Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

b

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

1.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Используя формулу Гаусса−Остроградского, получим формулу интегрирования объемного интеграла по частям. Учитывая, что

∫∫∫Ω ∂∂x (G P)+ ∂∂y (G Q)+ ∂∂z (G R) dΩ =

∂P

∂Q

∂R

∂G

+ Q

+ R

= ∫∫∫G

∂x

∂y

∂z

dΩ + ∫∫∫ P

∂x

∂y

∂z

dΩ,

Ω

и применяя к интегралу в левой части равенства формулу Гаусса− Остроградского, получим после группировки слагаемых

∂P

+ ∂Q + ∂R

G(P l + Q m + R n)ds −

∫∫∫

dΩ =

∫∫

∂x

∂y ∂z

Ω

∂G

+ R

(2.2.5)

− ∫∫∫ P

∂x

∂y

∂z

dΩ.

Ω

Здесь

R, G С1

произвольные,

один раз

дифференцируемые функции.

Проинтегрируем по частям слагаемые в полученной ранее формуле вариации потенциальной энергии деформаций (2.2.3):

∫∫∫σ x

∂δudΩ = −∫∫∫

∂σ x

δu dΩ + ∫∫σ xl δuds ;

Ω

∂x

∫∫∫σ y

∂δ v

dΩ = −∫∫∫

∂σ y

δ v dΩ + ∫∫σ y m δ vds ;

∂y

Ω

∫∫∫σ z

∂δ wdΩ = −∫∫∫

∂σ z

δ wdΩ + ∫∫σ z n δ wds ;

Ω

∂z

∂δu

∂δ v

∫∫∫τ xy

∂y

∂x

dΩ =

Ω

∂τ

∫∫τ xy (m δu + l δv)ds ;

= −∫∫∫

δu

δv

dΩ +

Ω

∂y

∂x

∂δ v

∂δ w

∫∫∫τ yz

∂z

∂y

dΩ =

Ω

∂τ

δv

= −∫∫∫

∂z

∂y

δw dΩ + ∫∫τyz (n δw + m δv)ds ;

Ω

∂δw

∂δu

∫∫∫τ zx

∂x

∂z

dΩ =

Ω

∂τ

= −∫∫∫

δw +

δu dΩ + ∫∫τ xy (l δw + n δu)ds .

∂z

Ω

∂x

Подставляя полученные выражения в формулу вариации полной энергии деформаций (2.2.3) и группируя слагаемые при вариациях независимых функций перемещений δu, δv, δw, получим

∂σ

∂τ

δЭ =δU −δT = −∫∫∫

X δu +

∂x

∂y

∂z

Ω

∂τ

∂σ

∂τ

∂τzx

∂τ

∂σ z

+Y δv +

+ Z

∂x

∂y

∂z

∂x

∂y

∂z



	δw dΩ +

+ ∫∫[(σ x l +τ xy m +τ xz n − Xν )δu + (τ yx l +σ y m +τ yz n −Yν )δv +

S
+ (τzx l +τzy m +σz n − Zν ) δw .	(2.2.6)

Поскольку вариации δu, δv, δw являются независимыми, то для выполнения условия (2.2.6) необходимо, чтобы равнялись нулю интегралы при вариациях каждой независимой функции перемещений для объемного и поверхностного интегралов:

∂σ

∂τxy

∂τ

∫∫∫

+ X δudΩ = 0 ,

Ω

∂x

∂y

∂z

∂τ

∂σ

∂τ

∫∫∫

+ Y δ vdΩ = 0

∂x

∂y

∂z

Ω

∂τ

∂τzy

∂σ

∫∫∫

+ Z δ wdΩ = 0 ;

Ω

∂x

∂y

∂z

∫∫ (σ x l +τxy m +τxz n)δud s = 0 ,

Sσ

∫∫ (τ yx l +σ y m +τ yz n)δ vd s = 0 ,

Sσ

∫∫ (τzx l +τzy m +σ z n)δ wd s = 0 .

