5Метод золотого сечения
Метод позволяет найти локальный экстремум ф-и при меньшем кол-ве вычислений ее значений, чем метод деления отрезка пополам. Золотым сечением отрезка называется деление отрезка на две неравные части так, чтобы отношение длины всего отрезка к длины большей части равнялось отношению большей части к длине меньшей части отрезка. Золотое сечение производится двумя точками
(x2 |
= a + |
1 |
(3 + p5)(b |
a) = a + 0:61803(b |
a) |
||
|
|
21 |
(3 p |
|
|
|
|
x1 |
= a + |
5)(b |
a) = a + 0:38196(b |
a) (1) |
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
расположенными симметрично относительно середины отрезка. Для точек x1 и x2(a < x1 < x2 < b) выполняются соотношения
b a |
= b x1 |
|
b a |
= x2 a = |
p |
|
|
|
= |
5+1 |
= 1:61803 (2) |
||||||
|
||||||||
b x1 x1 a |
|
x2 a |
b x2 |
2 |
|
|||
В свою очередь точка x1 производит золотое сечение отрезка [a; x2] т.к.
x2 a |
= |
x1 a |
l2 |
= |
l1 |
x1 a |
|
x2 x1 |
l1 |
|
l2 l1 |
Аналогично точка x2производит золотое сечение отрезка [x1; b] Определение минимума унимодальной f(x) на отрезка [a; b] выглядит так. Положим
a1 = a b1 = b
на отрезке [a1; b1] возьмем точки x1 x2, производящие золотое сечение и вычислим значение f(x1) f(x2).
Если
f(x1) 6 f(x2)
то примем
a2 = a1 b2 = x2 x2 = x1
если
f(x1) > f(x2)
то примем
a2 = x2 b2 = x1 x2 = x2
Так как ф-я f(x) унимодальна на на отрезке [a; b], то получившийся отрезок [a2; b2] имеет хотя бы одну общую точку со множеством точек минимума ф-и f(x) X . Кроме того
p
b2 a2 = 12 ( 5 1)(b a)
и внутри отрезка [a2; b2] содержится точка x2 с вычисленным значением
f(x2) = min(f(x1); f(x2))
которая производит золотое сечение отрезка [a2; b2].
Предположим, что уже определены точки x1; x2; :::; xn 1, вычислены f(x1); f(x2); :::; f(xn 1), найден отрезок [an 1; bn 1] такой, что пересечение с множеством точек X не пусто.
p
= ( 52 1 )n 2(b a)
и известна точка xn 1, производящая золотое сечение отрезка [an 1; bn 1] такая, что f(xn 1) = min(f(xi))1 6 i 6 n 1 n > 2.
Тогда в кач-ве следующей точки возьмем точку
xn = an 1 + bn 1 xn 1
8
так же производящую золотое сечение отрезка [an 1; bn 1] и вычислим значение f(xn). Пусть для определенности
Cлучай xn 1 Если
то
Если же
то
an 1 < xn < xn 1 < bn 1
< xn рассматривается аналогично.
f(xn) 6 f(xn 1)
an = an 1 bn = xn 1 xn = xn
f(xn) > f(xn 1)
an = xnbn = bn 1 xn = xn 1
Новый отрезок [an; bn] таков, что его пересечение с X непусто, длина отрезка
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
b |
n |
a = ( |
5 1 |
)n 1 |
|
(b |
|
a) |
||
|
n |
2 |
|
|
|
|||||
а точка xn производит сечение отрезка [an; bn] и
f(xn) = min(f(xi)) 1 6 i 6 n.
Если число вычислений значений ф-и f(x) не ограничено, то процесс приближений можно продолжать до тех пор, пока не выполнится неравенство bn an < " заданная погрешность, после этого в кач-ве решения задачи второго типа можно взять пару f(xn), xn, где первое приближение для
f = inf f(x)
x2[a;b]
а точка xn служит приближением для локального минимума.
Если погрешность " не задана, то погрешность на n-ом шаге оценивают по формуле
|
|
|
|
j 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
n |
v |
max[b |
n |
|
|
; |
|
|
a |
] = ( |
5 1 |
)n(b |
|
a) |
|||
|
x |
x |
n |
x |
|
|
|||||||||||||
j |
|
|
|
|
n |
n |
|
2 |
|
|
|||||||||
Недостаток в таком классическом виде метод золотого сечения уже при небольших n имеет большую погрешность (с большими погрешностями определяются точки, осуществляющие золотое сечение).
5.1Модификация метода золотого сечения
Заключается в следующем: на каждом отрезке [an; bn] (на каждом шаге) содержащем xn с предыдущего шага при выборе следующей точки xn+1 не пользуются формулой
xn+1 = an + bn xn
вместо этого непосредственно производят золотое сечение отрезка [an; bn].
9