4. Метод моментов. Экспоненциальный закон.

Суть метода моментов заключается в приравнивании оценок моментов, вычисленных по экспериментальным данным, соответствующим им моментам, вычисленным по функции плотности. Качество представления рекомендуется оценивать по критериям согласия.

Метод моментов для экспоненциального закона

Свойства экспоненциального закона

1. Ординарности, которая заключается в том, что если в ОМ действует несколько экспоненциальных законов, то в любой момент времени в такой системе не может произойти более одного события.

2. Стационарности (независимости от времени). Стационарный режим наступает тогда, когда выполняется условие, что интенсивность поступления транзактов  не превышает интенсивности их обслуживания .

3. Отсутствия последействия. Время, оставшееся до окончания экспоненциального процесса в любой момент его протекания распределено по экспоненциальному закону с той же интенсивностью, с которой распределено все распределение случайных чисел.

Функция распределения (ФР) экспоненциального закона приведена на рис.3.5. Это вероятность того, что случайная величина Х не превысит своего текущего значения х.

Рис. 11.5. Функция распределения экспоненциального закона

Функция плотности (ФП). Это плотность вероятности случайной величины,

или дифференциальная функция распределения. ФП экспоненциального закона приведена на рис.11.6.

Рис. 11.6. Функция плотности экспоненциального закона

Экспоненциальный закон имеет диапазон своего существования от 0 до . Функция плотности экспоненциального закона

.

ФП экспоненциального закона определяется всего одним параметром .

Первый начальный момент:

Для вычисления интеграла (11.24) проведём интегрирование по частям:

Пусть , тогда ;

Рассмотрим этот же пример с пределами для определенного интеграла и вычислим основные статистические характеристики экспоненциального закона:

Вычислим второй начальный момент:

Вычислим среднее квадратическое отклонение

5. Метод моментов. Гиперэкспоненциальный закон.

распределения, состоящего из n ветвей, представлена на рис.12.2.

Функция плотности ГЭР: .

Рис. 12.2. Структурная схема гиперэкспоненциального закона распределения случайных чисел

Достоинством представления случайных процессов гиперэкспоненциальными законами является возможность создания аналитических моделей систем, а явный недостаток по сравнению с представлением экспоненциальным законом заключается в сравнительно большом количестве параметров, которое требуется определить. При количестве ветвей n, количество определяемых параметров 2n. Таким образом, требуется вычислить по МПФ не только 2n-1 производных, но и решить систему, состоящую из 2n уравнений. Первое уравнение записывается из условия, что сумма вероятностей выбора ветвей должна равняться 1.

₁ + ₂ + … + _n = 1. (12.2)

Для упрощения аппроксимации на практике широко используется частный случай гиперэкспоненциального распределения, состоящего из двух ветвей, определяемого двумя параметрами, структурная схема которого представлена на рис. 12.3.

Для частного случая гиперэкспоненциального закона требуется вычислить только  и . Расчётные формулы для их вычислений можно получить по упрощенной процедуре. Представим формулу для вычисления математического ожидания гиперэкспоненциального закона −m₁ в виде суммы математических ожиданий его ветвей с учётом их вероятностей, проведём её преобразование и заменим математическое ожидание его оценкой m₁^*, вычисленной по экспериментальным данным:

. (12.3)

Представим формулу для вычисления второго начального момента гиперэкспоненциального закона –m₂ :

(12.4)

Для вычисления φ составим квадратное уравнение: