- •Розділ I. Лінійна алгебра
- •§1. Матриці. Різновиди матриць. Дії над матрицями
- •Дії над матрицями
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§ 2. Визначники, їх властивості.
- •Властивості визначників
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§3. Обернена матриця
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§4. Розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими за допомогою оберненої матриці та за правилом Крамера
- •Матричний метод
- •Метод Крамера
- •Завдання для самостійного розв’язування.
- •§5. Ранг матриці і його обчислення
- •Методом елементарних перетворень
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§6. Дослідження і розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими
- •Розв’язування систем m лінійних рівнянь з n невідомими методом Жордана-Гаусса
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Розділ іі. Аналітична геометрія
- •§1. Метод координат
- •§2. Елементи векторної алгебри
- •Основні означення
- •§3. Дії над векторами
- •Умова колінеарності
- •Скалярний добуток
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§4. Найпростіші задачі аналітичної геометрії
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§5. Рівняння лінії
- •§6. Пряма лінія
- •Дослідження загального рівняння прямої
- •Рівняння прямої, що проходить через дану точку паралельно даному вектору (канонічне рівняння прямої)
- •Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки
- •Рівняння прямої у відрізках на осях
- •Відстань від точки до прямої
- •Кутовий коефіцієнт прямої. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
- •Взаємне розташування двох прямих. Умова паралельності та перпендикулярності прямих
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§7. Перетворення системи координат
- •Паралельне перенесення
- •2. Поворот координатних осей
- •§8. Криві іі порядку
- •Характеристична властивість точок еліпса
- •Характеристична властивість точок м(х; у) гіперболи
- •Рівнобічна гіпербола
- •Характеристична властивість точок параболи (геометричне означення параболи).
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Відповіді:
Завдання для самостійного розв’язування
4.1. Знайти відстань від точки до початку координат.
-
Знайти довжини сторін трикутника, якщо відомі координати його вершин , , .
-
Відрізок між точками і розділений на п’ять рівних частин. Знайти координати точок поділу.
-
Знайти координати кінця відрізка , якщо його початок – точка , а його середина – точка .
-
Знайти точку перетину медіан трикутника, якщо відомі його вершини: , , .
-
Обчислити довжину медіан трикутника, якщо відомі його вершини: , , .
-
Задані вершини трикутника: а) , , ;
б) , , ; в) , , .
Знайти точку перетину бісектриси кута з протилежною стороною .
Відповіді: 4.1. . 4.2. . 4.3. , , , . 4.4. . 4.5. . 4.6. , , . 4.7. а) ; б) ; в) .
§5. Рівняння лінії
Найважливішим поняттям аналітичної геометрії є рівняння лінії.
Лінія – це геометрична множина точок, які мають певну властивість.
Наприклад, геометрична множина точок, рівновіддалених від двох заданих точок – це пряма (серединний перпендикуляр), а геометрична множина точок, рівновіддалених від однієї точки – це коло.
Рівняння лінії на площині – це рівняння , яке за допомогою певного закону або правила пов’язує змінні та .
Основне означення аналітичної геометрії. Рівняння вигляду є рівнянням лінії на площині , якщо координати кожної точки, що належить лінії , задовольняють це рівняння, а координати кожної точки, яка не належить лінії , не задовольняють рівняння .
Виходячи з цього означення, виникають такі основні задачі аналітичної геометрії:
-
Дано рівняння деякої лінії. Треба за даним рівнянням знайти відповідний геометричний образ.
-
Дана лінія, як множина точок, які мають певну геометричну властивість. Треба скласти рівняння цієї лінії.
-
Задані рівняння двох ліній. Треба знайти точки перетину цих ліній або встановити, що задані лінії не перетинаються.
Приклад 1. Дано рівняння лінії : .
y x Очевидно, геометричним образом даного рівняння є множина точок прямої (рис. 1). Наприклад, ; ; ;
|
.
1
1 2 Рис. 1 |
Приклад 2. Скласти рівняння кола радіуса з центром у точці . Візьмемо довільну точку на колі. Як відомо, точки кола рівновіддалені від центра на відстань , тобто (рис. 2). За формулою відстані між двома точками:
,
або – рівняння шуканого кола.
|
М(х; у)
Рис. 2 |
Приклад 3. Знайти точки перетину двох ліній:
а) та ; б) та .
Розв’язування. а) з основного означення аналітичної геометрії випливає, що координати точок перетину ліній повинні задовольняти систему рівнянь цих ліній:
.
Отже, маємо дві точки перетину та (рис. 3).
б) Пряма лінія і коло не мають спільних точок, оскільки система не має розв’язків (рис. 4).
у
у х 0
Рис. 3 |
х 0 1 2
Рис. 4 |