Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

b

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

1.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1411 12 13 14 > Следующая >>>

∂2 w

m −

∂2 w

∂δ w

d s + ∫∫

∂2 w

∂2δ w

= ∫

∂y

∂x

∂y

∂x

2 dA ,

S ∂x∂y

или

∂2 w

∂2δw

∂2 w

∂δ w

∂3w

∫∫

∂x∂y

∂x∂y dA = ∫∂x∂y

∂y

l d s − ∫∫

∂y

∂ ∂

2 dA =

y x

= ∫

∂2 w

l −

∂2 w

∂δ w

d s + ∫∫

∂2 w

∂2δ w

dA .

∂x∂y

∂x

∂y

∂x

∂y

Тогда

∂2 w

∂2δ w

∂2 w

∂2δ w

∂2 w

∂2δ w

∫∫

−

dA =

∂x∂y

∂x

∂y

∂x

∂

∂w

∂

∂w

= ∫

− m

− l

∂x

∂y

∂x

∂y

∂x

∂y

∂x ds

= S∫

∂2 w

∂w

∂2 w

∂w

∂τ ∂x

∂y

−

∂τ ∂y δ

∂x ds =

∂

∂w

∂

∂w

= ∫

−

− m

∂τ∂x

∂n

∂τ

∂τ∂y

∂n

∂τ

ds =

∂

∂m

∂w

∂

∂w

= ∫

−l

+ m

ds =

∂τ

∂x

∂y

∂n

∂τ

∂x

∂y

∂τ

∂2 w

∂w

∂2 w

∂w

(6.2.3)

= ∫

∂n∂τ

∂τ

−

∂τ

∂n

ds .

Теперь вариацию потенциальной энергии получим в виде

∂w

∂

w δ wdA + ∫

w δ

−

δU = D ∫∫

∂n

δw ds +

+(1−ν )

∂

w δ ∂w − ∂

w δ

∂w

ds =

∫

∂n∂τ

∂τ

∂n

∂

∂w

δ w dA + ∫

+ν

= D ∫∫

∂n

∂τ

∂n

∂

∂w

∂

(1 −ν )

−

δw ds

(6.2.4)

∂n∂τ

∂τ

∂n

Заменяя в контурных интегралах функции прогиба на внутренние усилия в соответствии с формулами (6.1.8), получим

	4		∂w				∂w
δU = D∫∫					− M nτ δ
δU = D∫∫		w δ w dA + ∫ Qn δw − M n δ		∂n	− M nτ δ		∂τ	ds
A		S		∂n			∂τ
Вариация работы внешних сил определится формулой
				∂w			∂w
			δ	∂w		+ mnτ δ	∂w
δT = ∫∫q(x,y) δwdA + ∫ p(x, y) δw + mn			δ	∂n		+ mnτ δ	∂τ	d s
A		Sk		∂n			∂τ

(6.2.5)

(6.2.6)

Здесь sk - контур пластинки. Интегралы вдоль линий действия распределенных нагрузок и вариации работы сосредоточенных сил опущены, так как эти нагрузки можно считать частью

распределенной по площади нагрузки, и вычислить предельным переходом от интеграла по площади.

Группируя члены при одноименных вариациях в потенциальной энергии и работе внешних сил, получим для вариации полной энергии деформаций

δЭ = ∫∫[D 4 w − q(x, y)]δwdA +

	A
+ ∫	(Qn − p) δwd s − ∫(M n + mn ) δ					∂w d s −
Sk	Sk					∂n
Sk	Sk
	−	∫	(M	τ + m	nτ		) δ ∂w d s = 0 .	(6.2.7)
		∫	n		nτ		∂τ
		Sk					∂τ
		Sk

Приравнивая вариацию полной энергии нулю, получаем условие минимума полной энергии деформаций. При этом, чтобы выражение (6.2.7) равнялось нулю, необходимо, чтобы независимо равнялись нулю - интеграл по площади и контурные интегралы при каждой независимой вариации (при вариациях прогиба и нормального и касательного к контуру пластинки углов поворота). Тогда на основании основной леммы вариационного исчисления, будут равны нулю подынтегральные функции:

4 w(x, y)−	q(x, y)	= 0 ;	(6.2.8)
	D

Qn – p = 0; Mn – mn = 0;		Mnτ – mnτ = 0,	(6.2.9)

т.е., если вариация функционала полной энергии деформаций равна нулю (полная энергия деформаций достигает минимума), то выполняется уравнение равновесия (6.2.8) и статические граничные условия (6.2.9).

