нЧОУ ВПО Институт экономики, управления и права (г. Казань)

Экономический факультет

Кафедра высшей математики

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

по дисциплине «Методы оптимальных решений»

Вариант 5

(№ з/к 113065)

Исполнитель: студентка гр. 131 ду ______________ Ю.В. Наумова

Проверил: ст. преподаватель ______________ З.Ш. Аглямова

Набережные Челны 2015

Содержание

1. Задание 1

2. Задание 2

3. Задание 3

4. Задание 4

Задание 1

Предприятию ООО «ТИТАН», одним из видов деятельности которого

является выполнение токарных, фрезерных и сверлильных работ, поступил

заказ на производство гаек стремянки, гаек штанги, гаек МОД и колец

шкворня в количестве соответственно Di шт. Производство заказанной

токарной продукции в полном объеме ограничено запасами имеющихся

ресурсов (трудозатратами – T чел.-час., запасом стали – S кг, а также

выделенными денежными средствами на оплату труда рабочих и

последующую обработку токарной продукции – Q руб.). Кроме того,

известно, что для производства единицы продукции каждого вида требуется

соответственно is кг стали, трудозатраты при этом составляют

соответственно it чел.-час. За каждую изготовленную деталь рабочий

предприятия получает if руб., последующая обработка единицы изделия

каждого вида требует затрат денежных средств в размере iz руб.

соответственно.

Задача оптимизации производства для ООО «ТИТАН» ставится в

форме максимизации дополнительной прибыли предприятия при заданных

ассортименте выпускаемой продукции и ограничениях на имеющиеся запасы

ресурсов, при условии, что прибыль от реализации единицы продукции

каждого вида составляет соответственно ci руб.

Необходимо:

1. Построить экономико-математическую модель представленной

задачи линейного программирования (с учетом условия целочисленности).

2. Определить с помощью надстройки «Поиск решения» в

Microsoft Excel оптимальный план производства продукции ООО «ТИТАН»

(количество гаек стремянки, гаек штанги, гаек МОД и колец шкворня).

3. Дать экономическую интерпретацию полученного решения.

Сформулировать оптимальное управленческое решение в описанных

условиях.

Исходные данные задачи планирования производства

Показатель	Ассортимент выпускаемой продукции
	Гайка стремянки	и Гайка штанги	Гайка МОД	Кольцо шкворня
Di	1100	750	300	400
si	0,19	0,17	0,38	1,36
ti	0,09	0,14	0,41	0,232
fi	4	5	13	6
zi	3	2,5	3,5	5
ci	6	9	16	10
T	240
S	800
Q	15000

Решение.

1. Построим экономико-математическую модель представленной

задачи линейного программирования (с учетом условия целочисленности).

Обозначим через xi

(где i = 1;4 ) – объём производства продукции ООО

«ТИТАН» (количество гаек стремянки, гаек штанги, гаек МОД и колец

шкворня).

Тогда дополнительная прибыль предприятия при заданном

ассортименте выпускаемой продукции F(x) составит:

F(X ) = 6 ⋅ x₁ + 9 ⋅ x₂ + 16 ⋅ x₃ + 10⋅ x₄ → max .

Ограничения по запасам имеющихся ресурсов:

0,19 * x₁ + 0,17 * x₂ + 0,38 * x₃ + 1,36 * x₄ ≤ 800

0,09 * x₁ + 0,14 * x₂ + 0,41 * x₃ + 0,232 * x₄ ≤ 240

(4+3)*x₁ + (5+2,5)*x₂ + (13+3,5) *x₃ + (6+5)*x₄ ≤ 15000

Ограничения по объему производства:

x₁ ≤ 1100

x₂ ≤ 750

x₃ ≤ 300

x₄ ≤ 400

Условия неотрицательности объемов производства:

x_i ≥ 0 (i=1;4)

Условия целочисленности объемов производства:

x_i(i=1;4) – целые числа.

Экономико-математическая модель представленной задачипланирования производства составлена.

2. Определим с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальный план производства продукции ООО «ТИТАН» (количество гаек стремянки, гаек штанги, гаек МОД и колец шкворня).