Sσ

(2.2.7)

(2.2.8)

Применяя к каждому из равенств (2.2.7) и (2.2.8) основную лемму вариационного исчисления, получим окончательные условия, при которых функционал полной энергии деформаций достигает минимального значения:

∂∂σxx + ∂∂τyxy + ∂∂τzxz + X = 0 ,

∂τ yx		+	∂σ y	+	∂τ yz		+ Y = 0 ,
∂x			∂y		∂z

∂τ	zx	+	∂τzy	+	∂σ	z	+ Z = 0 ;	(2.2.9)
∂x			∂y		∂z

σ x l +τxy m +τxz n = 0 ,
τ yx l +σ y m +τ yz n = 0 ,
τzx l +τzy m +σz n = 0 .								(2.2.10)

Но условия (2.2.9) являются уравнениями равновесия, а (2.2.10) статическими граничными условиями рассматриваемой задачи.

Таким образом, если для функций перемещений u, v, w, удовлетворяющих кинематическим граничным условиям задачи, функционал полной энергии деформаций Э достигает минимального значения (δЭ = 0), то выполняются уравнения равновесия (2.2.7) и статические граничные условия (2.2.8), и

следовательно, функции и, v, w являются решением задачи о напряженно-деформированном состоянии твердого деформируемого тела с заданными объемными силами X, Y, Z и кинематическими и статическими граничными условиями. Это и доказывает принцип Лагранжа.

Можно сформулировать и обратное утверждение - если функции и(х,у,z), v(x,y,z), w(x,y,z) являются решением задачи о напряженно-деформированном состоянии твердого деформируемого тела, при действии заданных объемных сил X, Y,

Z и заданных кинематических и статических граничных условиях, то выполняются условия равенства нулю вариации полной энергии деформаций (2.2.9) и (2.2.10) и, следовательно, полная энергия деформаций достигает минимального значения.

Доказательство 2. Докажем принцип Лагранжа, используя

Эйлеровские условия минимума функционала (1.2.9).

Учитывая, что функционал полной энергии деформаций зависит от трех независимых функций и, v, w, условием минимума функционала будет равенство нулю вариаций по всем независимым функциям:

Э = Э(x, y,z,u,v,w,ux ,u y ,uz ,vx ,vy ,vz ,wx ,wy ,wz ), (2.2.11)

где ux, uy, uz, vx, vy, vz, wx, wy, wz - частные производные функций перемещений по аргументам х, у, z;

Э = Эmin → δЭи = 0, δЭv = 0, δЭw = 0.

(2.2.12)

Используем формулы Эйлера в форме (1.2.9, 1.2.10) для функционала полной энергии деформаций в виде (2.1.13,б).

Э =U −T = 12 ∫∫∫Ω {[λθ 2 + 2µ(εx2 + εy2 + εz2 )+ µ(γ xy2 + γ yz2 + γ zx2 )]−

− (X u +Y v + Z w)}dΩ − ∫∫ (X u +Y v + Z w)d s .

Sσ

Функция F для объемного интеграла имеет вид

F = [λθ 2 + 2µ(εx2 + εy2 + εz2 )+ µ(γ xy2 +γ yz2 +γ zx2 )]− (X u +Y v + Z w).

Тогда для первой вариации функционала полной энергии

деформаций Э по аргументу и получим

∂F

∂

∂F

∂

∂F

∂

∂F

δЭu = 0 →

−

= 0 . (2.2.13)

∂u

∂x

∂ux

∂y

∂u y

∂z

∂uz

Учитывая уравнения деформаций (2.1.2) и характер

зависимости деформаций от функций u, v, w:

εx = (ux);

εy = (vy);

εz = (wz); θ = εx + εy + εz = θ (ux, vу, wz);

γxy = γxy(uy, vx); γyz = γyz(vz, wy); γzx = γzx(wx, uz),

получим:

∂F

+ 2µεx ∂εx ;

∂F

= −X ;

= λθ

∂θ

∂u

∂ux

∂F

= µγ xy

∂γ xy

;

∂F

µγ xz

∂γ

;

∂uy

∂uz

∂εx =

∂ux =1 ;

∂θ

∂

(ux + vy + wz )=1;

∂ux

∂γ xy

∂

(uy + vx )=1;

∂γ xz

∂

(uz + wx )=1;

∂uy

∂uz

∂

∂F

∂

(λθ

+ 2µεx )= λ

∂θ

+ 2µ

∂2u ;

∂x

∂x ∂ux

∂x2

∂ ∂F

∂γ xy

∂

∂u

∂v

∂2u

∂v

= µ

;