Следовательно, так как кинематические граничные условия опирания также выполнены (в соответствии с принципом Лагранжа), то функция прогибов w(х,у), на которой функционал полной энергии деформаций достигает минимума, является решением задачи изгиба пластинки.

Соотношение (6.2.7) можно так же рассматривать, как уравнение принципа возможных перемещений задачи изгиба пластинки.

6.3. Метод Ритца −Тимошенко в задачах изгиба пластинок.

Для удобства выкладок и проведения вычислений перейдем к безразмерным координатам:

	ξ =	x	;	η =	y	,	λ =	a	,	(6.3.1)
где а, b		a			b			b
	- характерные размеры пластинки, в частности можно
принимать	а = b.
Для прямоугольной пластинки а, b -							размеры пластинки. Область
изменения координат				0 ≤ х ≤ а,			0 ≤ у ≤ b переходит для
безразмерных координат в фиксированную область										0 ≤ ξ ≤ 1,

0 ≤ η ≤ 1.

Дифференциальные операторы заменяются согласно формулам:

∂..

∂ξ

1 ∂..

;

∂..

∂η =

∂..

;

∂ξ

∂y

∂η

∂x

∂x a ∂ξ

∂y b ∂η

∂k ..

1 ∂k ..

;

∂k ..

;

∂k ..

;

∂xk

ak ∂ξ k

∂yk

∂ηk

∂xm ∂y k −m

ambk −m

∂ξ m ∂ηk −m

dx = adξ ;

dy = bdη ;

∂2 ..

∂2

.. =

∂x

(6.3.2)

dA = dxdy = ab dξ dη = ab dA .

∂2 ..

2 ∂2 ..

1 ~ 2

∂ξ

2 +λ

∂η

2 ..

Потенциальная энергия деформаций и работа внешних сил в безразмерных координатах определяются формулами:

∂

D ~ 2

U =

2λa

2 ∫∫ ( w)

+ 2(1 −ν )λ

−

∂ξ

∂η

dA ; (6.3.3)

∂ξ∂η

w(ξPi

T =

∫∫q(ξ,η) w(ξ,η)dA + ∑Pi

,ηPi

mx (ξ,η(ξ))∂w

my (ξ,η(ξ))∂w

+ a∫ p(ξ, y(η)) w(ξ,η(ξ))+

+ λ

ds .

∂ξ

∂η

(6.3.4)

При решении задачи изгиба пластинки функцию прогибов разыскиваем в виде ряда

∞ ∞
w(ξ,η)= G ∑∑Amn wmn (ξ,η),	(6.3.5)

m=1n=1

где Аmn - неопределенные коэффициенты (определяются из условия минимума полной энергии деформаций); wmn (ξ,η) -

функции, удовлетворяющие кинематическим граничным условиям опирания пластинки (статические граничные условия могут не выполняться); G – коэффициент, который принимается в процессе решения, для приведения решения к наиболее удобному виду.

При подстановке решения в функционал полной энергии деформаций, функционал становится функцией неопределенных коэффициентов Аmn, которая достигает минимума, если частные производные по всем аргументам равны нулю, т.е.

∂Э	=	∂U	−	∂T	= 0 или	∂U	=	∂T	, k ,l =1,2,3,...	(6.3.6)
∂A	=	∂A	−	∂A	= 0 или	∂A	=	∂A	, k ,l =1,2,3,...	(6.3.6)
∂A		∂A		∂A		∂A		∂A
kl		kl		kl		kl		kl

В результате проведения этой операции, приходим к бесконечной системе алгебраических уравнений

∞
∑Bklmn Amn = Ckl ,	k ,l =1,2,3,...	(6.3.7)

m=1

Чтобы получить коэффициенты Bklmn и Сkl проведем

операции дифференцирования, в соответствии с формулами (6.3.6). Так как интегралы энергии и работы внешних сил неособенные, то дифференцирование можно проводить под знаком интеграла:

∂U

∂

~ 2

∂

( w)

+ 2(1 −ν )λ

dA =

2 ∫∫

−

∂Akl

2λa

∂ξ

∂η

A ∂Akl

∂ξ∂η

∂

∫∫ (

∂A

λa2

+ (1−ν )λ

∂

2 w

∂ ∂2 w

∂2 w

∂ ∂2 w

∂2 w

∂ ∂2 w

−

∂η2

−

∂η2

∂ξ 2

dA .

