Методические указания по решению типовых задач.

Пример 1.

Опишите процесс моделирования в принятии управленческого решения из опыта вашей деятельности (производственной или по управлению домашним хозяйством), отмечая отдельные этапы и выделив критерии отбора оптимального решения. Выделите экзогенные и эндогенные переменные в модели. Постройте модель.

Пример (рассмотрим постановку задачи планирования выпуска при ограниченных ресурсах из курса линейного программирования) (постановка задачи приведена в [5, с. 130-134]):

Проблема. Руководители фирмы, производящей несколько видов продукции, хотят выяснить, каким должен быть план выпуска по каждому виду продукции, чтобы предприятие работало наиболее эффективно.

Постановка задачи: Имеется фирма, производящая несколько видов продукции. Определить объемы производства с целью максимизации прибыли.

Анализ ситуации: Для того чтобы решить задачу, необходимо выделить наиболее существенные элементы и отбросить незначительные, то есть нужно построить модель, доступную с точки зрения расчета и в то же время отражающую самые главные свойства процесса. Анализ производится с учетом реальной ситуации. Решение о том, какие факторы будут выбраны как существенные, во многом субъективно, то есть зависит от способностей, личной заинтересованности и компетентности модельера.

Будем считать, что из анализа ситуации мы узнали следующее. В процессе производства используется три вида ресурсов: оборудование, рабочая сила и сырье; ресурсы однородны; количества их известны и в данном производственном цикле увеличены быть не могут. Известен расход каждого из ресурсов, а также прибыль на единицу продукции каждого вида.

Что мы не учли при постановке?

Поставленная задача далеко не всегда хорошо описывает ситуацию и соответствует задачам лица, принимающего решение. В действительности, по крайней мере:

1. ресурсы могут быть взаимозаменяемы;

2. затраты ресурсов не строго пропорциональны выпуску (постоянные и переменные);

3. объемы ресурсов не строго фиксированы, так могут продаваться, покупаться, сдаваться в аренду;

4. ресурсы неоднородны и разные их составляющие по разному влияют на выпуск;

5. цена продукта может зависеть от объема реализации (неконкурентный рынок), то же - и цена ресурса;

6. фирма может использовать не одну, а выбирать из нескольких технологий, характеризующихся определенными сочетаниями ресурсов;

7. размер прибыли может быть оценен по-разному, это, например, зависит от налоговой системы;

8. предпочтения субъекта не ограничиваются максимизацией объема прибыли, значит, целевая функция должна учитывать и другие количественные и качественные показатели;

9. реально решаемая задача не ограничивается одним моментом или периодом времени, важны динамические взаимосвязи;

10. на ситуацию могут оказать влияние случайные факторы, которые необходимо принять во внимание.

Построение гипотезы: Построение модели в рамках линейного программирования (формулирование целевой функции, ограничений и граничных условий), несмотря на простоту модели, даст решение, приемлемое в реальной обстановке.

Формализация (построение математической модели – в виде формул или алгоритмов): включает в себя выбор переменных и установление связей между ними. В нашем случае это три неравенства, ограничивающие затраты ресурсов и выражение для расчета прибыли в качестве целевой функции.

Введем обозначения для эндогенных переменных – тех, которые определяются в ходе расчетов по модели и не известны заранее. В нашем случае – это неизвестные объемы производства x₁...x_n.

Опишем экзогенные переменные (заданные вне модели, то есть известные заранее). В задаче заданы количества К, L и количества сырья R, а также коэффициенты их расхода на единицу продукции каждого вида: к_i, l_i, r_i.

Для каждого вида продукции, расходов ресурсов на единицу продукции и для прибыли на единицу р_i мы ввели индекс i, он меняется от 1 до n. Индексы позволяют нам записать связи в наиболее компактной, удобной для восприятия форме.

Закончив описание переменных и параметров, переходим к установлению связей между переменными задачи.

Совокупный расход каждого вида ресурса не должен превышать допустимое значение:

x₁ к₁+ x₂ к₂+ x_n к_n<= K 

x₁ l₁+ x₂ l₂+ x_n l_n<= L - ограничения по ресурсам

x₁ r₁+ x₂ r₂+ x_n r_n<= R 

x₁ p₁+ x₂ p₂+ x_n p_nmax - целевая функция (размер прибыли)

Мы сформулировали задачу линейного программирования - известному математическому методу. Далее пользуясь методом и подставляя реальные значения, мы можем дать руководителям фирмы вполне конкретные рекомендации по плану выпуска продукции. Следует отметить, что не всегда задача сводится к известным математическим приемам, она может потребовать разработки и нового способа решения.

Анализ адекватности модели - последний этап моделирования. Здесь, например, можно принять во внимание, что расходы ресурсов на единицу продукции, и другие экзогенные переменные являются случайными величинами. Поэтому достижение максимальной прибыли возможно лишь с вероятностью, определение которой и даст ответ на вопрос о приемлемости решения.

Для примера, опишем модель производства творога, сметаны, сыра. Здесь применяется относительно однородное сырье – молоко.

Пусть:

x₁ – количество творога, x₂ – количество сметаны, x₃ – количество сыра,

p₁=80, p₂=110, p₃=130 - цены на единицу продукта,

k₁=1,5; k₂=2; k₃=3,5 - капитал на единицу продукта,

l₁ =2; l₂=3; l₃=4 - труд на единицу продукта,

r₁=1,5; r₂=2,5; r₃=4 - сырье на единицу продукта,

K=50 - всего капитала,

L=50 - всего трудовых ресурсов,

R=50 – всего сырья.

Тогда получаем конкретную модель:

x₁ 80+ x₂ 110+ x₃ 130  max - целевая функция (размер прибыли)

x₁ 1,1+ x₂ 2+ x₃ 2<= 50 

x₁ 1,2+ x₂ 1,6+ x₃ 2,4<=50 - ограничения по ресурсам

x₁ 1,5+ x₂ 2+ x₃ 1<=50 

Далее используя компоненту Поиск решения в приложении Microsoft Office Excel 2003, ввести данные в форму настройки поиска решений, предварительно подготовив нижеследующую таблицу.

Таблица 2

p1	p2	p3
80	110	130
k1	k2	k3
1,1	2	2
l1	l2	l3			Целевая
1,2	1,6	2,4			3180
r1	r2	r3
1,5	2	1
K	L	R
50	50	50
x1	x2	x3
16	10	6
Лев. Часть огран.	Лев. Часть огран.	Лев. Часть огран.
50	50	50

Пример 2.

Решите задачу потребительского выбора, найдя функции спроса, при ценах благ p₁=7, p₂=3 и доходе I=55, со следующими функциями полезности:

U=(x₁-1)^3/4(x₂ –3)^1/3max

Изобразите допустимое множество и кривые безразличия.

Пояснение к решению задачи:

Функция полезности U в модели Стоуна характеризуется минимальным объемом потребления x₁⁰ _, x₂⁰ и коэффициентом полезности для каждого из товаров ₁ и ₂, соответственно. В нашем случае x₁⁰ =1_, x₂⁰=3, ₁=3/4 и ₂=1/3.

Функция спроса имеет вид:

x_i= x_i⁰+ _i (I - p_j x_j⁰) / p_i_j , где i = 1..n – вид товара.