15.3Метод Лагранжа

1. Составляется ф-я n + m переменных, которые называется ф-ей Лагранжа

m

L(x; ) = f(x) + P igi(x)

i=1

2. Вычисляется и приравниваются к нулю ее частные производные по x и

8m

:

3. Решается система (2:7) из n + m относительно n + m неизвестных x1; :::; xn; 1; :::; m

16Достаточные условия локального экстремума при ограниченияхравенствах

Пусть пара fx ; g есть решение у-ния (2:7) и Якобиан (1:2) не равен 0. Рассмотрим приращение ф-и f(x) в точке x и близких к ней допустимых точках x + dx. Точки x и x + dx должны удовлетворять у-ниям связи (1:1) тогда приращение ф-и f(x) равно приращению ф-и Лагранжа (2:6)

Так, как смещение dx из точки x не должно нарушать условие связи (1:1), то разложение ф-и gi(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x приводит к равенству

Достаточные условия экстремума однозначно связаны со знакоопределенностью квадратичной формы

r=1 =1

Поскольку Якобиан (1:2) отличен от 0, то из уравнений (2:16) можно вычислить дифференциалы независимых переменных. Подставляя соотвествующие выражения в (2:17) получим квадратичную форму относительно независимых приращений dxm+1; :::; dxn. По аналогии с теоремой о достаточных условиях безусловного экстремума заключаем: для того, чтобы в точке x был относительный локальный минимум, необходимо и достаточно, чтобы его квадратичная была положительно определенной.

17 Обобщенная функция Лагранжа

17.1Обобщеный метод множителей Лагранжа

Обобщенная ф-я Лагранжа для f(x) имеет вид

m

L(x; ) = 0f(x) + P igi(x) (2:18)

i=1

28

Она отличается от классической ф-и Лагранжа наличием множителя 0 перед функцией f(x). Вектор

0 0 1

B 1 C

= B C @ ::: A

m

называют обобщенным вектором Лагранжа, где 0 - скаляр, а

0 1 1

B 2 C

= B C @ ::: A

m

классический вектор Лагранжа.

Теорема 1. Обобщенное правило множителей Лагранжа. Для каждого локально-оптимального решения x задачи (1:1) существует такой ненулевой обощенный вектор Лагранжа

0 6= 0

что

@L(x ; ) = 0 (2:19)

@x

т.е. x - стационарная точка обощенной ф-и Лагранжа (2:18) при

0 =

Вектор для которого в точке x выполняется равенство (2:19) называется обощенным вектором Лагранжа, соответствующем точке x . Точке x может соответствовать несколько обобщенных векторов Лагранжа.

Определение 5. Задачу (1:1) и ее оптимальное решение x называют нормальными, если среди обобщенных векторов Лагранжа

0 0 1 B 1 C

0 = B ::: C @ A

m

соотвествующих плану x нет такого, чтобы

0 = 0

17.2Единственность вектора Лагранжа для нормального оптимального плана

Обобщенный вектор Лагранжа из равенства (2:19) определяется с точностью до постоянного множителя, а в нормальной задаче (1:1) компонента 0 не равна 0, поэтому разделив на нее обощенный вектор получим обобщенный вектор Лагранжа вида

0 1

1

B 1C

BC

= B 2C

BC @... A

n

что означает, что обощенная ф-я Лагранжа станет классической ф-ей Лагранжа (2:6). Лемма. Нормальному оптимальному плану соотвествует единственный вектор Лагранжа.

Док-во. Предположим, что нормальному плану соотвествуют 2 неравных друг другу вектора Лагранжа и

29

Вычитая одно равенство из другого получим, что сумма

m

P( i i)@gi(x ) = 0 @x

i=1

которая означает, что нормальному оптимальному плану x вопреки определению 4 соотвествует обобщенный вектор Лагранжа

0 1

0

B1 1 C

BC @ ::: A

m m

Полученное противоречие доказывает лемму.

30