∂ξ∂η

∂A

∂ξ∂η

∂ξ

∂A

Или, подставляя решение (6.3.5), получим

∂U

G2 ∑∞

[

2 w 2 w +

∂A

λa2

m=1∫∫

∂2 w

−

∂2 w

;

+ (1 −ν )

∂ξ∂η

∂ξ

∂η2

−

∂η2

∂ξ 2

∂T

w(ξPi

,ηPi )+

G∫∫q(ξ,η)w(ξ

,η)dA

+ ∑

∂A

p(ξ

, y(η))

w(ξ,η(ξ))+

mx (ξ

,η(ξ))∂w

my (ξ

,η(ξ))∂w

+λ∫

+λ

ds .

∂ξ

∂η

Приравнивая производные потенциальной энергии и работы

внешних сил, сокращая общие множители и положив

G =

где

–

некоторое значение

интенсивности

произвольной

нагрузки, окончательно получим:

wkl +

Bkl

= ∫∫[

wmn

∂2 w

−

∂2 w

;

+ (1 −ν ) ∂ξ∂η

∂ξ∂η −

∂ξ 2

∂η2

∂ξ

q(ξ,η)

w(ξPi ,ηPi

Ckl = ∫∫

w(ξ,η)dA + λ∑

q0 a

my (ξ,η(ξ))∂w

p(ξ, y(η))

w(ξ

,η(ξ))+

mx (ξ,η(ξ))∂w

+λ∫

ds .

q a

∂ξ

∂η

(6.3.8)

Если пластинка произвольного очертания жестко закреплена по контуру или шарнирно оперта на участках границы, параллельных осям х, у прямоугольной системы координат, то коэффициенты системы уравнений могут быть определены по упрощенной формуле

mn	~	2	~	2	wkl dA .	(6.3.9)
Bkl	= ∫∫		wmn		wkl dA .	(6.3.9)

Получив значения коэффициентов из решения системы алгебраических уравнений (6.3.5), вычисляют прогибы и внутренние усилия в любой точке пластинки.

Для прямоугольной пластинки обычно принимают функции прогиба в виде произведения функций аргументов х и у

	wmn (x,y)= X m (x) Yn (y),	(6.3.10)
где	X m (x),Yn (y) - функции, удовлетворяющие	условиям
опирания пластинки на краях х = 0, х = а и у = 0, у = b

соответственно, при этом удовлетворяются обычно балочные
условия опирания, а сами функции X m (x),Yn (y)	называют

балочными функциями.

В этом случае коэффициенты системы алгебраических уравнений определяются по формуле

Bklmn = Cxmk		Aynl	+νλ2 (Bxmk Byl n + Bxkm Bynl )+ 2(1 −ν )Dxmk Dynl , (6.3.11)
mk		1		mk	1
					′′
		= ∫ X m (x) X k (x)dx ;			= ∫X m (x) X n (x)dx ;
где Ax		= ∫ X m (x) X k (x)dx ;		Bx	= ∫X m (x) X n (x)dx ;
		0			0
mk		1	′′	mk	1	′
		′′	′′		′	′
	= ∫ X m (x) X k (x)dx ;				= ∫X m (x) X k (x)dx .
Cx	= ∫ X m (x) X k (x)dx ;			Dx	= ∫X m (x) X k (x)dx .
		0			0

Коэффициенты с нижним индексом у получаются с соответствующей заменой функции Х(ξ) на функцию Y(η), dξ на dη.

6.3.Метод Канторовича−Власова в задачах изгиба пластинок.

