2.2. Примеры решения задач

Задача 1. Построить прямую, проходящую через точки А и В. Определить положение прямой относительно плоскостей проекций. Построить следы прямой.

Чтобы построить горизонтальный (фронтальный) след прямой, нужно продолжить фронтальную (горизонтальную) проекцию прямой до пересечения с осью Ox и, учитывая принадлежность точки прямой, достроить недостающие проекции (по соответствующим линиям связи) (рис.8).

а) А (50, 5, 20); В (20, 12, 5)

Рис. 8а

AB - прямая общего положения;

M - горизонтальный след;

N - фронтальный след.

б) А (20, 5, 40); В (20, 25, 10)

Рис.8б

AB - прямая частного положения, прямая уровня, профильная прямая;

M - горизонтальный след;

N - фронтальный след;

β - угол наклона к плоскости П₂;

γ - угол наклона к плоскости П₁.

Задача №2. По координатам двух точек построить проекции отрезка АВ, заданного координатами его концов: А (25; 30; 40), В (15; 50; 5).

Для нахождения горизонтальной проекции А₁ точки А откладываем от начала координат в положительном направлении оси Ох (от точки 0 влево) значение х=25мм и определяем точку А_Х, а на положительном направлении оси Oy откладываем значение у=30 (от точки 0 вниз) и определяем положение точки А_У.

Пересечение перпендикуляров, проведенных через точки А_Х и А_У к соответствующим осям Ох и Оy, укажет положение горизонтальной проекции точки А₁.

Зная, что горизонтальная проекция А₁ и фронтальная проекция А₂ лежат на одной линии связи, которая перпендикулярна оси Ох, и фронтальная проекция удалена от оси Ох на величину аппликаты z=40, определяем положение фронтальной проекции точки А, т.е. А₂. Фронтальная проекция А₂ и профильная проекция А₃ также лежат на одной линии связи, которая перпендикулярна оси Oz, и профильная проекция удалена от оси Oz на величину ординаты y=30.

Аналогично находим положение горизонтальной, фронтальной и профильной проекций точки В.

Соединив А₁ с В₁, получаем горизонтальную проекцию отрезка АВ, А₂ с В₂ – фронтальную проекцию отрезка, а А₃ с В₃ – профильную проекцию отрезка (рис. 9).

Рис. 9

Задача №3. Определить натуральную величину отрезка АВ и углы его наклона к плоскостям проекций П₁, П₂ и П₃.

Натуральная величина отрезка, лежащего на прямой общего положения, равна гипотенузе прямоугольного треугольника, одним катетом которого является проекция на одну из плоскостей проекций, а другим - разность расстояний концов отрезка от этой же плоскости.

Угол между катетом–проекцией и гипотенузой прямоугольного треугольника равен истинной величине угла наклона отрезка к той плоскости проекций, на которой выполнены построения.

Рис. 10

1. На рис.10 длина отрезка АВ и угол , составленный прямой АВ с плоскостью П₁, определены из прямоугольного треугольника, который построен следующим образом:

1.1. Горизонтальная проекция отрезка АВ – А₁В₁ является одним катетом треугольника. Из любой точки этого катета (из точки А₁ или В₁) проводим прямую, перпендикулярно А₁В₁.

1.2. Определяем разницу координат z для точек А и В (z_B - z_A = z) – это и есть второй катет прямоугольного треугольника, откладываем его от точки А и получаем точку А₀.

1.3. Гипотенуза А₀ B₁ есть натуральная величина отрезка АВ, а угол , заключенный между горизонтальной проекцией отрезка А₁В₁ и натуральной величиной данного отрезка, есть угол наклона отрезка АВ к плоскости П₁.

2. На рис.10 длина отрезка АВ и угол, составленный прямой АВ с плоскостью П₂, определены из прямоугольного треугольника, построенного на фронтальной проекции А₂В₂ при втором катете А₂А₀ , равном разности координат y для точек А и В (y_A - y_B = y).

Гипотенуза В₂А₀ и есть натуральная величина отрезка АВ, а угол , заключенный между фронтальной проекцией отрезка А₂В₂ и натуральной величиной данного отрезка, есть угол наклона отрезка АВ к плоскости П₂.

3. На рис.10 длина отрезка АВ и угол , составленный прямой АВ с плоскостью П₃, определены из прямоугольного треугольника, построенного на профильной проекции А₃В₃ при втором катете В₃В₀ , равном разности координат х для точек А и В (х_A – х_B = х).

Гипотенуза А₃В₀ есть натуральная величина отрезка АВ, а угол , заключенный между профильной проекцией отрезка А₃В₃ и натуральной величиной данного отрезка, есть угол наклона отрезка АВ к плоскости П₃.

Выполнил студент

________________________________

Группа

__________________