Исходные данные задания 1
Токарная продукция ООО "ТИТАН"	Гайка стремянки	Гайка штанги		Гайка МОД		Кольцо шкворня
Прибыль от реализации единицы продукции каждого вида, руб.	6	9		16		10
Заказ на производство токарной продукции, шт	1100	750		300		400
Ресурсы	Затраты на производство единицы продукции каждого вида						Запасы имеющихся ресурсов	Требуемое количество ресурсов
	Гайка стремянки		Гайка штанги		Гайка МОД	Кольцо шкворня
Сталь, кг	0,19		0,17		0,38	1,36	800	526,62
Трудозатраты, чел. -час	0,09		0,14		0,41	0,232	240	239,884
Оплата рабочему, руб	4		5		13	6	15000	14997
Денежные затраты по последующую обработку изделия, руб	3		2,5		3,5	5
Товарная продукция ООО "Титан"	Гайка стремянки		Гайка штанги		Гайка МОД	Кольцо шкворня
	x1		x2		x3	x4
Оптимальный план производства	1100		750		10	137
Целевая функция								14880

3. Дадим экономическую интерпретацию полученного решения.

Сформулируем оптимальное управленческое решение в описанных условиях.

Для обеспечения максимальной дополнительной прибыли в размере

14880 рублей предприятию ООО «ТИТАН» следует производить гайки

стремянки в количестве 1100 шт., гайки штанги – 750 шт., гайки МОД –

10 шт. и кольца шкворня – 137 шт. в месяц.

Дефицитным ресурсом при этом являются трудозатраты, поскольку его

остатки равны нулю. Увеличение недефицитных ресурсов: запаса стали,

денежных средств на оплату труда рабочих и последующую обработку

изделий, не может влиять на оптимальный план производства токарной

продукции ООО «ТИТАН».

ЗАДАНИЕ 2

В регионе имеются четыре угольные шахты, объем добычи угля в

которых составляет соответственно Ai (i = 4;1 ) тонн в день. Первичную переработку угля осуществляют три фабрики, производственные

возможности которых составляют Bj ( j = 3;1 ) тонн в день соответственно.

Перевозка угля от шахт до фабрик осуществляется с помощью железнодорожного транспорта. Транспортные затраты составляют S руб. за 9

т.-км. Расстояние от шахт до углеперерабатывающих фабрик приведено в табл.

Расстояние от шахт до углеперерабатывающих фабрик, в км

Угольные шахты	Углеперерабатывающие фабрики
	B1	B2	B3
	Расстояние от шахт до углеперерабатывающих фабрик, км
A1 A2 A3 A4	24 a 26 50	b 17 c 41	44 d 15 f

Исходные данные транспортной задачи

Показатель	А1	А2	А3	А4	В1	В2	В3	S	a	b	c	d	f
Значение	160	140	70	150	210	130	180	350	35	22	19	24	39

Необходимо:

1. Построить экономико-математическую модель представленной транспортной задачи.

2. Определить с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальное распределение поставок угля с угольных шахт на перерабатывающие фабрики, при котором совокупные транспортные

издержки будут минимальны.

3. Дать экономическую интерпретацию полученного решения.

Сформулировать оптимальное управленческое решение в описанных

условиях.

4. Найти с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel

оптимальное распределение поставок угля с угольных шахт на

перерабатывающие фабрики при условии, что в регионе открылась пятая

угольная шахта с объемом добычи угля в A5 тонн в день, расстояние от

которой до перерабатывающих фабрик составляет соответственно Rj

( j = 3;1 ) км. Дать экономическую интерпретацию полученного решения.

5. Найти с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel

оптимальное распределение поставок угля с угольных шахт на

перерабатывающие фабрики при условии, что открылась четвертая

углеперерабатывающая фабрика с производственной мощностью в B4 тонн в

день, при этом расстояние от каждой шахты до новой фабрики составляет 10

соответственно Ti (i = 4;1 ) км. Дать экономическую интерпретацию

полученного решения.

Решение.

1. Построим экономико-математическую модель представленной транспортной задачи.

Обозначим через ij x – объём перевозки угля от i –ой шахты до j –ой перерабатывающей фабрики.