Решение методом Канторовича−Власова для прямоугольных пластин ищем в виде одинарного ряда

	w(ξ,η)= G ∑∞ X m (ξ)Ym (η),	(6.4.1)
	m=1
где	Ym (η) - функция, удовлетворяющая граничным	условиям
опирания пластинки на продольных краях η = 0, η = 1		(y = 0, у =
b);	X m (ξ) - неизвестные функции; G - коэффициент, задаваемый

в процессе решения для придания ему более удобной формы записи.

Для нахождения неизвестных функций X m (ξ) используем

функциональное соотношение (6.2.7), полученное при доказательстве принципа Лагранжа с учетом удовлетворения всех граничных условий (кинематических и статических) на продольных краях, в безразмерных координатах

1 1	4 w − q(x, y)				a4			δ w(ξ,η)dξ dη =0.			(6.4.2)
	4 w − q(x, y)							δ w(ξ,η)dξ dη =0.			(6.4.2)
∫∫						D
0 0						D
Так как варьируются только неизвестные функции
		δ w(x, y)= G ∑∞ Ym (η) δ X (ξ),
						m=1
то, разделяя интегрирование, получим
1 1		~	4			a	4
		~	4			a
∫ ∫				w − q(x, y)					Yn (η)dη δ X n (ξ)dξ = 0 .
∫ ∫				w − q(x, y)		D			Yn (η)dη δ X n (ξ)dξ = 0 .
						D
0 0											δ X n (ξ) на
Учитывая независимость							вариаций			функций	δ X n (ξ) на

основании основной леммы вариационного исчисления, получим систему функциональных уравнений метода Канторовича−Власова

∫

w − q(x, y)

Yn (η)dη = 0 ,

n = 1, 2, 3…

(6.4.3)

Подставляя в соотношения (6.4.3) решение (6.4.1), получим

1 ∞

[X m

(ξ)Ym (η)+ 2λ

X m (ξ)Ym

(η)+ λ

X m (ξ)Ym (η)] Yn (η)dη =

G∫ ∑

′′

0 m=1

= a4 ∫1 q(ξ,η)Yn (η)dη . D 0

Принимая G = q(ξ,η)a4 и интегрируя ряд почленно, получим q0 D

систему обыкновенных дифференциальных уравнений для

функций

X m (ξ)

X m (ξ)]= qn , n = 1, 2, 3,…

∞

′′

~nm

∑[Ay

X m

(ξ)+ 2λ

X m (ξ)

+λ

m=1

(6.4.4)

Aymn = ∫1 Ym (η) Yn (η)dη ;

Bymn = ∫1 Ym′′(η) Yn (η)dη ;

где

~mn

1 IV

1 q(ξ,η)

= ∫Ym (η) Yn (η)dη ;

qn = ∫

Yn (η)dη .

~mn

Проинтегрируем выражение

дважды по частям

~mn

′′′

′

Cy = ∫Ym (η) Yn (η)dη =Ym (η) Yn (η)

0 − ∫Ym (η) Yn (η)dη =

′′′

′′

′

1 ′′

′

(η)dη .

= [Ym (η) Yn (η)−Ym (η) Yn

(η)]

− ∫Ym

(η) Yn

При любых стандартных условиях опирания балки-полоски (шарнирное опирание, жесткое защемление, свободный край), вырезанной в поперечном направлении из пластинки, выражение в квадратных скобках при подстановке пределов интегрирования равно нулю. Следовательно, окончательно получаем

~mn	1	1	′′
~mn	IV	′′	′′	mn	.	(6.4.5)
Cy	= ∫Ym	(η) Yn (η)dη = ∫Ym (η) Yn (η)dη = Cy			.	(6.4.5)
	0	0

В общем случае метод Канторовича-Власова приводит задачу изгиба прямоугольной пластинки к бесконечной системе дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Так как решение бесконечной системы уравнений затруднительно, на практике используют расчет с конечным числом членов ряда, получая при этом приближенные решения задачи. Конечная система дифференциальных уравнений имеет в математике точное решение, но при большом порядке системы уравнений это чрезвычайно трудоемкий процесс.

