МУ к выполнению КР

Рассчитаем средние величины и внесем полученные значения в табл. 5. Среднеквадратические отклонения определим по формулам:

σy = y2 - y2 ,

σx1 = x12 - x1 2 ,

σx2 = x22 - x2 2

иполученные результаты также внесем в табл. 5.

Вычислим парные линейные коэффициенты (ryx , ryx2 , rx1x2 ). Подставляя соответствующие расчетные значения в исходные формулы, имеем:

a = 9,6 - 0.9459 × 6,19 - 0,0657 × 22,3 =1,8336 .

Таким образом, линейное уравнение множественной регрессии, выражающее зависимость выработки продукции на одного работника у от ввода в действие новых основных фондов x1 и удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих x2 примет вид:

y = 1,8336 + 0,9459 × x1 + 0, 0857 × x2 .

Анализ коэффициентов уравнение множественной регрессии позволяет сделать вывод о степени влияния каждого их факторов на показатель выработки продукции на одного работника. Параметр b1 = 0,9459

свидетельствует о том, что с увеличением ввода в действие новых основных фондов на 1 процентный пункт следует ожидать увеличения выработки продукции на одного работника на 0,9459 тыс. py6. (или 945,9 руб.) Увеличение же удельного веса рабочих высокой квалификации на 1

21

процентный пункт может привести к увеличению выработки на 0,0857 руб. (или на 85,7 руб.). Отсюда можно сделать соответствующие практические выводы и осуществить мероприятия, направленные на повышение выработки.

Средние частные коэффициенты эластичности Эyxi показывают, на сколько процентов от значения своей средней y изменяется результат при изменении фактора xi на 1% от своей средней xi и при фиксированном воздействии на у всех прочих факторов, включенных в уравнение регрессии.

Средние коэффициенты эластичности для каждого фактора рассчитаем no соответствующей формуле:

С увеличением ввода в действие новых основных фондов x1 на 1% от его среднего уровня выработка на одного работника возрастает на 0,61% от своего среднего уровня; при повышении удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих x2 на 1% выработка у увеличивается только на 0,19% от своего среднего уровня. По значениям частных коэффициентов эластичности можно сделать вывод о более сильном влиянии на результат у признака фактора x1 чем признака фактора x2 : 0,6%

против 0,19%.

Вычислим стандартизованные β i коэффициенты:

работника наибольшее влияние из двух исследуемых факторов с учетом уровня их вариации способен оказать фактор x1 – ввод в действие основных

фондов, так как ему соответствует наибольшее (по абсолютной величине) значение β -коэффициента.

Расчет линейных коэффициентов парной корреляции определяет тесноту попарно связанных переменных, использованных в данном уравнении множественной регрессии. Парные коэффициенты определены нами ранее (см. п. 1.):

ryx1 = 0,9699;ryx2 = 0,9409;rx1x2 = 0,9429 .

Линейные коэффициенты частной корреляции оценивают тесноту связи значений двух переменных, исключая влияние всех других

22

переменных, представленных в уравнении множественной регрессии. Произведем расчет частных коэффициентов корреляции:

Значения коэффициентов парной корреляции указывают на весьма тесную связь выработки у как с коэффициентом обновления основных

характеристику тесноты связи двух признаков, чем коэффициенты парной корреляции, так как очищают парную зависимость от взаимодействия данной пары признаков с другими признаками, представленными в модели.

ryx2 ×x1 = 0,3239 < rx1x2 ×y = 0,3673. Все это приводит к выводу о необходимости исключить фактор x2 – доля высококвалифицированных рабочих – из правой части уравнения множественной регрессии.

Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи:

ryx1 = 0,9699 ; ryx1×x2 = 0,7313; ryx2 = 0,9409 ; ryx2 ×x1 = 0,3239 .

Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной зависимости.

Определим индекс множественной корреляции по формуле:

Ryx1x2 = β1 × ryx1 + β 2 × ryx2 = 0,7461 × 0,9699 + 0,2376 × 0,9409 =

= 0,9473 = 0,9733 .

23

Индекс множественной корреляции измеряет одновременное влияние факторных признаков на результативный признак.

Коэффициент множественной детерминации рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции:

R2 yx1 x2 = 0,97332 =0,9473.

Коэффициент множественной детерминации оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет 94,7% и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, другими словами – на весьма тесную связь факторов с результатом.

Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи R2 yx1 x2 дает F-критерий Фишера, определяемый по формуле:

(критического) значений F-критерия Фишера.

Fтабл (a;m;n-m - 1) = F (0,05;2;17) = 3,59.

Fфакт = 152,8 > Fтабл =3,59.

Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, то есть подтверждается статистическая значимость всего уравнения множественной регрессии и

показателя тесноты связи R2 yx1x2 .

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ 3

В данном задании выполняется анализ временного ряда, который завершается получением прогнозной оценки.

Временной ряд состоит из уровней (Yt ) и показателей времени (t).

Прогноз по временному ряду сводится к оценке регрессии его уровней от времени по МНК и расчету перспективной оценки Yt +1 , где l – период

упреждения (прогнозирования).

