МУ к выполнению КР

Коэффициент детерминации R2 определяется как квадрат показателя корреляции (линейного коэффициента) и имеет смысл доли факторного среднего квадратического отклонения (СКО) в общем СКО:

R 2 = ∑ ((y x - y))2 ,

∑ y - y 2

здесь yx – значение результативного признака, рассчитанное по уравнению регрессии при подстановке в него заданных значений х.

R2 характеризует качество подгонки кривой под измеренные значения у и изменяется от 0 до 1. В пределе при R2=1 уравнение регрессии точно аппроксимирует заданные значения, то есть все точки на графике точно ложатся на регрессионную кривую, остаточное СКО равно нулю. Другое предельное значение, R2=0, означает, что уравнение регрессии ничего не дает по сравнению с тривиальным предсказанием y = y , и остаточное СКО равно общему; при этом факторное СКО равно нулю. Однако обычные значения R2 находятся между нулем и единицей. Для констатации хорошего качества подготовки кривой нужно, чтобы значение R2 было не меньше 0,8. Ошибка аппроксимации для каждого измеренного значения у определяется как относительная (выраженная в процентах) разность между значением у и значением yx , полученным по уравнению регрессии:

Осреднение этой величины по всем измеренным значениям у дает среднюю ошибку аппроксимации:

A = 1n ∑ Ai .

Таким образом, эта величина характеризует среднее отклонение расчетных значений от фактических. Она должна составлять не более 8-10%. Большее значение свидетельствует о плохом качестве аппроксимации.

По уравнению регрессии можно определить значение коэффициента эластичности. Для линейного уравнения этот коэффициент рассчитывается следующим образом:

=b × x

Эa + b × x .

Средний коэффициент эластичности получается при подстановке в формулу среднего значения фактора x.

Статистическая надежность уравнения регрессии в целом оценивается с помощью F-критерия Фишера:

2

Fфактич = Dфакт . Dостат

В числителе и в знаменателе этого выражения стоят значения СКО на одну степень свободы (то есть дисперсии на одну степень свободы). Факторная дисперсия имеет одну степень свободы и не отличается от значения факторной СКО:

Dфакт = ∑ (yx − y)2 .

1

Остаточная дисперсия имеет число степеней свободы, равное (n-2):

некотором уровне значимости (например, 0,05) и двух степенях свободы – числителя, равной 1, и знаменателя, равной (n-2): Fтабл = F (α ;1; n − 2).(см. таблицу значений F-критерия Фишера).

Далее выдвигается нулевая гипотеза Но том, что остаточная дисперсия равна факторной, то есть Dфакт = Dостат . Это эквивалентно утверждению

статистической незначимости уравнения регрессии. Альтернативная гипотеза Н1 говорит о том, что факторная дисперсия превосходит остаточную, что и означает обоснованность предложенного уравнения и статистическую значимость связи между у и х.

Если Fфакт < Fтабл , Но не отвергается (то есть принимается), и уравнение

регрессии считается статистически незначимым. В противном случае, то есть Fфакт > Fтабл превышение факторной дисперсии над остаточной считается

неслучайным, и Но отвергается. При этом принимается H1, уравнение регрессии признается статистически значимым.

Прогнозное значение результативного признака y p получается при подстановке в уравнение регрессии прогнозного значения фактора xp .

Стандартная ошибка прогноза определяется по формуле:

3

Решение задач парной регрессии и корреляции с помощью ППП

MS Excel

Рассмотрим решение эконометрических задач с помощью встроенных функций MS Excel. Активизируем Мастер функций любым из способов:

–в главном меню выбрать Вставка / Функция;

–на панели инструментов Стандартная щелкнуть по кнопке fx

Вставка функции.

Для вычисления выборочных средних используем функцию

СРЗНАЧ(число 1:число N) из категории Статистические.

Выборочная ковариация между x и y находится с помощью функции КОВАР(массив X;массив Y) из категории Статистические.

Выборочные дисперсии определяются статистической функцией

ДИСПР(число 1:число N).