Более удобным является случай, когда система дифференциальных уравнений распадается на систему

независимых дифференциальных уравнений для каждой функции
X m (ξ). Это возможно, когда система функций Ym (η)	решения

(6.4.1) оказывается ортогональной к дифференциальным операторам функционального уравнения (6.4.3). Иными словами необходимо построить систему ортогональных функций, которая будет одновременно ортогональна к системе вторых и четвертых производных этой системы, т.е. чтобы

mn	mn			~mn	mn	= 0 при m ≠ n.		(6.4.6)
Ay	= By	= Cy			= Cy
Тогда получаем систему независимых обыкновенных
дифференциальных уравнений 4-го порядка
IV	(ξ)+ 2λ		2		′′	4	Cm X m (ξ)= Em ,	(6.4.7)
X m				Bm X m (ξ)+		λ

где	Bm =	Bymm	; Cm =	Cymm	; Em =	q	m	.
		Aymm		Aymm
						Aymm

Условия (6.4.7) выполняются обычно для систем тригонометрических функций. Для прямоугольных пластин, опертых по контуру, можно использовать системы динамических балочных функций (функций формы колебаний балок). Правда,

коэффициент Bymn при m ≠ n для динамических балочных

функций для балок, имеющих опирание на обоих концах, не равен нулю, но их значения малы по сравнению со значениями диагональных коэффициентов при m = n (свойство квазиортогональности) и ими обычно пренебрегают.

Характеристическое уравнение дифференциального уравнения (6.4.7)

r4	+ 2λ4 B r 2	+ λ4C	m	= 0 .	(6.4.8)
m	m m		m

Как показали практические расчеты, это уравнение имеет два типа корней:

1)четыре комплексно-сопряженных корня (общий случай)

rm,1−4 = ±(αm ± iβm ),			(6.4.9)
где i - мнимая единица, а α и β		определяются формулами
αm = λ	Cm − Bm ;	βm = λ	Cm + Bm .	(6.4.10)
	2		2

2) два кратных, чисто мнимых корня (при использовании тригонометрических функций).

Во втором случае решение получается при шарнирном опирании продольных сторон пластинки, и решение Канторовича−Власова совпадает с решением Леви.

Остановимся на общем случае характеристических корней. В этом случае общее решение дифференциального уравнения (6.4.7) имеет вид

X m (ξ)= ∑4		AmiΦim (αm ,βm ,ξ)+ X m0 (ξ),			(6.4.11)
	i=1
где Φim (αm ,βm ,ξ) - независимые			частные решения однородного
дифференциального	уравнения		(6.4.7);	X m0 (ξ)	- частное
решение неоднородного		дифференциального		уравнения; Ami -

константы интегрирования, определяемые из условий опирания пластинки на поперечных краях пластинки ξ = 0, ξ = 1 (х = 0, х =

а).

6.5. Метод Бубнова−Галеркина в задачах изгиба пластинок.

В основу решения задач изгиба пластин методом Бубнова−Галеркина положено функциональное уравнение (6.2.7), полученное при доказательстве принципа Лагранжа.

Решение принимается в виде двойного ряда

	q0a	4 ∞ ∞
w(ξ,η)=			∑∑Amn wmn (ξ,η),	(6.5.1)
	D
			m=1n=1
где ξ, η - безразмерные		координаты (см. формулы		(6.3.2));

а - характерный размер пластинки в плане; q0 - произвольное значение нагрузки; w(ξ,η) – функция, удовлетворяющая всем

граничным условиям опирания пластинки; Аm,n - неизвестные коэффициенты.

Функциональное уравнение (6.2.7) при переходе к безразмерным координатам имеет вид

w −

q(ξ,ξ)a

wkl (ξ,η)dA = 0 ,

k, l = 1, 2, 3,… (6.5.2)

∫∫

.. =

∂4 ..

2λ

∂4 ..

Здесь

- бигармонический

∂ξ 4

∂ξ 2∂η2

∂ξ 4

оператор в безразмерных прямоугольных координатах. Контурный интеграл отбрасывается, так как при выполнении всех граничных условий опирания пластинки он удовлетворяется тождественно.

Подставляя в уравнение (6.5.2) решение (6.5.1) и интегрируя, получаем систему алгебраических уравнений

∞

∑Bklmn Amn = qkl ,

k, l = 1, 2, 3,…

(6.5.3)

m=1

где

(ξ,η)

∂4 w (ξ,η)

∂4 w

wkl (ξ,η)dξ dη ;

∫∫

+ 2λ

Bkl

∂ξ

∂η

∂ξ

∫∫

q(ξ,η)

(ξ,η)dξ dη .