Принято считать, что значения уровней (Yt ) складываются из

следующих компонент:

– тренд (ut ) – изменение, определяющее общее направление развития,

основную тенденцию временного ряда;

– сезонная составляющая (st ) – регулярные колебания уровней с периодом не более 1 года;

24

– циклическая составляющая (vt ) – регулярные колебания уровней с

периодом более года;

– нерегулярная составляющая (et ) формируется под действием резких, внезапных или текущих случайных факторов.

Выбор одной или нескольких кривых, форма которых соответствует характеру изменения временного ряда, может выполняться несколькими путями:

–графически с точным соблюдением масштаба;

–вычисляя абсолютные приросты, ускорение, темпы роста по сглаженным уровням ряда;

–оценивая параметры разных типов трендов и проверяя качество

регрессии;

Прямолинейный тренд: y = a + bt используется для описания процессов, развивающихся во времени равномерно. Такой временной ряд имеет равные в среднем абсолютные приросты (снижения) уровней, ускорение равно нулю. Согласно методу наименьших квадратов система нормальных уравнений для оценивания параметров прямой примет вид:

В ППП Excel для определения параметров линейного тренда и показателей его качества используется статистическая функция ЛИНЕЙН. Порядок вычисления следующий:

1)введите исходные данные:

2)выделите область (5 строк, 2 столбца) для вывода результатов:

3)активизируйте Мастер функций;

4)в окне Категория выберите Статистические, в окне Функция ЛИНЕЙН. Щелкните по кнопке ОК;

5)Заполните аргументы функции.

Известные значения y – диапазон, содержащий данные уровней временного ряда. Известные значения х – диапазон, содержащий показатели времени. Константа – 1. Статистика – 1.

25

Щелкните по кнопке ОК. Чтобы раскрыть итоговую таблицу результатов нажмите клавишу F2, а затем последовательно на комбинацию

клавиш <CTRL>–<SHIFT>–<ENTER>.

Результат вычисления функции ЛИHEЙH выводится в следующем порядке:

Часто во временных рядах нарушением предпосылки MHK о независимости случайных отклонений является автокорреляция остатков. Ряд остатков будет получен как отклонения фактических уровней временного ряда от полученных по уравнению:

et = yt − yt .

В условиях автокорреляции остатков эффективность оценок будет снижаться. Для обнаружения автокорреляции применяют критерий ДарбинаУотсона. Значение критерия определяется по формуле:

d= ∑(et − et−1 )2 .

∑et2

При отсутствии автокорреляции d=2, d=0 при сильной положительной автокорреляции, d=4 при отрицательной автокорреляции.

Критерий имеет границы d1 и d 2 , позволяющие принять или

отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции (см. табл. «Статистика Дарбина-Уотсона»). При сравнении величины d c d1 и d 2 , возможны

следующие варианты:

если d < d1 , то гипотеза об отсутствии автокорреляции отвергается; если d> d 2 , то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отвергается; если d1 < d < d 2 , нет достаточных оснований дня принятия решений, то

есть величина попадает в область "неопределенности".

Для расчета критерия Дарбина-Уотсона с помощью инструмента анализа данных Регрессия в ППП MS Excel можно получить остатки и графики остатков по линейной регрессии. Порядок работы следующий:

1. В главном меню выберите Сервис/Надстройки. Установите флажок

Пакет анализа. Щелкните ОК.

26

2.В главном меню выберите Сервис/Анализ данных/ Регрессия.

Щелкните ОК.

3.Заполните диалоговое окно ввода данных. Установите соответствующие флажки. Щелкните ОК.

В ППП Excel для построения графика в главном меню выберите опцию Вставка/Диаграмма и затем, после построения линейного графика, в главном меню опцию Диаграмма/Добавить тренд. В появившемся диалоговом окне выберите тип линии тренда и задайте соответствующие параметры на закладке Параметры щелкните ОК.

ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ 3

Даны исходные данные о курсе доллара. Необходимо:

1.Выполнить расчет параметров линейного и степенного трендов.

2.Построить графики фактических наблюдений и трендов. Выбрать наилучший вид тренда на основании графиков, коэффициента детерминации, критерия Фишера, критерия Дарбина-Уотсона.

3.Выполнить прогнозную оценку курса доллара на пять дней вперед.

4.Используя фактические исходные данные за следующие пять дней, рассчитать абсолютную ошибку прогноза и среднюю абсолютную ошибку прогноза.

27

Фактические исходные данные за следующие пять дней:

Решение.

Построим графики фактических наблюдений и трендов.

Рис. 7. График фактических наблюдений и трендов.

Рассчитаем параметры линейного тренда.

Линейное уравнение тренда имеет вид y = a +bt. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов. Система уравнений МНК:

na + b∑t = ∑ y

a∑t + b∑t 2 = ∑ yt

28

29

Для наших данных система уравнений имеет вид:

36a + 666b = 1116,57

+ =

666a 16206b 20753,41

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение.

Получаем a = 0.0249, b = 30.554.

Уравнение тренда:

y = 30,554+0,0249 t.

Эмпирические коэффициенты тренда a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Коэффициент тренда b = 0,0249 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с изменением периода времени t на единицу его измерения. В данном примере с увеличением t на 1 единицу, y изменится в среднем на 0,0249. Следовательно, в течение анализируемого периода курс возрастал ежемесячно на 2 копейки.