b

Таким образом, если для прогиба уже первое приближение дает практически точное значение, то для изгибающих моментов, очевидно, требуется дальнейшее уточнение.

Третье приближение

= 2π 2 10−4 [17,97 − 0,3681 4 + 0,1288 9]ql 2 = 0,03485ql 2 .

Таким образом, в третьем приближении по сравнению со вторым приближением:

а) прогиб в середине пролета балки увеличился на

Таким образом, в третьем приближении мы получили лишь незначительное уточнение прогиба. Изгибающие моменты получили более значительные добавки, особенно изгибающий момент в середине пролета. Однако заметим, что третье приближение изгибающего момента в середине пролета попало в вилку (интервал) между первым и вторым приближениями. Вероятно, в последующих приближениях значения этого момента не выйдут из интервала, и вилка будет сужаться.

Приведенные расчеты проведены на микрокалькуляторе для наглядности вычислительного процесса. Дальнейшие вычисления (как, впрочем, и предыдущие) целесообразно

проводить на ЭВМ. Ниже в табл. 5.1 приведены результаты 4, 5, 6, 10 и 20 приближений, проведенных с применением ЭВМ.

Данные таблицы подтверждают сделанные раньше выводы.

Первое приближение дает удовлетворительное значения прогиба. Последующие приближения уточняют это значение менее 2%. Наибольшее приращение в последующих приближениях получает изгибающий момент на опоре, который последовательно увеличивается. Изгибающий момент в середине пролета оказывается в вилке первого и второго приближений, и поэтому окончательная ошибка первого приближения оказывается меньше относительного приращения второго приближения. Очевидно, результаты 5- го, 6-го приближений можно считать точными для изгибающего момента в середине пролета. Изгибающий момент в жестко защемленной опоре после пятого приближения медленно увеличивается (менее 1% при добавлении 1-го члена ряда), однако суммарное изменение 20го приближения по отношению к 6-му достигает

Истинные значения функций прогибов и изгибающих моментов вычисляются умножением коэффициентов αус, αМо,

В последней строке табл. 5.1 приведены для сравнения результаты расчета аналогичной балки переменного сечения методом конечных разностей при разбивке пролета балки на 16 частей с постоянным шагом, а также относительные невязки вычисленных значений в сравнении с двадцатым приближением вариационного метода.

Вычислим еще точность первого приближения по отношению к конечному результату (20-му приближению):

Дополнительной проверкой точности расчета может служить точность выполнения уравнений равновесия для половины балки. Так как из условия симметрии опорная реакция равна половине нагрузки, то для момента в середине пролета имеем

Пример 5.3. Определить значение сжимающей критической силы и коэффициент приведенной длины стержня с жестким закреплением одного конца и шарнирным опиранием другого.

Решение. В соответствии с формулой (5.2.4) решение в первом приближении принимаем в виде

y(ξ)= Pl3 Y (ξ), EJ z

где принято q0 = Р/l.

Для аппроксимации изогнутой оси стержня при потере устойчивости используем балочную статическую функцию

изгиба балки с соответствующими условиями опирания от равномерно распределенной нагрузки (см. табл. П.2 приложения 2):

Y (ξ)=ξ 2 (1 −ξ)(3 −ξ);

Нетрудно убедится, что все граничные условия опирания рассматриваемого стержня выполнены - Y(0)=Y ‘(0)=Y(1)=Y ′

′(1)= 0.

Отметим, что при решении задачи в первом приближении надо стремиться удовлетворять все граничные условия.

Балочные функции и интегралы от них приведены в приложении. Там же в приложении приведены и другие системы функций, удовлетворяющие различным условиям опирания балок. Кроме статических балочных функций, которые удобно использовать при решении задач изгиба стержней и пластинок в первом приближении, приведены формулы динамических балочных функций - функций формы колебаний балки, а также системы тригонометрических функций. Балочные статические и динамические функции удовлетворяют всем условиям опирания балки и кинематическим, и статическим. Системы тригонометрических балочных функций, приведенных в приложении, удовлетворяют кинематическим условиям опирания балки и могут не удовлетворять статическим граничным условиям.

Вычисляем коэффициент В11 в соответствии с формулой (5.2.5) для задачи устойчивости

Значения интегралов от квадратов производных балочных функций взяты из табл. П.6 (см. приложение2).

Так как поперечная нагрузка отсутствует, то коэффициент нагрузки С1 = 0, и, следовательно приравнивая нулю В11 (А1 ≠ 0, иначе не было бы потери

где µ = 0,685 - коэффициент приведенной длины.

Как известно из курса сопротивления материалов, коэффициент приведенной длины стержня с жестким и шарнирным закреплением его концов равен 0,7. Следовательно, применяя метод Ритца−Тимошенко, мы

определили коэффициент приведенной длины в первом приближении с относительной ошибкой

δ = 0,7 − 0,685100 = 2,1% . 0,7

Пример 5.4. Определить величину критической силы для двух-пролетной балки постоянного сечения шарнирно опертой по концам и упругой опорой в середине (рис. 5.2). Изгибная жесткость баки EJ = const, коэффициент жесткости упругой

опоры - су.

Решение. Решение ищем в виде ряда (5.2.4)

Вычисляем коэффициенты Вnm

Для двух членов ряда (m = 1,2) получим:

Переходя к размерным величинам в соответствии с формулами (5.2.3), имеем:

Стержень потеряет устойчивость при наименьшем значении силы - Ркр = min (P1, P2). Так как критическое значение силы Р1 зависит от величины коэффициента

жесткости упругой опоры су, а критическое значение силы Р2 постоянно при заданной изгибной жесткости балки EJz, то сравнивая значения сил Р1, Р2, получим

Пример 5.5. Сравнить значения критической силы консольного стержня переменного сечения (рис. 5.3), полученные при аппроксимации прогиба различными функциями. Сечение стержня - квадрат, сторона которого меняется по высоте линейно.

Рассмотрим три варианта аппроксимации

прогиба:

а) принимаем функции прогиба в виде полиномов:

Y1 (ξ)=ξ 2 - парабола второго порядка, обеспечивающая

выполнение

yкинематических граничных условий;

в) система динамических балочных функций (см. табл. П.4 приложения 2)

Fim (γmξ), i =1, 2, 3, 4 - функции Крылова (см. раздел В приложения 2,); γm – собственные числа дифференциального

уравнения колебаний консольной балки постоянного сечения

(см. табл. 5 приложения 2) - γ1 = 1,8751, γ2 = 4,6941, γ3 =

7,8548.

Сформулируем задачу в общей постановке для произвольного числа членов ряда, представив предварительно коэффициенты Вmn системы (5.2.5) в виде суммы