Тогда суммарные транспортные затраты на перевозку F(x) составят:

F(x) = 350 * (24x₁₁ + 22x₁₂ + 44x₁₃ + 35x₂₁ + 17x₂₂ + 24x₂₃ + 26x₃₁ + 19x₃₂ + 15x₃₃ + 50x₄₁ + 41x₄₂ + 39x₄₃₎ → min .

Заданные объемы добычи угольных шахт и производственные

возможности перерабатывающих фабрик накладывают ограничения на

значения объемов перевозок угля x_y :

Мощность всех шахт должна быть реализована:

x₁₁ + x₁₂ + x₁₃ = 160

x₂₁ +x₂₂ + x₂₃ = 140

x₃₁ + x₃₂ + x₃₃ = 70

x₄₁ + x₄₂ + x₄₃ = 150

Потребности фабрик должны быть удовлетворены:

x₁₁ + x₂₁ + x₃₁ + x₄₁ = 210

x₁₂ + x₂₂ + x₃₂ + x₄₂ = 130

x₁₃ + x₂₃ + x₃₃ + x₄₃ = 180

Объемы перевозимого угля не могут быть отрицательными:

X_y≥ 0 ( = 4,3,2,1 j = 3,2,1)

Экономико-математическая модель представленной транспортной задачи составлена.

2. Определим с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальное распределение поставок угля с угольных шахт на перерабатывающие фабрики, при котором совокупные транспортные издержки будут минимальны.

Для начала проверим тип представленной транспортной задачи. Так как:

А_i = 160 + 140 + 70 + 150 = B_j = 210 + 130 + 180 (суммарная мощность шахт равна суммарной потребности фабрик), то данная задача является закрытой, а ее решение можно найти.

Далее на листе 1 новой книги Microsoft Excel, названной «Транспортная задача», в ячейки А3:Е12 введем исходные данные как на рис.

3. Дадим экономическую интерпретацию полученного решения. Сформулируем оптимальное управленческое решение в описанных условиях. Итак, для того, чтобы совокупные транспортные издержки на перевозку угля от шахт до перерабатывающих фабрик, осуществляющуюся с помощью железнодорожного транспорта, были минимальны и составили 4809

Тыс. руб.необходимо придерживаться следующего оптимального плана распределения поставок угля:

– с первой шахты весь объем добытого за день угля (это 160 т.) необходимо перевезти на первую перерабатывающую фабрику;

– со второй шахты весь объем добытого за день угля (это 140 т.) необходимо перевезти на вторую перерабатывающую фабрику;

– с третьей шахты 50 т. необходимо перевезти на первую перерабатывающую фабрику и 20 т. – на третью; 15

– с четвертой шахты 0 т. необходимо перевезти на вторую перерабатывающую фабрику и 150 т. – на третью.

4. Найдем с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальное распределение поставок угля с угольных шахт на перерабатывающие фабрики при условии, что в регионе открылась пятая угольная шахта с объемом добычи угля в A5 тонн в день, расстояние от которой до перерабатывающих фабрик составляет соответственно Rj ( j = 3;1 ) км. Дополнительные исходные данные транспортной задачи представлены в табл

Показатель	А5	R1	R2	R3
Значение	200	42	35	21

Сначала составим экономико-математическую модель представленной

транспортной задачи с измененными условиями:

F(x) = 350 * (24x₁₁ + 22x₁₂ + 44x₁₃ + 35x₂₁ + 17x₂₂ + 24x₂₃ + 26x₃₁ + 19x₃₂ + 15x₃₃ + 50x₄₁ + 41x₄₂ + 39x₄₃₎ → min .

x₁₁ + x₁₂ + x₁₃ = 160

x₂₁ +x₂₂ + x₂₃ = 140

x₃₁ + x₃₂ + x₃₃ = 70

x₄₁ + x₄₂ + x₄₃ = 150

x₅₁ + x₅₂ + x₅₃ = 200

x₁₁ + x₂₁ + x₃₁ + x₄₁ + x₅₁= 210

x₁₂ + x₂₂ + x₃₂ + x₄₂ + x₅₂= 130

x₁₃ + x₂₃ + x₃₃ + x₄₃ +x₅₃= 180

Объемы перевозимого угля не могут быть отрицательными:

X_y≥ 0 ( = 1,2,3,4,5 j = 1,2,3).

