2.2. Пример прогнозирования развития материального потока.

Исходные данные:

Спрос на продукцию лесопромышленного предприятия за предыдущие 12 месяцев составляет:

Месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Спрос в условных единицах	180	198	209	208	220	250	210	220	223	240	210	260

Выполнить:

Установить план производства на первые три месяца следующего периода с вероятностью 0,98 и 0,95.

Прогнозирование выполнить методами наименьших квадратов, методом Чебышева. Оценить погрешность. Представить графики и дать выводы.

2.2.1. Прогнозирование развития методом наименьших квадратов.

Определение уравнения регрессии первого порядка.

Построив график изменения спроса за предыдущий период,делаем предположение, что эмпирическая линия регрессии имеет вид линейной функции, которая представлена в виде: y=at+b, где a и b определяются по формулам:

(2.28)

(2.29)

где i- порядковый номер наблюдения

(2.30)

(2.31)

где y_i – фактическое значение спроса; t_i- номер периода в наблюдении (номер i); n- количество рассматриваемых периодов.

Для выполнения расчетов воспользуемся таблицей в программе MS EXCEL (смотри рисунок 2.1).

Рис. 2.1. Определение параметров прогнозирования по методу наименьших квадратов.

Определяем α и b по формулам (2.28) и (2.29)

α=546,22/126,50=4,3

b= 219-6,5*4,3= 191,05

Эмпирическая линия регрессии имеет вид:

Так как параметр α=4,3 делается вывод о том, что спрос в течении каждого месяца увеличивался в среднем на 4,3 единицы. Параметр b=191,05 показывает, что средний сглаженный спрос в начале базового периода при t=0 был 191,05 условных единиц. Подставив в формулу

значения t=13,14,15 получим средний ожидаемый спрос на 13,14 и 15 месяцы.

y₁₃= 4,3*13+191,05 =246,95

y₁₄= 4,3*14+191,05= 251,25

y₁₅= 4,3*15+191,05= 255,55

Произведем оценку погрешности прогноза. Для этого определим стандартное отклонение, которое в первом приближении можно принять в качестве оценки среднего квадратического отклонения ошибки прогнозирования.

(2.32)

где y(t_i)- расчетное значение в i-ой точке, вычисленное по полученной формуле y= 4,3t+191,05, y_i- фактическое значение спроса в i-ой точке, взятое из таблицы исходных данных. Для определения параметра Sy воспользуемся таблицей (рис. 2.1).

Подставив значение y(t_i) и y_i получим:

Sy =(2758/11) ^½ =15,8

Принимая во внимание, что ошибка прогнозирования подчиняется нормальному закону распределения, можно считать, что с вероятностью, близкой к 1, фактический спрос в каждой точке t_i будет находиться в интервале(y(t_i)-45; y(t_i)+45) по правилу 3σ, а с вероятностью 0,95 в диапазоне (y(t_i)-30; y(t_i)+30) по правилу 2σ.

Данные зависимости спроса от времени представлены в таблице (табл. 2.3).

Таблица 2.3.

Данные зависимости спроса от времени по методу наименьших квадратов с учетом погрешности с вероятностями 0,95 и 0,98.

X	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Y	180	198	209	208	220	250	210	220	223	240	210	260
Y(ti)	195	200	204	208	213	217	221	225	230	234	238	243
Y(ti)-s(0.98)	150	155	159	163	168	172	176	180	185	189	193	198
Y(ti)+s(0.98)	240	245	249	253	258	262	266	270	275	279	283	288
Y(ti)-s(0.95)	165	170	174	178	183	187	191	195	200	204	208	213
Y(ti)+s(0.95)	225	230	234	238	243	247	251	255	260	264	268	273

По рассчитанным параметрам строятся графики (рис. 2.2.)

Рис. 2.2.График зависимости спроса от времени с учетом погрешности по методу наименьших квадратов с вероятностями 0,95 и 0,98.

Определение уравнения регрессии второго порядка.

Для определения параметров эмпирической зависимости, выраженной уравнением регрессии второго порядка в виде

необходимо составить систему уравнений:

(2.33)

Суммы, входящие в систему (2.33), удобно вычислять в программе MS EXCEL, пользуясь схемой (рисунок 2.3).

Рис.2.3. Расчет параметров уравнения 2-ой степени по методу наименьших квадратов.

Определив суммы, входящие в систему уравнений, получим:

Далее решаем систему уравнений MS EXCEL.

Решение будет заключаться в умножении обратной матрицы коэффициентов при неизвестных на матрицу свободных членов. Эти операции можно выполнить последовательно, т.е. сначала определить обратную матрицу коэффициентов при неизвестных при помощи функции МОБР, а затем полученную обратную матрицу умножить на матрицу свободных членов, при помощи функции МУМНОЖ, в диалоговом окне которой вызывается встроенная функция у первого массива, где в свою очередь вызывается функция обращения и вводится матрица коэффициентов. Для второго массива диалогового окна функции МУМНОЖ вводится диапазон матрицы свободных членов. Ввод заканчивается комбинацией клавиш <Shift>+<Ctrl>+<Enter>. Например для нашего случая (рис.2.4.), матрица коэффициентов записана в диапазоне С27:Е29, а матрица свободных членов- в диапазоне Н27:Н29, формула выглядит следующим образом:

{=МУМНОЖ(МОБР(С27:Е29);Н27:Н29)}

Рис.2.4.Решение системы линейных уравнений.

В результате уравнение регрессии второго порядка имеет следующий вид:

Определяем прогноз на 13 месяц:

Погрешность определяется так же, как для уравнения первой степени.