∂y ∂uy

∂y

∂y ∂x

∂x∂y

∂ ∂F

∂γ

∂

∂u

∂w

∂2u

∂2 v

= µ

∂z ∂uz

∂z

∂z ∂z

∂x

∂z

∂z∂x

Подставляя последние соотношения в условия Эйлера (2.2.13) и производя группировку слагаемых, получим: -

δЭu = 0 →

∂θ

∂2u

∂v

∂2u

∂v

→ −

+ 2µ

− µ

−

X =

∂x

∂y

∂z

∂x∂y

∂z∂x

∂θ

∂

∂u

∂v

∂w

∂2u

∂2v

∂2 w

= −λ

− µ

−

− X =

∂x

∂x ∂y

∂x

∂y

∂z

∂x

∂z

∂θ

+ µ

= − (λ + µ)

∂x

u = 0 .

Проводя аналогичные действия для вариаций

δ Эu

δ Эv ,

окончательно получим условия минимума функционала полной энергии деформаций:

δЭ = 0 →	(λ + µ)		∂θ		+ µ 2u = 0 ;

u			∂x

δЭ = 0 →	(λ + µ)	∂θ			+ µ 2v = 0 ;

v			∂y

δЭw = 0 →	(λ + µ)			∂θ	+ µ 2 w = 0 . (2.2.14)
				∂z

Уравнения (2.2.14) являются уравнениями равновесия твердого деформируемого тела в перемещениях (см. 2.1.10).

Таким образом, условия Эйлера экстремума функционала полной энергии деформаций, как и прямая вариация функционала, приводят к необходимости решения полной системы уравнений твердого деформируемого тела, т.е. к исходной задаче теории упругости.

Равенство нулю первой вариации функционала является признаком экстремума функционала. Чтобы доказать, что функционал полной энергии деформаций достигает при этом минимума, рассмотрим вторую вариацию функционала

δ 2Э =δ 2U −δ 2T .

(2.2.15)

Учитывая зависимость подынтегральной функции функционала потенциальной энергии деформаций (3.1.13,б) от аргументов u, v, w

FU = 12 [λθ 2 + 2µ(εx2 + εy2 + εz2 )+ µ(γ xy2 +γ yz2 +γ zx2 )],

т.е., что функция FU зависит только от производных u, v, w по аргументам х, у, z (см. уравнения деформаций (2.1.2)), получим:

δU = ∫∫∫ δ FU d Ω ; δ 2U = ∫∫∫ δ 2 FU d Ω ;

ΩΩ

δF

= LF ;

δ 2 F

= L2 F ,

(2.2.16)

где

L.. =

∂..

δux +

∂..

δux +

∂..

δux

∂..

δvx + .... +

∂..

δwz .

∂ux

∂uy

∂uz

∂vx

∂wz

С учетом уравнений деформаций (2.1.2), получим

Lεх = δux;

Lεy = δvy;

Lεz = δwz;

L2εx2 = L(Lεx2 )= 2L(εx Lεx )= 2[(δux )2 + εxδLux ]= 2(δux )2 ;

L2εy2 = 2(δuy )2 ;	L2εz2 = 2(δwz )2 ;
Lθ= L(εх + εy + εz) = δux + δvy + δwz,
L2θ 2 = 2L(θ Lθ )= 2(δux +δvy +δwz )2 ;
Lγxy = δuy + δvx ,		L2γ xy2 = 2L(γ xy Lγ xy ) = 2(δuy +δvy )2 ;
Lγyz = δvz + δwy ,		L2γ xy2 = 2(δvz + δwy )2 ;
Lγzx = δwx + δuz,	L2γ zx2		= 2(δwx		+δuz )2 .				(2.2.17)
И, следовательно, вторая вариация функции FU									имеет вид:
δ 2 FU = L2 FU = λ(δux + δvy + δwz )2 + 2µ[(δux )2 + (δvy )2 + (δwz )2 ] +
+ µ[(δu y +δvx )2 + (δvz +δwy )2 + (δwx								+δuz )2 ]	> 0 . (2.2.18)
Для работы внешних сил (2.1.14)
	FТ = X u + Y v +Z w;
δF	∂..		δu +	∂..	δv +	∂..
	=			∂v			δw F ;
						∂w
T	∂u							T

δ 2 FT = ∂∂u.. δu + ∂∂v..δv + ∂∂w.. δw 2 FT =

∂2 ..

