Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

b

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

1.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 143 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Возводя правую и левую части последнего соотношения в квадрат, после очевидных преобразований, разделяя переменные, приходим к уравнению

	y	′	=	x − C1
	y		=	λ2 − (x − C1 )2 ,
интегрируя которое, получаем уравнение
(x – C1)2 + (y – C2)2 = λ2,						(1.4.5)
					которое представляет
				семейство окружностей
				радиуса λ с центром в точке
					(хс = С1, ус = С2)
Определяя значения		параметров			C1, C2, λ	из граничных
условий у(-а) = у(b) = 0	и из условия				J1 [y(x)]= ∫a	1 + y′2 dx = 2l ,
					−a

получаем окружность, отвечающую условиям задачи.

II. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ И ПЛОСКАЯ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. ПРИНЦИП ЛАГРАНЖА

Напряженно-деформированное состояние твердого деформируемого тела в общем случае (пространственная задача)

описывается системой 15-ти уравнений с 15-ю неизвестными: 1) компоненты тензора напряжений:

σx, σy, σz - нормальные напряжения;

τxy, τyz, τzx, - касательные напряжения; 2) компоненты тензора деформаций:

εx, εy, εz, - линейные относительные деформации,

γxy, γyz, γzx, - угловые деформации;

3) компоненты вектора перемещений - и, v, w.

На тело действуют объемные силы - компоненты вектора объемных сил - X, Y, Z и на границе тела действуют поверхностные нагрузки - компоненты вектора поверхностных

сил - Хν , Yν , Zν (qx, qy, qz).

Компоненты вектора поверхностных сил связаны с напряжениями статическими граничными условиями.

Всостав уравнений пространственной теории упругости

входят:

а) 3 уравнения равновесия для шести функций напряжений; б) 6 уравнений деформаций, связывающих шесть функций

деформаций с тремя функциями перемещений; в) 6 соотношений закона Гука, связывающих компоненты

тензора напряжений с компонентами тензора деформаций.

Взаконе Гука используются физические характеристики

изотропного материала: λ, µ - параметры Ляме или Е, ν - модуль упругости и коэффициент Пуассона и G - модуль сдвига.

Важнейшими характеристиками напряженно- деформирован-ного состояния твердого деформируемого тела являются потенциальная и полная энергии деформаций тела.

В ряде случаев удается упростить задачу, вводя ограничения на форму и размеры рассматриваемых тел и характер действующих нагрузок.

В случае плоской задачи (плоское напряженное состояние, плоская деформация) напряженно-деформированное состояние описывается системой 8-ми уравнений с 8-ю неизвестными:

-напряжения - σх, σу, τxy;

-деформации - εх, εу, γxy;

-перемещения - и, v.

Изгиб тонкой пластинки при введении гипотез Кирхгофа приводится к одному дифференциальному уравнению в частных производных 4-го порядка, с одной функцией - w - прогибами пластинки.

Ниже приводятся основные уравнения пространственной и плоской теории упругости.

2.1. Основные уравнения теории упругости.

А. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА

1) Уравнения равновесия (Навье, Коши)

∂∂σxx + ∂∂τyxy + ∂∂τzxz + X = 0 б

∂τ yx

∂σ y

∂τ yz

+Y = 0 ,

(2.1.1)

∂x

∂y

∂z

∂τ

∂τ zy

∂σ

+ Z = 0 .

∂x

∂y

∂z

2) Уравнения деформаций (Коши)

εx

∂u

εx

∂v

εx =

∂w

∂x

∂y

∂z

γ xy =

∂u +

∂v

γ yz

= ∂v +

∂w

γ zx =

∂w

∂u .

(2.1.2)

∂x

∂y

∂x

∂y

∂z

3)Закон Гука (изотропный материал) а) прямой закон Гука

σ x = λθ + 2µεx ,	τxy = µγ xy ,
σ y = λθ + 2µεy ,	τ yz = µγ yz ,	(2.1.3,а)
σ z = λθ + 2µεz ,	τzx = µγ zx ;

б) обратный закон Гука

εx = E1 [σ x −ν(σ y +σ z )]= E1 [(1 +ν )σ x −νσ], ε y = E1 [σ y −ν(σ z +σ x )]= E1 [(1 +ν )σ y −νσ ], εz = E1 [σ z −ν(σ x +σ y )]= E1 [(1 +ν )σ z −νσ ],

γ xy = τGxy ,

γ yz = τGxz , (2.1.3,б)

γ zx = τGzx .

θ =εx + εy + εz - первый инвариант тензора деформаций (относительная объемная деформация), σ =σ x +σ y +σ z - первый

инвариант тензора напряжений.

