14.3. Орбітальний рух супутників. Ефемериди

Під незбуреним (кеплеровим) рухом супутника розуміють його рух під впливом тільки сили притягання Землі. У відповідності із другим законом Ньютона рух центра мас супутника в інерціної системі координат X₀Y₀Z₀ описується рівнянням:

де F - вектор сили притягання Землі, m - маса супутника, g - вектор доцентрового прискорення, або

Рис. 14.10. Орієнтація орбітальної площини

де k =6,672◦10^-11 м³/кгс² - універсальна гравітаційна постійна; M = 5,974242 ◦ 10²⁴ кг - маса Землі; r - відстань від центру Землі до супутника; μ=kM=3,9860044 м³/c² – геоцентрична гравітаційна постійна Земля.

Відповідно до першого закону Кеплера, будь-яка траєкторія супутника, що рухається в поле тяжіння Землі, лежить у нерухомій площині, так називаної орбітальної площини, що проходить через центр тяжіння, і являє собою криву другого порядку, в одному з фокусів якої перебуває центр притягання.

Орієнтацію орбітальної площини характеризують її положенням щодо екваторіальної площини ХОY (рис. 14.10). Лінію перетинання цих площин називають лінією вузлів. Вузлами орбіти супутника є точки перетинання орбіти з екваторіальною площиною. Вузол U, що відповідає руху супутника з південної небесної півсфери в північну називають висхідної, а вузол D, що відповідає руху з північної небесної півсфери в південну - спадної.

Положення площини орбіти супутника щодо екваторіальної площини визначають два орбітальних елементи — довгота висхідного вузла Ω и нахилення орбіти i. Кут Ω відраховує в екваторіальній площині від осі X до лінії вузлів і може змінюватися в межах від 0° до 180°. При i=90° орбіта називається полярної, при i=0° — екваторіальної, в інших випадках — похилої.

Рівняння орбіти супутника в орбітальній площині в полярнiй системі координат (r₀, v) із центром, що збігається із центром Землі, має вигляд:

P

r = ------------------,

1+e cos(v-v₀)

де Р - фокальний параметр, е - ексцентриситет, v₀ - кут між позитивним напрямком полярної осі й фокальною віссю.

На рис. 14.11 наведена еліптична орбіта супутника. В одному з фокусів еліпса перебуває Земля. Пряму лінію, що проходить через фокуси еліпса, називають лінією апсид. Точки перетинання цієї лінії з еліпсом називають апсидами. Точку, найближчу до Землі, називають перицентром або перигеєм (П), а вилучену - апоцентром або апогеєм (А). Орієнтація орбіти в орбітальній площині характеризується кутом перигею (аргументом) і»п між напрямком на перигей і лінією вузлів.

Розміри орбіти супутників характеризуються наступними параметрами:

велика піввісь еліпса:

Р

а = -------------,

1 - е²

лінійний ексцентриситет:

d = a·e

Якщо супутник рухається строго відповідно до законів Кеплера (при відсутності впливів, що обурюють), то п'ять параметрів орбіти Ω, i, w_п, р, е постійні й не міняються при русі супутника, а шостий параметр v (щира аномалія) характеризує положення супутника на орбіті в кожен фіксований момент часу t_k. Час t_k, що характеризує знаходження супутника в конкретній точці орбіти, називається епохою.

Рис. 14.11. Еліптична орбіта супутника

Час знаходження супутника в якій-небудь характерній точці орбіти має власну назва, наприклад, час перигею t_п.

У зв'язку з тим, що генератори частоти, установлені на кожному супутнику, мають деякі погрішності, то показання годин на супутнику відрізняється від часу GPS З метою приведення часу супутника в систему часу GPS необхідно обчислити й увести виправлення в годинники супутника, використовуючи поліноміальні коефіцієнти, які передаються в супутниковому повідомленні. Час супутника виправляють на величину ∆t₃:

t = t_{3 -} ∆t_3,

де ∆t₃ = a₀ + a₁ (t – t_oc) + a₂(t – t_oc)

Обчислюють проміжок часу від опорної епохи до моменту даного виміру:

t_k = t – t_oc

У подальших розрахунках будуть потрібні наступні константи:

ω_e = 7,2921151467◦10^-3 рад/c - кутова iнерцiйна швидкість обертання Землі;

μ = 3986005◦10⁸ м³/с² - гравітаційний параметр Землі;

π = 3,1415926535898 - точне значення числа .

Середній рух на момент t_oc обчислюється за формулою:

а скоректований середній рух дорівнює:

Середня аномалія обчислюється за формулою:

а ексцентричну аномалію на момент випромінювання сигналу знаходять, використовуючи рівняння Кеплера:

Це завдання вирішується ітераціями, скориставшись тим, що ексцентриситет орбіт супутника малі (е≤0,001), у першому наближенні приймають:

а потім уточнюють за формулою:

потім обчислюють істинну аномалію по формулах:

Наближення до аргументу широти дорівнює:

У зв'язку з тим, що супутник рухається по збуреній орбіті, у зв'язку з нерівномірним розподілом мас у тілі Землі, сонячним тиском Сонця на супутник й ін., у навігаційному повідомлені супутника, крім шести параметрів Кеплера, утримується 9 коригувальних виправлень.

Коригувальне виправлення до аргументу широти обчислюють за формулою:

Аргумент широти на момент випромінювання дорівнює:

Коригувальне виправлення до радіуса-вектора обчислюють за

формулою:

Радіус-вектор на момент t_k обчислюють за формулою:

Знайдені величини r_k й Е_k дозволяють обчислити координати супутника в площині оскулiруючої орбіти:

Корекцію за нахил орбіти до площини екватора обчислюють за формулою:

а нахил орбіти до площини екватора дорівнює:

Довготу вузла на момент t_k обчислюють за формулою:

Координати супутника в системі координат WGS-84 можуть бути отримані але наступні формули:

Під ефемеридами супутників розуміють прогнозовані координати положення супутників на момент часу, що цікавить споживача. Стосовно до супутникових навігаційних систем ефемериди супутників складаються із двох частин:

- математичної моделі руху супутників, що опублікована в науковій літературі;

- параметрів математичної моделі, які передаються в навігаційному повідомленні супутника.

Оскільки описати з високою точністю реальний рух супутників не вдається навіть при наявності настільки значної кількості коефіцієнтів, те прогнозовану орбіту супутника розбивають на інтервали тривалістю 1 ч. Щогодини в навігаційному повідомленні обновляються всі параметри й коригувальні коефіцієнти.