2 ∂2

∂2 ..

(δu) +

2 (δv) +

2 (δw)

∂u

∂v

∂w

∂

δuδv +

δvδw +

δwδu

. (2.2.19)

∂v∂w

∂w∂u

∂u∂v

Аналогичный результат можно получить для работы поверхностных сил. Учитывая линейную зависимость функции FТ от u, v, w, вторые производные равны нулю, и, следовательно, вторая вариация работы внешних сил также равна нулю

δ 2T = 0 .

(2.2.20)

Окончательно получаем вторую вариацию полной энергии деформаций

δ 2Э =δ 2U = 1			∫∫∫δ 2 F(U )dΩ =
		2	Ω	+ δwz )2 + 2µ[(δux )2 + (δvy )2 + (δwz )2	]+
=	1	∫∫∫{λ(δux +δvy		+ δwz )2 + 2µ[(δux )2 + (δvy )2 + (δwz )2	]+
	2	Ω
	+ µ[(δuy +δvx )2			+ (δvz +δwy )2 + (δwx +δuz )2 ]}dΩ.	(2.2.21)

Поскольку подынтегральная функция строго положительна, то вторая вариация функционала полной энергии деформаций больше нуля, и, следовательно, функционал полной энергии деформаций достигает для функций перемещений u, v, w действительного напряженного состояния минимума:

δЭ = 0 ,

δ 2Э > 0 , Э( u,v,w ) = Эmin .

(2.2.22)

Таким образом, нами доказаны необходимый и достаточный признаки минимума функционала полной энергии деформаций – принцип Лагранжа.

Отметим также, что формулы (2.2.6) можно рассматривать как принцип виртуальных (возможных) перемещений для твердого деформируемого тела: работа всех внешних и внутренних сил

твердого деформируемого тела на возможных перемещениях равна нулю.

Внекоторых работах принцип Лагранжа доказывается на основе принципа возможных перемещений [9].

Принцип Лагранжа для плоской задачи теории упругости можно рассматривать как частный случай пространственной задачи. В то же время его можно доказать и независимо, выполнив аналогичные действия для функционала (2.1.26).

Вчастности, варьируя функционал полной энергии деформаций (2.1.26), получаем соотношения метода возможных перемещений для плоской задачи:

∂2u

∂2v

2(1 −ν12 )

∫∫

2 ∂

+ (1 −ν1 )

∂ 2 + (1 +ν1 )∂x∂y +

X δu dA = 0 ;

(1 +ν

1 )

∂2u

+ (1 −ν1 )

∂2v

2(1 −ν12 )

δv dA = 0 .(2.2.23)

∫∫

∂x∂y

∂x

2 + 2

∂y

И для контурных сил (статических граничных условий):

∂u

∂v

1 −ν

∂u

∂v

1 −ν 2

∫

∂x

+ν1 ∂y

l +

∂y

m − E

Xν δu dL = 0 ;

1 −ν

∂u ∂v

∂u

∂v

1 −ν 2

∫

∂y +

∂x +

∂y

m −

Yν

δu dL = 0 . (2.2.24)

l +

ν1

Lσ

Уравнения возможных перемещений могут использоваться для обоснования одного из вариантов метода Бубнова−Галеркина.

III. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ,

ОСНОВАННЫЕ НА ПРИНЦИПЕ ЛАГРАНЖА

Во втором разделе мы получили, что условия Эйлера минимума полной энергии деформаций приводят к системе уравнений равновесия и статическим граничным условиям рассматриваемой задачи. Решение этой системы с учетом всех граничных условий, статических и кинематических, определяет функции перемещений, на которых функционал полной энергии деформаций достигает минимума. Таким образом, казалось бы, мы вновь пришли к необходимости решения сложной системы уравнений теории упругости. Однако, для решения задачи минимизации функционала существуют и другие методы, не связанные с необходимостью точного решения системы уравнений теории упругости. Это, так называемые прямые методы минимизации функционала. Они связаны с аппроксимацией функционала рядами или разностными отношениями и приводят задачу к решению систем алгебраических или обыкновенных дифференциальных уравнений. В теории упругости к численноаналитическим методам относятся: метод Ритца−Тимошенко,

метод Канторовича−Власова, метод Трефца (метод смягчения граничных условий). К численным методам, основанным на принципе Лагранжа, относятся метод конечных элементов и вариационно-разностный метод.

