1.3. Согласованные фильтры

До сих пор на помеху n(t) не налагалось никаких ограничений, кроме стационарности в широком смысле. Рассмотрим теперь помеху в виде гауссовского белого шума. Линейный фильтр, на выходе которого получается максимально возможное пиковое значение отношения сигнал/помеха при приеме полностью известного сигнала на фоне гауссовского белого шума, называется согласованным фильтром. Найдем выражение для комплексной частотной характеристики согласованного фильтра. Для этого положим Тогда выражения (1.7) и (1.8) примут соответственно вид:

(1.9)

где k – постоянная, характеризующая коэффициент передачи фильтра; E_s – энергия сигнала:

Запишем спектр входного сигнала и комплексную частотную характеристику фильтра в виде

Здесь _s– фазовый спектр сигнала,– фазо-частотная характеристика фильтра.

Тогда выражения для амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик согласованного фильтра будут иметь вид

Видно, что амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) согласованного фильтра пропорциональна амплитудному спектру входного сигнала (АЧХ фильтра «согласована» со спектром сигнала), а фазочастотная характеристика (ФЧХ) равна сумме фазочастотного спектра сигнала, взятого с обратным знаком, и фазового спектра задержки (– t₀).

Совпадение формы АЧХ фильтра с амплитудным спектром сигнала обеспечивает наилучшее выделение наиболее интенсивных участков спектра сигнала. Фильтр ослабляет участки спектра с относительно низким уровнем спектральных составляющих; в противном случае наряду с ними проходили бы интенсивные шумы. При этом форма сигнала на выходе фильтра искажается. Однако это не имеет существенного значения, так как задача фильтра в данном случае состоит не в точном воспроизведении входного сигнала, а в формировании наибольшего пика выходного сигнала на фоне шума. Существенную роль в этом отношении играет фазочастотная характеристика фильтра  ().

Подставив в формулу (1.1) выражение (1.9), получим выражение для полезного сигнала на выходе согласованного фильтра:

Отсюда видно, что сигнал на выходе фильтра определяется только амплитудным спектром входного сигнала и не зависит от его фазового спектра. Последнее обусловлено тем, что взаимные фазовые сдвиги спектральных составляющих входного сигнала _s() компенсируются ФЧХ фильтра. Поэтому все гармонические составляющие одновременно достигают амплитудных значений в момент времени t = t₀ и, складываясь, дают пик выходного сигнала:

Если бы ФЧХ фильтра не компенсировала фазовых сдвигов спектральных составляющих входного сигнала, то максимумы гармонических составляющих не совпадали бы по времени, что привело бы к уменьшению или раздроблению пика выходного сигнала.

Следует отметить, что согласованным фильтром (1.9) можно пользоваться и при приеме полностью известного сигнала на фоне стационарной помехи с произвольной спектральной плотностью S_n(). Для этого формально достаточно пропустить принимаемое колебание x(t) через дополнительный линейный фильтр, который преобразует помеху n(t) в белый шум. ФЧХ фильтра может быть любой, а АЧХ такого дополнительного “обеляющего” фильтра должна иметь вид

(1.10)

где – постоянная.

На выходе обеляющего фильтра помеха превратится в белый шум с постоянной спектральной плотностью а комплексный спектр сигнала будет

После этого можно воспользоваться полученными ранее формулами. В соответствии с выражением (1.9) комплексная частотная характеристика соответствующего согласованного фильтра

Оптимальный фильтр представляет собой последовательное соединение двух фильтров: обеляющего и согласованного . Его комплексная частотная характеристика естественно совпадает с соотношением (1.8).

Пользуясь допустимой свободой выбора фазовой характеристики обеляющего фильтра, можно попытаться выбрать ее так, чтобы оптимальный фильтр был физически реализуем. Если спектральную плотность помехи S_n() можно аппроксимировать рациональной функцией частоты (что на практике не ограничивает общности), то для получения физически реализуемого оптимального линейного фильтра используют разложение S_n() на комплексно-сопряженные сомножители. Рассмотрим пример.

Пусть помехой является гауссовский шум, имеющий спектральную плотность S_n() = 2D/(²+²), где D – дисперсия шума. Тогда согласно формуле (1.10) имеем

Таким образом, получаем два равноценных варианта обеляющих фильтров:

Найдем импульсную характеристику согласованного фильтра:

Учитывая выражение для входного сигнала

,

получаем

. (1.11)

Рис. 1.1

Следовательно, импульсная характеристика согласованного фильтра целиком определяется формой сигнала («согласована» с сигналом). На рис. 1.1 изображен импульсный сигнал s(t) длительностью t_и, появившийся в момент времени t = t₀ .

Очевидно, что функция s(t₀+t) появляется на время t₀ раньше, чем сигнал s(t). Функция же s(t₀–t) является зеркальным отображением функции s(t₀+t) относительно оси ординат. Умножив функцию s(t₀–t) на коэффициент k , получаем импульсную характеристику согласованного фильтра.