3.2. Примеры решения задач

Задача №1. Найти точку пересечения прямой m c плоскостью S(АВС) (рис. 13).

Рис. 13

Решение задачи состоит из трех этапов.

1. Прямую m заключают во вспомогательную плоскость . В данном случае выбрали горизонтально проецирующую плоскость (можно заключить и во фронтально проецирующую плоскость).

2. Строят линию пересечения плоскостей  и . Ее находят в пересечении двух прямых АВ и ВС, принадлежащих плоскости , с плоскостью . АВ   = 1, ВС   = 2. Линией пересечения плоскостей  и  является прямая (1-2).

3. Находят точку пересечения линий m и (1-2). Вначале определяют фронтальную проекцию искомой точки К – К₂, затем с помощью линии проекционной связи находят ее горизонтальную проекцию – К₁. В точке К прямая m пересекает плоскость .

Определим видимость прямой линии, применяя способ конкурирующих точек. Если смотреть по направлению проецирующей прямой, то можно увидеть ту из конкурирующих точек, которая наиболее удалена от плоскости проекций, или наиболее близко расположена к наблюдателю.

Так, на горизонтально-проецирующей прямой (1-3), находятся точки 1 и 3, принадлежащие прямым m и АВ. Точка 1 принадлежит стороне АВ треугольника, точка 3 принадлежит прямой m. По фронтальным проекциям 1₂ и 3₂ этих точек устанавливаем, что точка 1 расположена дальше, чем точка 3 относительно плоскости проекций П₁. Следовательно, на участке (3-K) прямая линия m (если смотреть на горизонтальную плоскость проекций П₁) находится под плоскостью треугольника, т.е. закрыта этим треугольником. Условно горизонтальную, проекцию прямой m₁ на участке (3₁-К₁) покажем штриховой линией.

Чтобы определить видимость прямой относительно фронтальной плоскости проекций, воспользуемся фронтально-проецирующей прямой (4-5). Здесь точка 5 принадлежит стороне ВС треугольника, а точка 4 – прямой m. По местоположению горизонтальных проекций этих точек

устанавливаем, что точка 5 ближе к наблюдателю, чем точка 4. Поэтому на участке (К-4) (если смотреть на фронтальную плоскость проекций П₂) прямая m закрыта треугольником и является невидимой. Условно на участке (К₂-4₂) проекцию m₂ прямой покажем штриховой линией.

Задача №2. По заданным координатам построить комплексный чертеж пересечения двух плоскостей. Определить видимость.

Плоскости ABC и DEF являются плоскостями общего положения (рис. 14). Заключим фронтальную проекцию FD в вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость α, которая пересекает треугольник ABC по отрезку 1-2. 1₁-2₁ ∩ F₁ D₁ = K₁. Находим K₂.

Введем вторую вспомогательную секущую плоскость β. Заключим горизонтальную проекцию AC в горизонтально-проецирующую плоскость β.  ∩ DEF = 3-4. 3₂-4₂ ∩ A₂ C₂ = L₂. Находим L₁.

Точки K и L принадлежат линии пересечения заданных плоскостей, поэтому отрезок KL является искомым.

Видимость линий определяем с помощью конкурирующих точек.

Рис. 14

Выполнил студент

________________________________

Группа

__________________