Принцип Лагранжа не является единственным вариационным принципом теории упругости. Имеются и другие вариационные принципы и методы решения задач теории упругости, основанные

на этих вариационных принципах. Наиболее известен принцип Кастельяно, который используется для решения задач теории упругости в напряжениях. В настоящем пособии автор остановился на принципе Лагранжа, как наиболее часто применяемом в расчетной и научно-исследовательской практике.

Ниже рассматриваются численно-аналитические методы решения задач теории упругости, основанные на принципе Лагранжа, метод Ритца−Тимошенко, метод Канторовича−Власова. Метод Ритца−Тимошенко сводит задачу теории упругости к системе алгебраических уравнений, из решения которой определяются неизвестные коэффициенты. Метод Канторовича−Власова приводит ее к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (понижая размерность задачи), из решения которых определяются неизвестные функции, которые должны удовлетворят граничным условиям задачи на поперечных границах области, занимаемой телом.

3.1. Метод Ритца−Тимошенко.

а) ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА

При решении пространственной задачи методом Ритца−Тимошенко функции перемещений и, v, w принимаются в виде рядов с неизвестными коэффициентами:

	∞
u( x, y,z ) = u0 ( x, y,z ) + ∑Amum ( x, y,z ) ,
	m=1
	∞
v( x, y,z ) = v0 ( x, y,z ) + ∑Bm vm ( x, y,z ) ,
	m=1
	∞
w( x, y,z ) = w0 ( x, y,z ) + ∑Cm wm ( x, y,z ) ,		(3.1.1)
	m=1
где и0(х,у,z),	v0(х,у,z), w0(х,у,z) - функции, удовлетворяющие
неоднородным	кинематическим граничным условиям;	иm(х,у,z),

vm(х,у,z), wm(х,у,z) - функции обязательно удовлетворяющие однородным кинематическим граничным условиям на поверхности Su; Аm, Вm, Сm - неизвестные коэффициенты, которые определяются из условия минимума функционала полной энергии деформаций.

Функции иm, vm, wm могут не удовлетворять статическим граничным условиям. Как было показано при доказательстве принципа Лагранжа, статические условия удовлетворяются при минимизации функционала полной энергии деформаций. Если статические условия для каждого члена ряда не выполняются, то они оказываются выполнены при суммировании минимизированных рядов. Ниже это будет показано на примере. В то же время удовлетворение статических условий каждым членом ряда не противоречит методу Ритца−Тимошенко и принципу Лагранжа, и сходимость решения при этом обычно улучшается, ряды сходятся быстрее. Однако, возможность не удовлетворять статическим граничным условиям облегчает возможность подбора

функций ит, vт, wn.

Решение (3.1) подставляется в функционал полной энергии

деформаций в перемещениях	(2.1.3в), который при этом
становится функцией неопределенных коэффициентов		Аm, Вm, Сm:
Э = Э(Аm, Вm, Сm),	т = 1, 2, 3,...	(3.1.2)

Рассматривая теперь функционал полной энергии деформаций как функцию многих переменных Аm, Вm, Сm, получаем, что для достижения минимума функции Э(Аm, Вm, Сm) необходимо, чтобы

производные этой функции по всем независимым аргументам равнялись нулю:

∂Э	= 0 ;	∂Э	= 0 ;	∂Э		= 0 , n = 1, 2, 3,… (3.1.3)
∂А		∂B		∂C	n

n		n

В результате выполнения описанного алгоритма получаем систему алгебраических уравнений:

∑∞ (anmA Am + bnmA Bm + cnmA Cm )= dnA ,

m=1

∑∞ (anmB Am + bnmB Bm + cnmB Cm )= dnB , n = 1, 2, 3,… (3.1.4)

m=1

∑∞ (anmC Am + bnmC Bm + cnmC Cm )= dnC ,

m=1

где anmA ,bnmA , cnmA - коэффициенты, получаемые при неизвестных Аm, Вm, Сm в результате интегрирования функционала полной

энергии деформаций и дифференцирования по Аn;		anmB ,bnmB	,cnmB	,
anmC ,bnmC ,cnmC - аналогичные	коэффициенты, получаемые		при
дифференцировании по Bn	и Cn, соответственно;	dnA , dnB , dnC		-

коэффициенты, получаемые при интегрировании работы внешних сил и функций и0(х,у,z), v0(х,у,z), w0(х,у,z) и дифференцировании по Аm, Вm,, Сm соответственно.

