30 Уравнение Эйлера

Исследуем на экстремум функционал

x1

v[y(x)] = F (x; y(x); y0(x))dx (8:1)

x0

причем граничные точки граничных кривых закреплены т.е.

y(x0) = y0 y(x1) = y1

для всех кривых.

Предположим, что экстремум достигается на дважды дифференцируемой кривой y = y(x). Возьмем какую-нибудь близкую к y = y(x) допустимую кривую y = y(x) и включим эти кривые в однопараметрическое семейство кривых

y(x; ) = y(x) + (y(x) y(x))

При = 0 получим кривую

y = y(x)

а при = 1 получим кривую

y = y(x)

Вариация ф-и

y = y(x) y(x)

является ф-ей от x. Ее можно дифференцировать. Поэтому получим

( y)0 = y0(x) y0(x) = y0

( y)00 = y00(x) y00(x) = y00

...

( y)(k) = y(k)(x) y(k)(x) = y(k)

Если рассматривать значения функционала

x1

v[y(x)] = F (x; y; y0)dx

x0

только на кривых семейства

y = y(x; )

то функционал превращается в ф-ю от

v[y(x; )] = ( )

Это следует из того, что значение параметра определяет кривую

y= y(x; )

итем самым определяет значение функционала v[y(x; )].

Эта ф-я ( ) по предположению достигает своего экстремума при = 0 (y(x; 0) = y(x)) Необходимое условие экстремума при = 0 имеет вид

0(0) = 0

Т.к.

x1

( ) = F (x; y(x; ); y0(x; ))dx

x0

61

в граничных точках x = x0 и x = x1.

Для упрощения условия (8:2) используют следующую лемму.

Основная лемма вариационного исчисления. Если (x) - непрерывная функция и интеграл

x1

(x) (x)dx = 0

x0

для любой непрерывной ф-и (x), имеющей непрерывную производную и удовлетворяющую условию

(x0) = (x1) = 0

то

(x) 0

Док-во. Предположив, что в точке

x = x

лежащей на отрезке

x0 6 x 6 x1

ф-я

(x) 6= 0

придем к противоречию.

Действительно, из непрерывности ф-и (x) следует, что если (x) 6= 0, то (x) сохраняет знак в некоторой окрестности

x0 6 x 6 x1

Но тогда, выбрав ф-ю (x) так же сохраняющей знак в этой окрестности и равной нулю вне этой окрестности (см. рисунок) получим, что

Соотношение (8:3) противоречит условию леммы. Следовательно, (x) 0.

Замечание. Утверждение леммы и ее док-во неизменяются, если на ф-ю (x) наложить следующие ограничения

(x0) = 0 и (x1) = 0

Применим основную лемму для упрощения необходимого условия (8:2) экстремума функционала (8:1)

x1

[Fy dxd Fy0] ydx = 0

x0

Все условия основной леммы выполнены, следовательно

Fy dxd Fy0 = 0

на кривой y = y(x) реализующей экстремум функционала. Т.е. ф-я является решением дифференционального уравнения второго порядка или

Fy Fxy0 Fyy0y0 Fy0y0y00 = 0 (8:4)

уравнение Эйлера (1744 год). Интегральные кривые

y = y(x; C1; C2)

называются экстремалями. Замечание. Краевая задача

Fy Fxy0 Fyy0y0 Fy0y0y00 = 0

(

y(x0) = y0 y(x1) = y1

не всегда имеет решение. А если решение существует, то оно может быть не единственным.

63

31 Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера

Так как дифференциальные уравнения второго порядка интегрируются в конечном виде лишь в исключительных случаях, то и уравнение Эйлера интегрируется далеко не всегда.

Рассмотрим простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера.

1. F не зависит от y0 т.е.

F = F (x; y)

Уравнение Эйлера имеет вид

Fy(x; y) = 0

т.к.

Fy0 = 0

Решение полученного уравнения несодержит элементов произвола и поэтому в общем случае неудовлетворяет граничным условиям

(

y(x0) = y0 y(x1) = y1

2. Ф-я F линейно зависит от y0

F (x; y; y0) = M(x; y) + N(x; y)y0

x1

[y(x)] = [M(x; y) + N(x; y)dxdy ]dx

x0

У-ние Эйлера примет вид

@M@y + @N@y y0 @N@y @N@y y0 = 0

т.е.

@M@y @N@y = 0 (8:5)

Так же конечное, а не дифференциальное уравнение и кривая (8:5) в общем случае не удовлетворяет граничным условиям.

3. F = F (y0). У-ние Эйлера имеет вид

F y0y00 = 0

Отсюда следует

y00 = 0

или

Fy0y0 = 0

Если

y00 = 0

то

64

y0 = 0 y = c1x + c2

а это двухпараметрическое семейство прямых линий. Если же у-ние

Fy0y0(y0) = 0

имеет один или несколько действительных корней, то

y0 = ki (один из этих корней)

То

y= kix + c

аэто однопараметрическое семейство прямых, содержащиеся в полученном выше двух параметрическом семействе y.

4. Функция F зависит только от x; y0 т.е.

F = F (x; y0)

У-ние Эйлера приобретает вид

Fxy0 Fy0y0y00 = 0

или

dxd Fy0(x; y0) = 0

Следовательно, существует первый интеграл

Fy0(x; y0) = c1

Полученное у-ние не содержит ф-и y и может быть проинтегрировано путем разрешения относительно y0 или путем введения параметра.

5. Ф-я F зависит только от y; y0

F = F (y; y0)

У-ние Эйлера имеет вид

Fy Fyy0y0 Fy0y0y00 = 0

Если умножить это уравнение на y0, то левая часть превращается в точную производную

dxd (F y0Fy0) = Fyy0 + Fy0y00 y00Fy0 Fyy0(y0)2 Fy0y0y0y00 = y0(Fy Fyy0y0 Fy0y0y00)

Следовательно, у-ние Эйлера имеет первый интеграл

F y0Fy0 = c1

Так как это у-ние первого порядка не содержит явно x, то оно может быть проинтегрировано путем разрешения относительно y0 или параметров.

Задача о наименьшей поверхности вращения. Определить кривую с заданными граничными точками от вращения которой вокруг оси абсцисс образуется поверхность наименьшей площади.

Площадь поверхности вращения равна

65

[y(x)] = 2 y 1 + (y0)2dx

x

Следовательно первый интеграл у-ния Эйлера

F y0Fy0 = c1

или

yp1 + (y0)2 p yy02 0 2 = c1

1+(y )

После упрощения получим

p y 0 2 = c1

1+(y )

Проще всего это у-ние интегрируется подстановкой

y0 = sht

тогда

y = c1cht

dx = dyy0 = c1 shtdtsht = c1dt

Следовательно, искомая поверзность образует вращением линии, у-ние которой в параметрической форме имеет вид

(

x = c1t + c2 y = c1cht

исключая парамет t получим

y = c1chx c2

c1

это семейство цепных линий.

Поверхности, образуемые от цепных линий называются катеноидами. А постоянные c1; c2 определяются из условия прохождения искомой линии через граничные точки A и B.

66