. Розв’язати за допомогою оберненої матриці СЛАР:
.
Розв’язування.
1. Позначимо:
– матриця коефіцієнтів при невідомих;
– матриця-стовпець невідомих;
– матриця-стовпець вільних членів.
2. Запишемо систему у вигляді матричного рівняння .
3. Обчислимо : система має єдиний розв’язок. Оскільки , то існує обернена матриця .
Знайдемо її:
Отже, .
Таким чином,
.
Відповідь: , .
Метод Крамера
Означення . Основним визначником СЛАР (*) називається визначник матриці коефіцієнтів при невідомих .
Справедлива така
Теорема (правило Крамера). Якщо основний визначник СЛАР (*) , то система має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами:
; ; …; ,
де визначники отримуємо із заміною -го стовпця коефіцієнтів при невідомій на стовпець вільних членів.
Приклад. Розв’язати систему рівнянь за правилом Крамера.
.
Розв’язування.
, .
Оскільки , то система має єдиний розв’язок, що знаходиться за правилом Крамера:
, .
; .
Перевірка: .
Відповідь: .