Для прямоугольной пластинки функция w(ξ,η) обычно принимается в виде произведения функций независимых аргументов w(ξ,η) = Хm(ξ) Yn(η). Тогда коэффициенты системы алгебраических уравнений можно определять по формуле

	mn	~mk	nl	mk	nl	+ λ	4	mk ~nl	;	(6.5.4)
	Bkl	= Cx	Ay + 2λBx		By	+ λ		Ax Cy	;	(6.5.4)
mk	1				mk	1		′′
где Ax	= ∫X m (x) X k (x)dx ;			Bx		= ∫X m (x) X k (x)dx ;
	0					0
~mk	1	IV		1	′′			′′	mk	;
~mk		IV			′′			′′	mk
Cx	= ∫X m (x) X k (x)dx			= ∫X m (x) X k (x)dx = Cx
	0			0

Коэффициенты с нижним индексом у получаются, соответствующей заменой функции Х(ξ) на функцию Y(η).

Решая систему алгебраических уравнений (6.5.3), определяем коэффициенты Аmn.

6.6. Пример расчета пластинки на изгиб.

Задача. Провести расчет прямоугольной пластинки методами Ритца−Тимошенко и Канторовича–Власова на равномерно

распределенную нагрузку q0	в первом приближении при
различных соотношениях сторон	λ =	a	, правый поперечный край
		b

пластинки (х = 0) жестко защемлен, остальные шарнирно оперты (рис.6.4). Коэффициент Пуассона принять ν = 0,3.

Замечание. При решении задачи в первом приближении (с одним членом ряда) необходимо удовлетворять всем граничным условиям. Поэтому для аппроксимации прогиба будем использовать статические балочные функции. Так как два противоположных края пластинки шарнирно оперты, то эту задачу можно решать методом Леви, получая точное решение при

использовании достаточного числа членов ряда. Не рассматривая здесь это решение, будем использовать его для оценки точности решения.

Решение. В соответствии с граничными условиями опирания пластинки на левом поперечном шарнирно опертом крае (ξ = 0 )

имеем

w(0,η)= 0 ,

M x (0,η)= 0 → ∂2 w(0,η), на

правом

жестко

∂ξ 2

защемленном крае (ξ =1) w(1,η)= 0 ,

∂w(1,η) = 0 .

∂ξ

а − расчет методом Ритца−Тимошенко.

Граничные условия соответствуют условиям опирания балки-

полоски,

вырезанной из пластинки

в поперечном направлении:

X (0)= 0 ,

′′

′

Балочную функцию в

(0)= 0

X (1)= 0 , X (1)= 0 .

продольном направлении принимаем в виде:

′′

X (ξ)=ξ −3ξ + 2ξ

=ξ(1−ξ) (1+ 2ξ);

(ξ)= −6ξ(3 − 4ξ);

′

= (1 −ξ)(1 +ξ −8ξ

); X

′′′

X (ξ)=1 − 9ξ

+ 8ξ

(ξ)= −6(3 −8ξ). (6.6.1)

Соответственно на продольных краях имеем граничные

условия опирания балки-полоски:

′′

Y (0)= 0 , Y (0)= 0 , Y (1)= 0 Y (1)= 0 ,

которым соответствует балочная функция:

′

=η(1 −η)[1 +η(1 −η)];

Y (η)

=η − 2η

+η

Y (η)

=1 − 6η

+ 4η

;

′′

−η)

;

′′′

(6.6.2)

Y (η)= −12η(1

Y (η)= −12(1−2η).

Легко убедиться, что все граничные условия опирания пластинки выполняются. В первом приближении решение

методом Ритца−Тимошенко ищем в виде
w(ξ,η)=	q0 a4	A X (ξ) Y (η).			(6.6.3)
	D

Числовые индексы в первом приближении опускаем.
Коэффициент А определяется из уравнения
B A = q ;		A =	q1	,	(6.6.4)

1			B

где В – коэффициент, определяемый в соответствии с формулами

(6.3.9), (6.3.11)

при m = n = k = l =1:

B = C

+ 2λ2 B

+ λ4 A C

;

q = q

(6.6.5)

При q = q0 = const ;

qx = ∫1

X (ξ)dξ ;

qy = ∫1 Y (η)dη .

