Часть II

Безусловная минимизация функций многих переменных

9Линейные пространства

Определение. Непустое множество L элементов x; y; z; ::. называется линейным или векторным пространством если оно удовлетворяет следующим условиям:

для любых двух элементов x; y из L однозначно определен третий элемент z, называемый их суммой

иобозначаемый x + y. Причем:

–x + y = y + x(коммутативность)

–x + (y + z) = (x + y) + z(ассоциативность)

–в L существует такой элемент 0, что x + 0 = x для всех x 2 L (существование 0)

–8x 2 L существует такой элемент x, что x + ( x) = 0 (существование противоположного элемента)

для любого числа и любого x определен x из L (произведение элемента x на ) причем:

–( x) = ( x)

–1x = x

–( + )x = x + x

–(x + y) = x + y

Через Rn будем обозначать n мерное вещественное линейное пространство, состоящее из векторов столбцов

–XT = (x1; . . . ; xn)T

Если в линейном пространстве Rn ввести скалярное произведение 2-ух векторов

n

P

< x; v >= xivi

i=1

то пространство Rn превращается в n-мерное Эвклидовое пространство которое будем обозначать

En

Длина вектора или норма вектора в En определяется как

Величину

n

(x v) = jx vj = (Pjxi vij2)12

i=1

называют эвклидовым расстояниям между точками x; v, принадлежащими En.

19