Тема 3. Нелинейная оптимизация Основные понятия задач нелинейной оптимизации

Задачи нелинейной оптимизации относятся к задачам принятия решений в полностью детерминированных условиях при наличии непропорциональных связей каких-либо параметров от искомых переменных.

Таким образом, в этих задачах обязательно:

• известна зависимость функции выигрыша (например, прибыли) от искомого плана;

• известны зависимости всех ограничивающих факторов от искомого плана;

• хотя бы одна из зависимостей (функция выигрыша или ограничение) меняется непропорционально изменению составляющих плана.

В качестве примера рассмотрим такую задачу.

Пример

На лесозаготовительном комбинате работает 70 человек. Основными переменными расходами являются суммарные расходы на каждого работника (заработная плата, налоги, страховки, затраты на спецодежду и т.п.). Эти расходы равны 80 тыс. руб. в месяц. Каждый работник за месяц обеспечивает производство 25 м³ древесины. Доход от продаж древесины составляет примерно 16,5 – 17 миллионов рублей в месяц.

На предприятие приходит новый директор, который ставит вопрос о возможности оптимизации работы. Изучив ситуацию, он устанавливает следующее:

• Доход от сбыта древесины может быть хорошо описан зависимостью: , где– доход в тыс. руб.,– количество древесины в м³, предлагаемой на продажу в месяц.

• Имеются дополнительные рабочие, желающие работать на нашем предприятии на тех же условиях, что и имеющиеся сотрудники. Но необходимо организовывать доставку новых сотрудников к месту работ. Затраты на доставку новых рабочих составят 20 тыс. руб. в месяц на человека.

• Уволить более 30 человек нельзя.

• Администрация региона согласна безвозмездно субсидировать предприятие в размере 300 тыс. руб. в месяц, если на нем будет создано не менее 150 рабочих мест.

Таким образом, перед директором встают такие вопросы:

• Оптимально ли имеющееся количество рабочих?

• Нужно ли нанять новых рабочих, а возможно стоит уволить кого-то из имеющихся?

• Имеет ли смысл нанимать большее количество рабочих для получения субсидии?

Данная задача является детерминированной, так как все зависимости точно определены.

Кроме того задача является нелинейной по трем причинам:

1. доход нелинейно зависит от производства;

2. расходы на рабочих меняют коэффициент пропорциональности после 70 человек;

3. имеется разрыв функций – при найме от 150 человек предприятие получает субсидию.

Основы теории решения задач нелинейной оптимизации

1. Понятия глобального, локального и условного экстремумов

1.1. Функция нескольких переменных имеетглобальный максимум в точке , если для любой другой точкисправедливо условие:

1.2. Функция нескольких переменных с имеет локальный максимум в точке , если существует малая окрестность точки, такая, что для любой точкииз этой окрестности справедливо условие:

Очевидно, глобальный экстремум будет одним из локальных.

1.3. Пусть на переменных наложеноусловий:

(1)

Функция нескольких переменных имеетусловный максимум (глобальный или локальный) в точке , если:

1. точка удовлетворяет условиям (1);

2. для любой другой точки (любой или из малой окрестности точки ), удовлетворяющей системе (1) справедливо условие:

1.4. Глобальный, локальный и условный минимумы записываются аналогично, только знак меняется на .

Заметим, что целью решения задач оптимизации является именно набор переменных , а не максимальное или минимальное значение функции. Знаяможно всегда определить значение функции подстановкой этих аргументов в функцию, зная же только значение функции, определить значение аргументов, при котором оно достигается, невозможно.

В терминах управления это можно сформулировать так: необходимо найти что делать для наилучшего результата, а не знать, каков этот результат без знания путей его достижения.