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Logarithmieren als zweite Umkehrung des Potenzierens
1. Begriffserklärungen. Soll aus der Potenzgleichung an = b bei bekannter Grundzahl a und bekanntem Potenzwert b die Hochzahl n bestimmt werden, so nennt man die zugehörige Rechenart Logarithmenrechnung oder Logarithmieren und schreibt:
n = loga b (gelesen: n ist Logarithmus von b zur Basis a). In n = loga b nennt man a die Grundzahl oder die Basis des Logarithmus, b den Numerus, n den Logarithmus. Mit diesen neuen Begriffen kann die Definition des Logarithmus genauer formuliert werden:
Der Logarithmus einer Zahl b zur Basis a ist diejenige Hochzahl, mit der die Basis a zu potenzieren ist, wenn man den Numerus b erhalten will.
Die beiden Gleichungen an = b und n = logab drücken demnach denselben Sachverhalt aus; sie sind nur nach verschiedenen Zahlen aufgelöst.
Aus diesem Zusammenhang zwischen Potenz und Logarithmenrechnung folgen die beiden wichtigen Beziehungen:
alog a b = loga (ab) = b
Logarithmieren und Potenzieren mit den gleichen Grundzahlen heben sich gegenseitig auf1, d.h. das Logarithmieren ist die zweite Umkehrung des Potenzierens.
2. Logarithmengesetze
Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren.
Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz aus den Logarithmen des Dividenden und dem des Divisors.
3. Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Logarithmus der Potenzbasis, der mit dem Potenzexponenten multipliziert wird.
4. Der Logarithmus einer Wurzel ist gleich dem Logarithmus des Radikanden, der durch den Wurzelexponenten geteilt wird.
3. Die dekadischen Logarithmen
Die Logarithmen, deren Basis die Zahl 10 ist, nennt man dekadische, Zehner- oder Briggische Logarithmen.
Die meisten dekadischen Logarithmen sind irrationale Zahlen. Маn kann sie deshalb im Allgemeinen nur als unendliche nichtperiodische Dezimalzahlen darstellen.
4. Logarithmensysteme. Unter allen möglichen Logarithmensystemen (Basis a>1) werden im Wesentlichen nur zwei verwendet, die natürlichen und die dekadischen Logarithmen. Logarithmen mit der Basis e sind natürliche Logarithmen. In der höheren Mathematik werden fast ausschließlich die natürlichen Logarithmen benutzt.
Texterläuterung
1. sich gegenseitig aufheben — взаимно уничтожаются