Разбор примера задачи нелинейной оптимизации

Решим и проанализируем описанную выше ситуацию принятия решения для директора лесозаготовительного комбината.

Анализ будем проводить только с учетом переменных расходов. Как следует из общей теории оптимизации, постоянное слагаемое не оказывает влияние на оптимальный план действий, изменяя только значение целевой функции.

Как видно из данных примера, весь анализ можно провести в терминах количества рабочих. Обозначим через число рабочих на предприятии. Так как мы не можем уволить более 30 человек из имеющихся 70, то переменнаяограничена снизу:.

Выпуск продукции пропорционален численности и равен м³ в мес. Доход от продажи в месяц тогда равен:

Если возможную субсидию при учесть в доходной части, то общую функцию месячного дохода можно записать так:

(3)

Если не нанимать новых сотрудников, то будет выполняться условие , а месячные расходы равны:

.

Если нанять новых рабочих, то . Из этого количества рабочих 70 будут «старых», а– «новых». Тогда месячные расходы будут складываться из затрат на «старых» по 80 тыс. руб. на человека и затрат на новых потыс. руб. на человека. Суммарные затраты составят:

.

В итоге общую функцию месячных затрат можно записать в виде:

(4)

Прибыль комбината (без учета постоянных расходов) равна разнице между доходами (3) и переменными расходами (4) и запишется в виде:

(5)

Таким образом, математически задача формулируется так: найти , при котором функция прибыли (5) имеет максимум.

Очевидно, функция (5) меняется непропорционально искомой переменной и задача является нелинейной.

Пройдем для этой задачи все пункты алгоритма поиска глобального экстремума.

1) Определим градиент функции. В данном случае функции одной переменной градиент совпадает с производной. Если функция задана разными выражениями на разных интервалах, то нужно просто взять производные для каждого интервала. Они будут справедливы при строгом выполнении ограничивающих интервалы неравенств:

(6)

Как видно из выражения (6), производные на втором и третьем интервалах совпадают, но между ними при производная не существует, так как функция терпит разрыв.

2) Определим точки, где производная равна нулю. Для этого определим все , удовлетворяющие равенствам:

Рассмотрим интервал . На нем имеем уравнение:

.

Решая уравнение, находим

.

Однако данное значение не попадает в интервал: . Значит на указанном интервале нулей производной нет.

Рассмотрим интервал . На нем имеем уравнение:

.

Решая уравнение, находим

.

Данное значение принадлежит рассматриваемому интервалу: . Таким образом,является корнем производной.

Рассмотрим интервал . На нем имеем уравнение:

.

Решая уравнение, находим

.

Это значение не принадлежит рассматриваемому интервалу: . Значит на указанном интервале нулей производной нет.

Итак, производная равна нулю только в точке . Определим значение функции в этой точке:

.

То есть наняв 100 рабочих получим прибыль, равную 11400 тыс. руб.

3) Определим точки, где производная не существует. Это все точки границ интервалов. Найдем в них значение функции.

В точке функция имеет излом, но остается непрерывной. Ее значения с обеих сторон совпадают и равны:

.

Если останутся прежние 70 рабочих, то прибыль будет 11133 тыс. руб.

В точке функция имеет скачек. Ее значения разные с двух сторон.

При предел будет равен:

.

При предел будет равен:

.

Таким образом, наняв 150 рабочих получим прибыль, равную 11195 тыс. руб.

Замечание 1. В данной задаче из условия целочисленности числа рабочих можно было не искать значения пределов, а проверить значение прибыли при 150 и 149 рабочих.

Замечание 2. Из экономического смысла задачи очевидно, что предел справа (когда субсидия будет выплачена) будет лучше, чем предел слева (без субсидии).

4) Единственной границей области в данном случае является . При этом значении:

.

То есть при 40 работниках прибыль будет равна 9449 тыс. руб.

5) Поведение функции на бесконечности можно не рассматривать, как в задачах экономики. Однако, если это сделать, то получим:

.

Как и ожидалось, нанимая неограниченное количество рабочих будем получать неограниченные убытки.

6) Из всех найденных значений целевой функции выберем самое большое. Собираем все значения вместе:

,

,

,

,

.

Как видно, наибольшее значение достигается при.

Таким образом, оптимальное управленческое решение будет таким:

• Необходимо привлечь к работе всего 100 человек: 70 уже имеющихся и 30 новых. В этом случае мы получим наибольшую прибыль, равную 11 миллионов 400 тысяч рублей.

Ответить на вопросы, поставленные перед собой новым руководителем, можно так:

• Имеющееся количество рабочих не оптимально. Необходимо нанять еще 30 человек. Нанимать рабочих до 150 человек не выгодно, так как получаемая субсидия вместе с ростом доходов не компенсирует полученный рост расходов.

Сделаем еще несколько замечаний.

• Если мы сравним суммы прибыли при текущем количестве рабочих (11 млн. 133 тыс. руб.) и оптимальным (11 млн. 400 тыс. руб.), то видно, что прибыль меняется всего на 267 тыс. руб. или менее чем на 3%. Необходимо как следует проанализировать, стоит ли менять сложившийся вариант работы ради таких незначительных изменений. Для анализа необходимо уже будет учесть постоянные издержки. Если они велики, то прибыль с их учетом становится значительно меньше и дополнительные 267 тыс. руб. в месяц являются уже существенным выигрышем.

• Принятие на работу всего 150 человек приводит тоже к близкому финансовому результату. Этот случай может быть рассмотрен как вариант расширения предприятия, если есть перспектива поиска лучшего варианта сбыта продукции.

Графическая интерпретация решения.

Построим на одном графике все три функции, описываемые уравнениями (4), (5), (6) (см рис. 1).

Рис. 1. Графики зависимости экономических показателей от количества рабочих

Из графика видно, что оптимум прибыли достигается примерно при 100 рабочих.

График прибыли ведет себя достаточно плавно в окрестности максимального значения, значит небольшие изменения числа около рабочих 100 человек не сильно влияют на финансовый результат.