Решим полученное квадратное уравнение.

.

Таким образом, получили расчетные формулы для вычисления двух параметров частного случая гиперэкспоненциального закона. Покажем на рис.12.4 в графическом виде функции плотности распределений случайных чисел, распределенных по гиперэкспоненциальным законам.

6. Метод моментов. Специальный эрланговский закон.

Специальное эрланговское распределение состоит из к последовательно соединенных фаз, в каждой из которых распределение случайных величин подчиняется экспоненциальному закону с одинаковой интенсивностью к. Структурная схема:

к к к

…

Закон определяется всего двумя параметрами, которые можно вычислить по упрощенной процедуре:

Преобразовав полученные математические выражения и подставив вместо моментов их оценки получим формулы для вычисления параметров специального эрланговского закона.

Функция плотности СЭР представлена на рис. 12.7.

Для СЭР 1, т.к. к>0. Чем больше к, тем меньше отношение и тем более сжато специальное эрланоговское распределение. При к =16 таким распределением можно представить вырожденное распределение, у которого постоянное время задержки.

Область существования специального эрланговского закона представлена на рис.12.8, она расположена ниже экспоненциального закона. Например, при к=2 и m₁=5, σ=3,55.

Рис. 12.8. Область существования специального эрланговского закона распределения случайных чисел

При к=3 и m₁=10, σ=5,75.

При к=16 и m₁=10, σ=23,5.

7. Метод обратной функции. Достоинства и недостатки.

Аналитические методы используют метод обратной функции. Аргумент при его применении откладывают по оси y а функцию снимают с оси x. Применение метода представлено на рис.14.8.

Применение метода обратной функции основано на теореме. Если

случайная величина Х имеет функцию плотности f(x), то случайная величина распределена равномерно в диапазоне от 0 до 1 и для вычисления j-го случайного числа используется формула:

,

то есть нужно получить формулу для вычисления x_j, если нам известно значение r_j. Этот интеграл не берется в общем виде и его можно вычислить для каких-то конкретных законов. Например, для равномерного закона, распределенного в диапазоне от a до b.

;

.

Таким образом, мы получили формулу для перерасчета случайных чисел из диапазона от 0 до 1 в диапазон от а до b. Для экспоненциального закона:

; (14.9)

. (14.10)

Достоинства и недостатки аналитического метода генерации случайных чисел

1.Метода реализуется сравнительно несложными программными процедурами.

2.Аналитический метод не имеет методической ошибки , но в полученные с его помощью формулы входят процедуры, требующие определенных затрат машинного времени.