4. Взаимная перпендикулярность прямой и плоскости, двух плоскостей, двух прямых

4.1. Общие сведения

Перпендикулярность прямой и плоскости - частный случай пересечения прямой с плоскостью.

Прямая перпендикулярна плоскости в том случае, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости. В качестве пересекающихся прямых следует использовать горизонталь и фронталь плоскости. На основании теоремы о проекции прямого угла на плоскость горизонтальная проекция перпендикуляра проецируется перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция перпендикуляра - перпендикулярно фронтальной проекции фронтали.

На рис.15 прямая l перпендикулярна плоскости заданной треугольником ABC. Следовательно, на фронтальной плоскости проекций П₂ фронтальная проекция прямой (l₂) перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (f₂), а горизонтальная проекция прямой (l₁) перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали (h₁).

Рис. 15

Определение расстояний от точки до плоскости в начертательной геометрии осуществляют на основании свойства перпендикулярности прямой и плоскости. Решение задачи распадается на три этапа:

1. в плоскости проводят горизонталь и фронталь (на рис.16 плоскость задана горизонталью и фронталью);

2. из точки А опускают перпендикуляр l на плоскость (l₂  f₂, l₁  h₁);

3. построить точку К пересечения перпендикуляра l с плоскостью:

а) l  ,   П₂;

б)    = [1- 2];

в) [l-2]  l = K

4. методом прямоугольного треугольника определить натуральную величину отрезка АК (отрезок А°К₂).

Рис. 16

Если же требуется найти точку X, удаленную от плоскости на определенное расстояние, то необходимо:

1. из точки А (рис.17), расположенной в плоскости треугольника ABC, восставить перпендикуляр AM произвольной длины (А₂М₂  f₂ ,А₁М₁  h₁);

2. методом прямоугольного треугольника найти натуральную величину перпендикуляра AM (A₁M);

3. на отрезке A₁M от точки A₁ отложить отрезок A₁L° = 30 мм и спроецировать точку L° на проекции перпендикуляра (проекции A₁L₁ и A₂L₂).

Рис. 17

Две плоскости перпендикулярны, если одна из них содержит перпендикуляр к другой плоскости.

На рис.18 плоскость  заданная пересекающимися прямыми l и k, перпендикулярна плоскости , заданной следами. Прямая l является перпендикуляром к плоскости , а прямая к - прямой общего положения:

   (l  k), т.к. l   (l₁  h₁, l₂  f₂).

Рис. 18

4.2. Примеры решения задач

Задача №1. Через прямую DE провести плоскость перпендикулярную ABC. Построить линию пересечения плоскостей, обозначив видимость (пример на рис. 19).

Рис. 19

Решение задачи состоит из трех этапов.

1. Для построения плоскости, перпендикулярной к плоскости АВС и проходящей через прямую DE, необходимо через точку D провести прямую, перпендикулярную к фронтали и горизонтали DL. Эти две пересекающиеся прямые составляют плоскость, перпендикулярную к плоскости АВС.

2. Строят линию пересечения двух плоскостей способом построения точек пересечения прямой с плоскостью (определение точки К). Прямую DL заключают во фронтально-проецирующую плоскость П₂ и определяют линию пересечения плоскостей Р и АВС – это линия 12. Точка К – точка пересечения линий DL и 12. Прямую DЕ заключают в горизонтально-проецирующую плоскость Q и определяют линию пересечения плоскостей Q и АВС – это линия 34. Точка М – результат пересечения линий DЕ и 34. Прямая КМ является линией пересечения плоскостей.

3. Определяют видимость пересекающихся плоскостей методом конкурирующих точек. Для этого выбирают две скрещивающиеся на фронтальной плоскости проекций прямые DL и АВ. Точки 1 и 5, принадлежащие им, совпадают. Видимой будет та точка, у которой координата Y больше. Значит, на фронтальной плоскости проекций прямая DL до линии пересечения будет видима. Для определения видимости на горизонтальной плоскости проекций выбирают две точки 4 ≡ 6 принадлежащие DE и СВ, координата Z точки 4 больше – значит, прямая CВ до линии пересечения будет видимой.

Выполнил студент

________________________________

Группа

__________________