А_i = 160 + 140 + 70 + 150 +200 = B_j = 210 + 130 + 180

(суммарная мощность шахт не равна суммарной потребности фабрик), то данная задача является открытой, необходимо привести ее к закрытой. Для этого введем фиктивного потребителя (перерабатывающую фабрику), производственная потребность в угле которой составляет

B₄ = A_i - B_j = 720 -520 = 200

После введения фиктивной фабрики задача становится закрытой, и её математическая модель будет иметь вид:

F(x) = 350 * (24x₁₁ + 22x₁₂ + 44x₁₃ + 35x₂₁ + 17x₂₂ + 24x₂₃ + 26x₃₁ + 19x₃₂ + 15x₃₃ + 50x₄₁ + 41x₄₂ + 39x₄₃₎ → min .

x₁₁ + x₁₂ + x₁₃ +x₁₄= 160

x₂₁ +x₂₂ + x₂₃ + x₂₄= 140

x₃₁ + x₃₂ + x₃₃ +x₃₄= 70

x₄₁ + x₄₂ + x₄₃ +x₄₄= 150

x₅₁ + x₅₂ + x₅₃ +x₅₄= 200

x₁₁ + x₂₁ + x₃₁ + x₄₁ + x₅₁= 210

x₁₂ + x₂₂ + x₃₂ + x₄₂ + x₅₂= 130

x₁₃ + x₂₃ + x₃₃ + x₄₃ +x₅₃= 180

x₁₄ + x₂₄ + x₃₄ + x₄₄+x₅₄= 200

x_y≥ 0 ( = 1,2,3,4,5 j = 1,2,3,4).

Далее на листе 2 книги «Транспортная задача» Microsoft Excel, в ячейки введем исходные данные дополненной задачи как на рис

Рис. Результат поиска решения (оптимального распределения поставок в задаче с измененными условиями)

Дадим экономическую интерпретацию полученного решения.

Итак, для того, чтобы совокупные транспортные издержки на перевозку угля от шахт до перерабатывающих фабрик, осуществляющуюся с помощью железнодорожного транспорта, были минимальны и составили 3853,5 тыс.руб. необходимо придерживаться следующего оптимального плана распределения поставок угля:

– с первой шахты весь объем добытого за день угля (это 160 т.) необходимо перевезти на первую перерабатывающую фабрику;

– со второй шахты весь объем добытого за день угля (это 140 т.) необходимо перевезти на вторую перерабатывающую фабрику;

– с третьей шахты 50 т. необходимо перевезти на первую перерабатывающую фабрику и 20 т. – на третью;

– с четвертой шахты 0 т. необходимо перевезти на вторую перерабатывающую фабрику и 0 т. – на третью, при этом 150 т. добытого угля так и не будет вывезено;

– с пятой шахты весь объем добытого за день угля (это 200 т.) необходимо перевезти на третью перерабатывающую фабрику.

5. Найдем с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальное распределение поставок угля с угольных шахт на перерабатывающие фабрики при условии, что открылась четвертая углеперерабатывающая фабрика с производственной мощностью в B4 тонн в день, при этом расстояние от каждой шахты до новой фабрики составляет соответственно Ti (i = 1;4 ) км.

Показатель	B4	T1	T2	T3	T4
Значение	150	32	23	28	44

Сначала составим экономико-математическую модель представленной транспортной задачи с измененными условиями:

F(x) = 350 * (24x₁₁ + 22x₁₂ + 44x₁₃ + 35x₂₁ + 17x₂₂ + 24x₂₃ + 26x₃₁ + 19x₃₂ + 15x₃₃ + 50x₄₁ + 41x₄₂ + 39x₄₃₎ → min .