Из формул для касательных напряжений и угловых деформаций прямого и обратного законов Гука, очевидно, что µ

=G , т.е. коэффициент Ляме µ является модулем сдвига G. Модуль сдвига G определяется через модуль упругости Е и

коэффициент Пуассона v	по формуле:
G = µ =			E			.			(2.1.4)
			2(1 +ν )
Складывая формулы для нормальных напряжений σx, σy, σz										и
линейных относительных	деформаций						εx, εy, εz		прямого	и
обратного законов Гука, получим объемный закон Гука:
θ =	1 − 2ν	σ =			1			σ .	(2.1.5)
	E			3λ +			2µ

Формула (2.1.5) называется объемным законом Гука, так как первый инвариант тензора деформаций θ равен относительной объемной деформации, т.е. отношению приращения объема деформированного тела к первоначальному объему.

Учитывая связь механических характеристик Е, G, v, µ и формулу объемного закона Гука, можно получить связь между механическими характеристиками материала - коэффициентами Ляме λ, µ и модулем упругости Е и коэффициентом Пуассона v :


µ = G =		E			λ =		ν E
			,						;
		2(1 +ν )				(1 +ν )(1 − 2ν )
E =	µ(3λ + 2µ)				ν =		λ
				,				.		(2.1.6)
		λ + µ					2(λ + µ)

4) Уравнения неразрывности деформаций (Сан-Венан).

Уравнения (2.1.1), (2.1.2), (2.1.3,а) или (2.1.3,б) представляют полную систему пространственной теории упругости. Однако, если задача решается в напряжениях, без привлечения уравнений деформаций, то к уравнениям равновесия и закон Гука добавляются уравнения неразрывности деформаций:

∂2ε

∂2εy

∂2γ xy

∂2ε

∂

∂γ yz

∂γ

∂γ xy

−

∂y

∂x

∂x∂y

∂y∂z

∂x

∂y

∂z

∂x

∂2εy

∂2ε

∂2γ yz

∂2εy

∂

∂γ yz

∂γ

∂γ xy

−

(2.1.7)

∂z

∂y

∂y∂z

∂z∂x

∂x

∂y

∂z

∂y

∂2ε

∂2γ

∂2ε

∂

∂γ yz

∂γ

∂γ xy

−

∂x

∂z

∂z∂x

∂x∂y

∂x

∂y

∂z

Уравнения неразрывности, кроме сплошности тела при его деформировании, обеспечивают однозначность определения перемещений при интегрировании уравнений деформаций (2.1.2). При этом, если перемещения определяются интегрированием трех уравнений линейных деформаций, удовлетворяющих уравнениям неразрывности, то уравнения угловых деформаций удовлетворяются тождественно. Если перемещения определяются интегрированием уравнений угловых деформаций, то соотношения для линейных деформаций удовлетворяются тождественно.

5) Граничные условия.

При решении конкретной задачи, решение должно удовлетворять системе уравнений теории упругости (2.1.1), (2.1.2), (2.1.3) и граничным условиям на поверхности тела:

а) граничные условия в напряжениях (статические)

σ xl +τxy m +τxz n = Xν
τ yxl +σ y m +τ yz n =Yν							на Sσ ,	(2.1.8)
τ yxl +σ y m +τ yz n =Yν							на Sσ ,	(2.1.8)
τ	zx	l +τ	zy	m +σ	z	n = Z
	zx		zy		z	ν

где l = cos(x^v), m = cos(y^v), n = cos(y^v) - направляющие косинусы нормали v к поверхности тела; Sσ - часть поверхности тела, где задана поверхностная распределенная нагрузка;

б) граничные условия в перемещениях (кинематические)

и = us, v == vs, w = ws, на Su,

(2.1.9)

где us, vs, ws - перемещения, заданные на поверхности тела; Su - часть поверхности, где заданы перемещения.

б) Уравнения равновесия в перемещениях.

При подстановке уравнений деформаций (2.1.2) в уравнения равновесия (2.1.3) и использовании соотношений закона Гука

(2.1.З,а) система уравнений теории упругости приводится к трем уравнениям равновесия в перемещениях:

(λ + µ)∂∂θx + µ 2u + X = 0 ,

(λ + µ)

∂θ

+ µ 2v +Y = 0 ,

(2.1.10)

∂y

(λ + µ)

∂θ

+ µ 2 w + Z = 0 ,

∂z

где θ =ε

+ ε

∂u

∂v

∂w

;

.. =

∂2 ..

∂x

∂y

∂z

∂x2

∂y2

∂z2

оператор Лапласа в декартовой системе координат.