В соответствии

формулами

(6.5.4)

вычисляем

коэффициенты, используя для вычисления интегралов формулы из табл. П.4 приложения 2.

Ax = ∫1

X 2 (ξ)dξ = ∫1

ξ 2 (1 −ξ)4 (1 + 2ξ)2 dξ =

2! 4!

+ 4

3!4!

+ 4

4!4!

;

630

Bx = ∫1 X ′′(ξ)X (ξ)dξ = −6∫1 ξ 2 (1 −ξ)2 (3 + 2ξ −8ξ 2 )dξ =

					= −6			2! 2!	+	3!2!			−8	4!2!		= −		12	;
							3			2
								5!			6!			7!				35
1	2	1	2			2					9		24		16			36
Cx = ∫ X ′′		(ξ)dξ = 36∫ξ		(3	− 4ξ)		dξ = 36
												−		+			=		;
											3		4		5			5
0		0

= ∫1

X (ξ)dξ = ∫1

ξ(1−ξ)2 (1+ 2ξ)dξ =

+ 2

2!2!

;

Ay = ∫1 Y 2 (η)dη = ∫1η2 (1 −η)2 [1 + 2η(1 −η)+η2 (1 −η)2 ]dη =

2! 4!

+ 2

3!3!

+ 4

4!4!

;

630

By = ∫1 Y ′′(η)Y (η)d = −12∫1 η2 (1 −η)2 [1 +η(1 −η)]dξ =

2! 2!

3!3!

= −12

= −

;

= ∫1 Y ′′2 (η)dη =144∫1

η2 (1 −η)2 dη =144

2!2!

= 24

;

= ∫1 Y (η)dη = ∫1

η(1 −η)[1 +η(1 −η)]dη =

2!2!

;

q1 =

1 = 0,03 ; B =

+ λ2

+ λ4

630

= 0,3343 + 0,3331λ2 + 0,1448λ4 .

Значения коэффициентов

В, А

для различных отношений

сторон λ приведены в табл. 6.1

Таблица 6.1

λ =

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

04266

0,8122

1,817

3,984

8,072

0,07032

0,03694

0,01651

0,007531

0,003716

При вычисленных значениях коэффициента А, прогибы в пластинке определяются по формуле (6.6.4), а внутренние усилия с учетом перехода к безразмерным координатам − по формулам:

2			′′			2	′′

M x (ξ,η)= −q0a A [X (ξ) Y (η)+				νλ X (ξ) Y (η)];
2			′′			2	′′
M y (ξ,η)= −q0a A [ν
			X (ξ) Y (η)+ λ X (ξ) Y (η)];
Qx (ξ,η)= −q0a	A [X	′′′		2		′	′′	(6.6.6)
			(ξ) Y (η)+ λ			X (ξ) Y	(η)];
Qy (ξ,η)= −q0a		′′	′		2		′′′

	A [X (ξ) Y (η)+ λ					X (ξ) Y (η)].

б − решение методом Канторовича−Власова.

Решение в первом приближении ищем в виде

w(ξ,η)=	q0a4	X (ξ) Y (η).	(6.6.7)
	D

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1411 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.04.2019617.47 Кб1attachment.doc
#
12.05.20153.12 Mб13attachment.pdf
#
15.04.2019250.88 Кб1attachment1.doc
#
12.05.20152.01 Mб69AutoCAD.pdf
#
17.03.20161.97 Mб31A_S_Makarenko_Pedagogicheskaya_poema МАКАРЕНКО ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ПОЭМА.pdf
#
17.03.20161.59 Mб22b.pdf
#
17.03.2016146.43 Кб6bakalavr_diploma2012.doc
#
19.11.2019667.65 Кб1BD_04_ER_UCEBNAYA_CHAST_crop_ukr.doc
#
23.11.2019716.29 Кб1BD_05_ER_SESSIYA_LAB_metodichka_ukr.doc
#
27.09.2019118.78 Кб1bestref-149249.rtf
#
17.03.20162.41 Mб2BetterPhotographyPres.pdf