- •Розділ I. Лінійна алгебра
- •§1. Матриці. Різновиди матриць. Дії над матрицями
- •Дії над матрицями
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§ 2. Визначники, їх властивості.
- •Властивості визначників
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§3. Обернена матриця
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§4. Розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими за допомогою оберненої матриці та за правилом Крамера
- •Матричний метод
- •Метод Крамера
- •Завдання для самостійного розв’язування.
- •§5. Ранг матриці і його обчислення
- •Методом елементарних перетворень
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§6. Дослідження і розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими
- •Розв’язування систем m лінійних рівнянь з n невідомими методом Жордана-Гаусса
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Розділ іі. Аналітична геометрія
- •§1. Метод координат
- •§2. Елементи векторної алгебри
- •Основні означення
- •§3. Дії над векторами
- •Умова колінеарності
- •Скалярний добуток
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§4. Найпростіші задачі аналітичної геометрії
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§5. Рівняння лінії
- •§6. Пряма лінія
- •Дослідження загального рівняння прямої
- •Рівняння прямої, що проходить через дану точку паралельно даному вектору (канонічне рівняння прямої)
- •Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки
- •Рівняння прямої у відрізках на осях
- •Відстань від точки до прямої
- •Кутовий коефіцієнт прямої. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
- •Взаємне розташування двох прямих. Умова паралельності та перпендикулярності прямих
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§7. Перетворення системи координат
- •Паралельне перенесення
- •2. Поворот координатних осей
- •§8. Криві іі порядку
- •Характеристична властивість точок еліпса
- •Характеристична властивість точок м(х; у) гіперболи
- •Рівнобічна гіпербола
- •Характеристична властивість точок параболи (геометричне означення параболи).
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Відповіді:
Відстань від точки до прямої
Відстань від точки до прямої обчислюється за формулою:
(4)
Приклад 1. Знайти відстань від точки до прямої .
Розв’язування. За формулою (4) отримуємо:
.
Приклад 2. Задані вершини трикутника , , . Знайти довжину висоти, яка проведена з вершини .
Розв’язування. Знайдемо довжину висоти як відстань від точки до прямої . Рівняння знайдемо за формулою (3):
; ; .
Отже, довжина висоти дорівнює:
.
Кутовий коефіцієнт прямої. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
Кутом нахилу прямої до осі Оx називається кут , на який потрібно повернути в додатному напрямку (проти годинникової стрілки) вісь Ох до тих пір, доки вона не співпаде або не стане паралельною до даної прямої.
Тангенс кута нахилу називається кутовим коефіцієнтом прямої і позначається , тобто
.
Якщо пряма не паралельна осі Oy і на цій прямій задані будь-які дві
N |
точки і , то кутовий коефіцієнт прямої обчислюється за формулою: . Дійсно, у прямокутному трикутнику .
|
Зауваження 1. Якщо пряма буде паралельна до осі ординат (тобто ), то , отже, кутовий коефіцієнт неможливо визначити.
Приклад. Нехай , – точки прямої . Тоді її кутовий коефіцієнт: .
Розглянемо загальне рівняння прямої . Якщо , то пряма не паралельна осі ординат. Розв’яжемо це рівняння відносно : . Позначимо , .
Отримуємо: – рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, де – кутовий коефіцієнт прямої, – відрізок, який відтинає пряма на осі ординат.
Наслідок. Графіком лінійної функції є пряма.
Приклад 1. Звести загальне рівняння прямої до рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.
Розв’язування. Розв’язуємо дане рівняння відносно :
. Отримаємо . Отже, .
Приклад 2. Скласти рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом , якщо вона проходить через точку .
Розв’язування. Підставляючи в рівняння координати точки і значення кутового коефіцієнта , знаходимо :
. Звідси . Отже, .
Взаємне розташування двох прямих. Умова паралельності та перпендикулярності прямих
Кутом між двома прямими називається найменший кут, на який потрібно повернути проти годинникової стрілки одну пряму так, щоб вона співпала або стала паралельною іншій прямій.
|
Як видно, , тоді .
Якщо прямі задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом:
|
||
, , |
то і |
, . |
Кут між двома прямими можна також знаходити як кут між векторами нормалі і (або напрямними векторами і ) цих прямих. Отже:
Якщо прямі задані загальними рівняннями
, , |
то , (*) |
і ; .
Якщо прямі задані у канонічному вигляді,
, , |
то , (**) |
і ; .
Приклад.
Знайти кут між прямими: а) і .
б) і ; в) і .
Розв’язування.
а) за формулою (*) :
; .
б) За формулою (**) :
,
, тобто прямі перпендикулярні.
в) , , оскільки , то , тобто прямі паралельні.