- •Экзаменационные вопросы
- •1 Постановка задачи. Локальные и глобальные экстремумы
- •2 Задача максимизации функции
- •3 Необходимые и достаточные условия локального экстремума. Классический метод нахождения экстремумов функций
- •3.1 Классический метод
- •4 Метод деления отрезка пополам
- •5 Метод золотого сечения
- •5.1 Модификация метода золотого сечения
- •6 Симметричные методы
- •6.1 Постановка задачи об оптимальных методах
- •6.2 Оптимальный пассивный метод для задачи А (метод равномерного перебора)
- •6.3 Оптимальный последовательный метод для задачи А (метод Фибоначчи)
- •7 Метод ломаных
- •7.1 Описание метода ломаных
- •7.2 Сходимость метода ломаных
- •7.3 Определение константы L
- •7.4 Достоинства и недостатки метода ломаных
- •9 Линейные пространства
- •10 Постановка задачи минимизации
- •12 Численные методы безусловной минимизации
- •13 Общая схема градиентого спуска
- •13.1 Градиентые методы с дроблением шага
- •13.2 Метод наискорейшего спуска
- •13.3.1 О сходимости градиентого метода
- •13.4 Методы покоординатного спуска (для отыскания безусловного экстремума)
- •13.4.1 Метод покоординатного спуска без вычисления производных
- •13.4.2 Рекомендации по применению этого метода
- •14 Относительный (условный) экстремум
- •15.1 Метод исключения
- •15.3 Метод Лагранжа
- •17 Обобщенная функция Лагранжа
- •17.1 Обобщеный метод множителей Лагранжа
- •17.2 Единственность вектора Лагранжа для нормального оптимального плана
- •18 Общая задача математического программирования
- •19 Выпуклые множества
- •19.1 Выпуклые функции
- •20 Дифференциальные условия оптимальности в задаче математического программирования
- •21.2 Метод проекции градиента
- •21.3 Проекция точки на гиперплоскость
- •21.4 Проекция точки на аффинное множество
- •21.5 Проекция точки на шар
- •21.6 Проекция точки на замкнутое полупространство
- •21.8 Метод покоординатного спуска для отыскания условного экстремума
- •22 Метод штрафных ф-ий
- •22.1 Метод внешних штрафных функций
- •22.2 Метод барьерных функций
- •22.2.1 Описание метода барьерных функций (для решения задачи 6.1)
- •23 Общая задача ЛП и ее канонические формы
- •23.1.3 Переход к эквивалентой системе неравенств
- •23.1.4 Переход от задачи минимизации к задаче максимизации
- •24 Различные формы записи задачи ЛП
- •24.1 Развернутая форма задачи ЛП
- •24.2 Векторная форма
- •24.3 Матричная форма
- •24.4 План. Опорный план. Оптимальный план
- •25 Выпуклые многогранники
- •26 Геометрическая интерпретация задачи ЛП
- •26.1 Свойства решения задачи ЛП
- •26.2 Графический метод решения задачи ЛП
- •27 Симплексный метод решения задач ЛП
- •27.1 Построение опорных планов
- •27.2 Отыскание оптимального плана. Условия оптимальности
- •27.3 Алгоритм симплексного метода. Симплексная таблица
- •27.3.1 Правила заполнения таблицы
- •27.3.2 Анализ симплексной таблицыx
- •27.3.3 Переход к новому опорному плану
- •27.3.4 Замечание к решению задачи на максимум
- •28 Методы искусcтвенного базиса
- •28.1 Метод больших штрафов
- •28.2 Двухэтапный метод
- •29 Вариация и ее свойства
- •30 Уравнение Эйлера
- •31 Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера
23.1.4Переход от задачи минимизации к задаче максимизации
Для такого перехода надо изменить знак целевой ф-и.
То есть задача минимизации
|
n |
jP |
|
f(x) = |
cjxj |
=1 |
|
эквивалентна задаче поиска максимума |
|
|
n |
f(x) = |
jP |
=1cjxj |
|
24 Различные формы записи задачи ЛП
Рассмотрим различные формы записи задачи ЛП в применении к задаче (7:5) - (7:7)
24.1Развернутая форма задачи ЛП
Найти минимум ф-и
f = c1x1 + c2x2 + ::: + cnxn (7:17)
при условиях
8
>a11x1 + a12x2 + ::: + a1nxn = b1
>
>
<a21x1 + a22x2 + ::: + a2nxn = b1
(7:18)
>:::
>
>
:am1x1 + am2x2 + ::: + amnxn = b1
xj > 0 j = 1; 2; :::; n (7:19)
24.2Векторная форма
Найти минимум ф-и
f = c1x1 + c2x2 + ::: + cnxn (7:20)
при
|
|
A1x1 + A2x2 + ::: + Anxn = A0 (7:21) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
xj > 0 j = 1; 2; :::; n |
|
|
|
|
||||
где |
|
0a21 |
1 A2 |
|
0a22 |
1 |
|
0a2n |
1 A0 |
|
0b2 |
1 |
A1 |
= |
= |
... An = |
= |
||||||||
|
|
a11 |
C |
|
a12 |
C |
|
a1n |
C |
|
b1 |
C |
|
|
Ba::: |
|
Ba::: |
|
Ba::: |
|
Bb::: |
||||
|
|
B m1C |
|
B m2C |
|
B mnC |
|
B mC |
||||
|
|
@ |
A |
|
@ |
A |
|
@ |
A |
|
@ |
A |
24.3Матричная форма
0
a11 a12
Ba21 a22
A = B
@ ::: :::
an1 an2
1 |
0 |
1 |
::: a1n |
|
x1 |
:::a2n C Bx2C
:::::: C x = B::: C c = (c1; c2; :::; cn)
A @ A
:::anm xn
Тогда задача ЛП формулируется так: найти минимум функции f(x) = cx (7:22)
при условии
Ax = A0 x > 0 (7:23)
49