Статические граничные условия в напряжениях (2.1.8) на Sσ записываются в перемещениях в соответствии с формулами деформаций и закона Гука

λθ + 2µ

µ∂u +

∂y

µ∂u +

∂z

∂u

∂v

∂u

∂w

n = Xν

l + µ

∂y

∂x

m + µ

∂z

∂x

∂v

∂w

λθ

+ 2µ

n =Yν

на Sσ .

∂x

l +

∂y

m + µ

∂z

∂y

∂w

∂v

∂w

λθ +

2µ

l + µ

∂z

∂y

m +

n = Zν

∂x

∂z

(2.1.11)

7) Уравнения теории упругости в напряжениях.

При решении задачи в напряжениях используются уравнения равновесия (2.1.1) и уравнения неразрывности деформаций (2.1.7), которые с учетом соотношений закона Гука (2.1.3,б) и уравнений равновесия приводятся к системе уравнений неразрывности деформаций в напряжениях:

(1 +ν )

σ x

∂

= −

1 +ν

2(1 −

ν )

∂X

+ν

∂X

∂Y

∂Z

∂x

1 −ν

∂x

∂y

∂z

∂x

(1 +ν ) 2σ

+ ∂

= −1 +

2(1 −ν )∂Y +ν

∂X

+ ∂Y

∂Z

∂y

1 −

∂y

∂x

∂y

∂z

(1+ν ) 2σ

+ ∂

= −1+ν

2(1

−ν)∂Z +ν ∂X + ∂Y +

∂Z

∂z

1−ν

∂x

∂y

∂z

∂ σ

∂X

∂Y

τxy +

+ν

∂x∂y

= −

∂y

∂x

∂ σ

∂Y

∂Z

τ yz +

+ν

∂y∂z

= −

∂z

∂y

∂2σ

∂Z

∂X

τzx +

= −

(2.1.12)

1+ν

∂z∂x

∂z

∂x

Система неразрывности деформаций в напряжениях (2.1.12) решается совместно с уравнениями равновесия (2.1.1).

8) Потенциальная и полная энергия деформаций.

Важнейшей характеристикой напряженно-деформированного состояния твердого деформируемого тела является потенциальная энергия деформаций, представляющая энергию деформаций или работу внутренних сил. Потенциальная энергия деформаций определяется интегралом удельной потенциальной энергии по объему деформируемого тела:

U =	1	∫∫∫(σ xεx +σ yε y +σ z εz +τ xyγ xy +τ yzγ yz +τ zxγ zx )dΩ , (2.1.13)
	2
		Ω

где Ω - область (объем), занимаемая телом.

Используя прямой и обратный законы Гука и уравнения деформаций, получим формулы потенциальной энергии деформаций в напряжениях, деформациях и перемещениях:

U =

21E ∫∫∫Ω [σ x2 +σ y2 +σ z2 − 2ν(σ xσ y +σ yσ z +σ zσ x )+

+ 2(1 +ν )(τxy2 +τ yz2

+τzz2 )]dΩ ;

(2.1.13,а)

∫∫∫[λθ 2 + 2µ(εx2 + εy2 + εz2 )+ µ(γ xy2

+γ yz2

+ γ zx2 )]dΩ;

(2.1.13,б)

Ω

∂u ∂v

∂w

∂u

∂v 2

∂w

+ 2µ

∫∫∫ λ

∂x

∂y

∂z

∂y

Ω

∂x

∂z

∂w

∂u ∂v

∂v

∂u

dΩ . (2.1.13,в)

∂y

∂x

∂z

∂y

∂x

∂z

Полная энергия деформаций Э представляет комбинацию

потенциальной энергии деформаций U		и работы внешних сил		T
	Э = U − T,
T = ∫∫∫(X u +Y v + Z w)dΩ + ∫∫(Xν u +Yν v + Zν w)ds ,			(2.1.14)
Ω	S
где объемный	интеграл соответствует	работе объемных	сил,	а

интеграл по поверхности тела S - работе поверхностных сил.

Кроме объемных и поверхностных сил, в работу внешних сил может быть включена работа сосредоточенных сил, равная сумме произведений сосредоточенных сил на соответствующие перемещения точек приложения сил по направлению действия

этих сил.

Б. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА

Система уравнения теории упругости значительно упрощается, если ограничиться рассмотрением тел и нагрузок определенного типа, позволяющих применение упрощающих гипотез. К таким типам относят плоскую задачу теории упругости и задачу по расчету стержневых конструкций. Стержневые системы рассматриваются в курсе сопротивления материалов, где введение упрощающих гипотез позволяет свести задачу по расчету стержней к одномерной задаче.

В плоской задаче теории упругости рассматриваются призматические тела. При этом рассматриваются два типа задач:

плоское напряженное состояние и плоская деформация.