Выборочный коэффициент корреляции между x и y вычисляется с

помощью статистической функции КОРРЕЛ(массив X;массив Y).

Параметры линейной регрессии y = a + bx в Excel можно определить несколькими способами.

Cпособ 1. С помощью встроенной функции ЛИНЕЙН. Порядок действий следующий:

1.Выделить область пустых ячеек 5x2 (5 строк, 2 столбца) для вывода результатов регрессионной статистики или область 1x2 – для получения только коэффициентов регрессии.

2.С помощью Мастера функций среди Статистических выбрать функцию ЛИНЕЙН и заполнить ее аргументы (рис. 1):

4

Рис. 1. Диалоговое окно ввода аргументов функции ЛИНЕЙН

Известные_значения_y – диапазон, содержащий данные результативного признака Y;

Известные_значения_x – диапазон, содержащий данные объясняющего признака X;

Конст – логическое значение (1 или 0), которое указывает на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении; ставим 1;

Статистика – логическое значение (1 или 0), которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет; ставим 1.

3. В левой верхней ячейке выделенной области появится первое число таблицы. Для раскрытия всей таблицы нужно нажать на клавишу <F2>, а затем – на комбинацию клавиш <CTRL> + <SHIFT> + <ENTER>.

Способ 2. С помощью инструмента анализа данных Регрессия можно получить результаты регрессионной статистики, дисперсионного анализа,

5

доверительные интервалы, остатки, графики подбора линий регрессии, графики остатков и нормальной вероятности. Порядок действий следующий:

1.Необходимо проверить доступ к Пакету анализа. Для этого в главном меню нужно выбрать Сервис / Настройки и напротив Пакета анализа установить флажок.

2.Выбрать в главном меню Сервис / Анализ данных / Регрессия и

заполнить диалоговое окно (рис. 2):

Входной интервал Y – диапазон, содержащий данные результативного признака Y;

Входной интервал X – диапазон, содержащий данные объясняющего признака X;

Метки – флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Константа-ноль – флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении;

Выходной интервал – достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;

Новый рабочий лист – можно задать произвольное имя нового листа, на который будут выведены результаты.

Для получения информации об остатках, графиков остатков, подбора и нормальной вероятности нужно установить соответствующие флажки в диалоговом окне. В результате получим итоги как на рис. 3.

Рис. 2. Диалоговое окно ввода параметров инструмента Регрессии

6

Рис. 3. Результаты применения инструмента Регрессия

В Excel линия тренда может быть добавлена в диаграмму с областями гистограммы или в график. Для этого:

1.Необходимо выделить область построения диаграммы и в главном меню выбрать Диаграмма / Добавить линию тренда.

2.В появившемся диалоговом окне (рис. 4) выбрать вид линии тренда и задать соответствующие параметры.

Рис. 4. Диалоговое окно типов линии тренда Для полиноминального тренда необходимо задать степень

7

аппроксимирующего полинома, для линейной фильтрации – количество точек усреднения.

Выбираем Линейная для построения уравнения линейной регрессии. В качестве дополнительной информации можно показать уравнение на

диаграмме и поместить на диаграмму величину R2 , установив соответствующие флажки на закладке Параметры (рис. 5).

В результате получим линейный тренд (рис. 6).

Рис. 5. Диалоговое окно параметров линии тренда

8

Рис. 6. Линейный тренд

ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ 1

По семи территориям Уральского района за 200Х г. известны значения двух признаков:

1.Рассчитать параметры парной линейной регрессии.

2.Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

3.Дать с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

9

4.Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

5.Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

6.Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α =0,05.

Решение.

Для расчета параметров а и b линейной регрессии у = а + bх решаем систему нормальных уравнений относительно а и b:

an + b∑ x = ∑ y,

a∑ x + b∑ x 2 = ∑ yx

По исходным данным рассчитываем значение всех сумм (см. табл. 3).

Таблица 3

Определяем значение параметра b:

С их помощью определим параметр а:

10