Получим коэффициенты системы уравнений (3.1.4), проводя дифференцирование под знаком интеграла и учитывая, что при

дифференцировании

функций

по

коэффициентам Аm, Вm, Сm

имеем:

∂u

∂

∞

∂

(A1u1 + A2u2

+ ... + An un + ...)= un ,

∑ Amum ( x, y,z )

∂An

∂An m=1

∂v

∂

∞

∂

(B1v1 + B2 v2

+ ... + Bn vn + ...)= vn ,

∑Bm vm ( x, y,z )

∂Bn

∂An m=1

∂w

∂

∞

∂

(C1w1 + C2 w2 + .. + Cn wn + ..)= wn ,

∑Cm wm ( x, y,z )

∂Cn

∂Cn m=1

∂u

∂v

∂w

= 0 .

∂B

∂C

∂A

∂B

∂C

∂A

Дифференцируя выражение потенциальной энергии в перемещениях по Аn, Вп, Сn, получим:

∂U

∂An

∂

∂u ∂v

∂w

∂u

∂v

∂w

∫∫∫

+ 2µ

∂A

∂y

∂x

∂z

∂x

∂z

∂y

Ω

∂v ∂w

∂w ∂u

∂u ∂v

+ µ

dΩ =

∂y

∂z

∂y

∂x

∂z

∂u

∂v

∂w

∂u

= ∫∫∫

2µ

∂x

∂y

∂z

∂x

Ω

∂u

∂v

∂u

∂w

∂u ∂u

+ µ

dΩ.

∂y

∂x

∂z

∂x

∂z

Подставляя в полученные соотношения решение (3.1.1) и группируя свободные члены и слагаемые при коэффициентах Аm, Вm, Сm, получим:

∂U

∞

∂u ∂u

∫∫∫ m=1

∂A

∂x

∂y

∂z

∑

(λ + 2µ)

+ µ

Ω

∂v ∂u

+ µ

∂v ∂u

∂w ∂u

+ µ

∂w ∂u

+ λ

Bm +

dΩ +

∂y ∂x

∂x ∂y

∂z ∂x

∂x ∂z

∂u0

∂un

∂u0

∂un

∂u0

∂un

∫∫∫

(λ + 2µ)

+ µ

∂x ∂x

∂y ∂y

∂z ∂z

Ω

∂v ∂u

∂w ∂u

+ µ

∂w ∂u

+ λ

dΩ .

∂y ∂x

∂x ∂y

∂z ∂x

∂x ∂z

Для работы внешних сил после дифференцирования получим

∂T

∫∫∫

∂

(X u +Y v + Z w)dΩ +

∂A

Ω

+ ∫∫

∂

(Xν

u + Yµ v + Zν

w)ds == ∫∫∫

X un

dΩ + ∫∫ Xν

un ds .

∂A

Sσ

Ω

Sσ

Окончательно получим систему уравнений (3.1.4),

коэффициенты которой определяются формулами:

a A

(λ + 2µ)

∂u

dΩ ;

∫∫∫

∂x ∂x

∂y ∂y

∂z ∂z

Ω

∂v

∂u

∂v

∂u

= ∫∫∫

bnm

∂y ∂x

∂x

∂y

dΩ ;

Ω

cnmA

=∫∫∫

∂w

∂u

∂w

∂u

dΩ ;

Ω

∂z ∂x

∂x ∂z

∂u

∂v

∂u

∂v

anm

= ∫∫∫

∂x ∂y

∂y

∂x

dΩ ;

Ω

bnmB = ∫∫∫

∂v

(λ + 2µ)

dΩ ;

Ω

∂y ∂y

∂x ∂x

∂z ∂z

∂w

∂v

∂w

∂v

=∫∫∫

cnm

∂z ∂y

∂y

∂z

dΩ ;

