10 Постановка задачи минимизации

Пусть X некоторое множество пространства En, а f(x) ф-я, определенная на этом множестве. Будем рассматривать лишь те функции, которые принимают во всех точках X конечные вещественные значения.

Определение таких понятий, как точка минимума и максимума, наименьшее и наибольшее значение, ограниченность снизу и сверху, нижняя и верхняя грань ф-и f(x) на множесте X, минимизирующая и максимизирующая последовательность, точка локального и строгого локального минимума и максимума ф-и, сходимость последовательности к заданному множеству пространству En получаются из определений (1) (6) (8) (10), при этом нужно лишь под множеством x понимать точку, равную (x1; x2; :::; xn) пространства En, а под jxj норму x в пространстве En.

Как и ранее, нижнюю грань ф-и f(x) на множестве X будет обозначать

inf f(x) = f .

x2X

А множество точек минимума ф-и f(x) на множестве X

X = fx : x 2 X; f(x) = f g

Для обозначения задачи минимизации ф-и f(x) на множестве X будем пользоваться краткой записью

f(x) ! 1 x 2 X

Как и ранее будем различать задачи минимизации двух типов.

1.В задачах первого типа ищется точное или приближенное значение f и здесь не важно будет ли множество X пустым или нет.

2.В задачах второго типа наряду с величиной f ищется точка, которая достаточно близка к множеству точек минимума или даже принадлежит этому множеству X , требуется, чтобы минимум ф-и был конечным и чтобы это множество было не пусто.

Для приближенного решения задач обоих типов обычно строят какую-либо минимизирующую последовательность

fxkg xk 2 X k = 1; 2; ::: lim f(xk) = f

k!1

Тогда в кач-ве приближения f можно взять величину f(xk) при достаточно большом индексе k. В том случае, если последовательность fxkg сходится к множеству X то, точку xk и соответствующее значение ф-и f(xk) при достаточно большом индексе k можно принять за приближенное решение задачи второго типа.

10.1Задача максимизации ф-и f(x) на X

Так как

supf(x) = inf ( f(x))

x2X x2X

то любая точка максимума или любая максимизирующая последовательность для ф-и f(x) на X будет соответствовать точке минимума или минимизирующей последовательности для ф-и f(x) на том же множестве X. Поэтому можно ограничится изучением лишь задач минимизации.

11Необходимые и достаточные условия локального экстремума. Классический метод нахождения экстремума ф-и многих переменных

Под классическим подходом подразумевают подход к поиску точек экстремума ф-и многих переменных (т. е. точек локального минимума и максимума), который основан на дифференциальном исчислении.

Необходимые условия локального экстремума имеют вид:

Теорема 1. Для того, чтобы в точке x0 ф-я f(x10; :::xn0 ) имела локальный экстремум необходимо, чтобы все ее частные производные обращались в точке x0 в 0 т.е.

@f(x) j

@xi x=x0 = 0 i = 1; 2; :::; n (1)

Точки, удовлетворяющие условию (1) называются стационарными. Пусть ф-я f(xn) определена, непрерывна и имеет непрерывные производные первого и второго порядка в окрестности некоторой стационарной точки (x10; x20; . . . ; xn0 ) Разлагая разность

20