x₁₁ + x₁₂ + x₁₃ +x₁₄= 160

x₂₁ +x₂₂ + x₂₃ + x₂₄= 140

x₃₁ + x₃₂ + x₃₃ +x₃₄= 70

x₄₁ + x₄₂ + x₄₃ +x₄₄= 150

x₁₁ + x₂₁ + x₃₁ + x₄₁ = 210

x₁₂ + x₂₂ + x₃₂ + x₄₂ = 130

x₁₃ + x₂₃ + x₃₃ + x₄₃ = 180

x₁₄ + x₂₄ + x₃₄ + x₄₄ = 150

x_ij ≥ 0 (i =1,2,3,4 j=1,2,3,4)

Проверим тип представленной транспортной задачи с измененными условиями. Так как А_i = 160 + 140 + 70 + 150 < B_j = 210 + 130 + 180 +150 (суммарная мощность шахт не равна суммарной потребности фабрик), то данная задача является открытой, необходимо привести ее к закрытой. Для этого введем фиктивного поставщика (угольную шахту), добыча угля которой составляет A₅ = B_j - A_i= 670 – 520 = 150 т. в день. Все значения расстояний от этой фиктивной шахты до углеперерабатывающих фабрик c_5j = 0 (j=1,4) .

После введения фиктивной шахты задача становится закрытой, и её математическая модель будет иметь вид:

F(x) = 350 * (24x₁₁ + 22x₁₂ + 44x₁₃ + 35x₂₁ + 17x₂₂ + 24x₂₃ + 26x₃₁ + 19x₃₂ + 15x₃₃ + 50x₄₁ + 41x₄₂ + 39x₄₃₎ → min .

x₁₁ + x₁₂ + x₁₃ +x₁₄= 160

x₂₁ +x₂₂ + x₂₃ + x₂₄= 140

x₃₁ + x₃₂ + x₃₃ +x₃₄= 70

x₄₁ + x₄₂ + x₄₃ +x₄₄= 150

x₅₁ + x₅₂ + x₅₃ +x₅₄= 200

x₁₁ + x₂₁ + x₃₁ + x₄₁ + x₅₁= 210

x₁₂ + x₂₂ + x₃₂ + x₄₂ + x₅₂= 130

x₁₃ + x₂₃ + x₃₃ + x₄₃ +x₅₃= 180

x₁₄ + x₂₄ + x₃₄ + x₄₄+x₅₄= 200

x_ij ≥ 0 (i =1,2,3,4,5 j=1,2,3,4)

Далее на листе 3 книги «Транспортная задача» Microsoft Excel, в ячейки введем исходные данные дополненной задачи как на рис.

Дадим экономическую интерпретацию полученного решения. Итак, для того, чтобы совокупные транспортные издержки на перевозку угля от шахт до перерабатывающих фабрик, осуществляющуюся с помощью железнодорожного транспорта, были минимальны и составили 4683 тыс.руб. необходимо придерживаться следующего оптимального плана распределения поставок угля:

– с первой шахты 160 т. добытого угля необходимо перевезти на первую перерабатывающую фабрику;

– со второй шахты весь объем добытого за день угля (это 140 т.) необходимо перевезти на вторую перерабатывающую фабрику;

– с третьей шахты весь объем добытого за день угля (это 70 т.) необходимо перевезти на третью перерабатывающую фабрику;

– с четвертой шахты 110 т. добытого угля необходимо перевезти на третью перерабатывающую фабрику и 40 т. – на четвертую. Кроме того, важно отметить, что согласно полученному оптимальному распределению перевозки угля производственная потребность первой перерабатывающей фабрики не будет удовлетворена на 50 т., а третьей фабрики – на 150 т.

Задание 3

Руководство финансовой компании рассматривает 4 инвестиционных проекта, между которыми собирается распределить Q млн. руб. В зависимости от объема выделенных средств x , каждый инвестиционный проект приносит финансовой компании дополнительный доход f_i (x) , (i = 1;4).

Необходимо:

1. Определить размер максимального дополнительного дохода от вложения денежных средств в рассматриваемые инвестиционные проекты.

2. Определить оптимальное распределение средств финансовой компании, обеспечивающее ей максимальный дополнительный доход от инвестиций во все проекты.

3. Дать экономическую интерпретацию полученного решения.