Ω

anmC

∂u

∂w

∂u

∂w

= ∫∫∫

dΩ ;

Ω

∂x ∂z

∂z ∂x

∂v

∂w

∂v

∂w

=∫∫∫

bnm

∂y ∂z

∂z

∂y

dΩ ;

Ω

∂w

(λ + 2µ)

cnm

= ∫∫∫

+ µ

dΩ ;

∂z

∂x

∂y

Ω

dnA = ∫∫∫ X un dΩ +∫∫Xν un ds −

ΩSσ

∂u

+ 2µ

− ∫∫∫ λ

∂x

∂y

∂z

∂x

Ω

	∂u	0		∂v	0	∂u	n
+ µ		0	+		0		n
+ µ	∂y		+	∂x		∂y
	∂y			∂x		∂y

dnB = ∫∫∫ Y vn dΩ +∫∫Yν vn ds −

ΩSσ

	∂w		∂u		∂u
				0		n
+	0	+					dΩ ;
	∂x		∂z		∂z

∂v

+ 2µ

− ∫∫∫ λ

∂x

∂y

∂z

∂y

Ω

∂u

∂v

∂w

+ µ

∂y

∂x

∂z

∂y

dnC = ∫∫∫ Z wn dΩ +∫∫Zν wn ds −

ΩSσ

∂

vn dΩ ;

∂z

∂w

+ 2µ

− ∫∫∫ λ

∂x

∂y

∂z

Ω

∂u

∂w

∂v

∂w

+ µ

∂z

∂x ∂x

∂z

∂y

dΩ. (3.1.5)

Из решения системы уравнений (3.1.4) определяются коэффициенты Ат, Вт, Ст и далее суммированием рядов (3.1.1) вычисляются функции перемещений u, v, w, деформации и напряжения на основе уравнений деформаций (1.1.2) и закона Гука

(1.1.3).

Формулы (3.1.4) дают в общем случае бесконечную систему алгебраических уравнений, решение которых в общем виде возможно только при определенном характере коэффициентов системы. На практике обычно ограничиваются удержанием в рядах (3.1.1) конечного числа членов ряда, что приводит к конечной системе алгебраических уравнений, и в результате получается приближенное решение задачи. Сходимость решения в общем следует из физической сущности задачи. Точность решения зависит от числа удерживаемых членов ряда, а также от удачного подбора аппроксимирующих функций. Оценка точности получаемого решения является самостоятельной, и достаточно сложной задачей. На практике о точности получаемого решения часто судят из сравнения решений, вычисляемых с удержанием разного числа членов ряда. Однако близость двух решений не всегда гарантирует достаточную точность приближенного решения. Это может быть показано на примерах, для которых известны точные решения. Разность двух приближений в 1-2% может давать отличие от точного решения в 10% и более. Причем точность решения понижается для функций, для вычисления которых приходится дифференцировать ряды. Тем не менее, обычно 3−5 членов ряда позволяют оценить напряженнодеформированное состояние тела, а применение ЭВМ позволяет получать достаточно точные решения, удерживая необходимое число членов ряда.

б) ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА

Выполним действия, аналогичные проведенным для пространственной задачи.

Решение ищем в виде рядов:

u(x, y)= u0 (x, y)+ ∑∞ Amum (x, y),

m=1

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.04.2019617.47 Кб1attachment.doc
#
12.05.20153.12 Mб13attachment.pdf
#
15.04.2019250.88 Кб1attachment1.doc
#
12.05.20152.01 Mб69AutoCAD.pdf
#
17.03.20161.97 Mб31A_S_Makarenko_Pedagogicheskaya_poema МАКАРЕНКО ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ПОЭМА.pdf
#
17.03.20161.59 Mб22b.pdf
#
17.03.2016146.43 Кб6bakalavr_diploma2012.doc
#
19.11.2019667.65 Кб1BD_04_ER_UCEBNAYA_CHAST_crop_ukr.doc
#
23.11.2019716.29 Кб1BD_05_ER_SESSIYA_LAB_metodichka_ukr.doc
#
27.09.2019118.78 Кб1bestref-149249.rtf
#
17.03.20162.41 Mб2BetterPhotographyPres.pdf