Плоское напряженное состояние. Рассматриваются тонкие пластинки постоянной толщины, на которые действует равномерно распределенная по толщине пластинки нагрузка, параллельно плоскости пластинки (плоскость ху). В этом случае

принимаются гипотезы об отсутствии нормальных напряжений, перпендикулярных плоскости пластинки - σz = 0, и касательных напряжений τzх = τzу = 0. Кроме того, в соответствии с законом

Гука γzх = γzу = 0 и	εz = −	ν	(σ x +σ y ). При этом все функции
		E

напряжений, деформаций и перемещений (не равные нулю) становятся функциями координат х, у.

Плоская деформация. Рассматриваются длинные (теоретически - бесконечно длинные) призматические тела (тело постоянного поперечного сечения) с нагрузкой, равномерно распределенной по длине тела (ось z) и действующей перпендикулярно оси тела. В этом случае принимают гипотезу об отсутствии перемещений вдоль оси z, вследствие чего εz = γzx = γzy = 0. При этом, согласно закону Гука, имеем τzх = τzу = 0 и σz =

-ν(σx + σy).

Системы уравнений плоской задачи теории упругости для плоского напряженного состояния и плоской деформации отличаются формой закона Гука. Однако их можно привести к общему виду, если для плоской деформации ввести так

называемые приведенные модуль упругости

Е1

и коэффициент

Пуассона v1 по формулам:

E =

(2.1.15)

1 −ν 2

−ν

При этом, модуль сдвига остается неизменным

G =

= G .

2(1 +ν

)

2(1 +ν )

2(1 −ν 2 )1 +

1 −ν

Для плоского напряженного состояния

Е1 = Е, ν1 = ν .

Система уравнений плоской теории упругости.

1) Уравнения равновесия

∂σ x

∂τ xy

+ X = 0

∂x

∂y

∂τ yx

∂σ y

+Y = 0 ,

(2.1.16)

∂x

∂y

2) Уравнения деформаций

εx

∂u

εx

= ∂v

γ xy

∂u

∂v .

(2.1.17)

∂x

∂y

∂u

∂x

3) Закон Гука

а) прямой закон Гука

(ε

+ν ε

(ε

+ν ε

), τ

= Gγ

;

(2.1.18,а)

−ν12

1 −ν12

б) обратный закон Гука

(σ

−

ν σ

(σ

−ν σ

;

(2.1.18,б)

4) Уравнение неразрывности деформаций.

Из шести уравнений деформаций остается лишь одно уравнение (остальные удовлетворяются тождественно)

∂2εx	+	∂2εy	=	∂2γ xy	.	(2.1.19)
		∂x2
∂y2				∂x∂y

Используя закон Гука и уравнения равновесия, получим уравнение неразрывности деформаций в напряжениях

2		∂X		∂Y
	(σ x +σ y )= −(1 +ν1 )	∂x	+	∂y	,	(2.1.20)
		∂x		∂y

где 2 .. = ∂2 .. + ∂2 .. - оператор Лапласа на плоскости.

∂x2 ∂y2

Если объемные силы X, Y постоянны, то уравнение неразрывности деформаций принимает вид:

2 (σ x +σ y )= 0 ,

(2.1.20,а)

следовательно, сумма нормальных напряжений плоской задачи теории упругости в этом случае является гармонической функцией.

5) Граничные условия а) граничные условия в напряжениях (статические)

σ		x	l +τ	xy		m = X
							ν	на Sσ ;	(2.1.21)
τ			l +σ			m =Y
	xy				y
						ν

б) граничные условия в перемещениях (кинематические)

и = us, v = vs

на Sи.

(2.1.22)

5) Уравнения плоской задачи теории упругости для функции напряжений

Система уравнений плоской задачи теории упругости в напряжениях включает систему уравнений равновесия (2.1.16), к которым добавляется уравнение неразрывности деформаций в напряжениях (2.1.20).

Если объемные силы являются константами или отсутствуют, то система трех уравнений в напряжениях приводится к одному разрешающему уравнению, если ввести функцию напряжений ϕ (х,у) по формулам:

σ x =

∂2ϕ

, σ y =

∂2ϕ

τxy = −

∂2ϕ

− X y −Y x .

(1.1.23)

∂y2

∂x2

∂x∂y

Тогда уравнения равновесия (2.1.16) удовлетворяются

тождественно, а уравнение неразрывности принимает вид:

4ϕ = 2 2ϕ = 0 ,

(2.1.24)

2 2

∂2

∂2 .. 2

∂4 ..

∂24 ..

.. =

где

2 +

4 + 2

2 +

.. =

∂x

∂y

∂x

∂y

бигармонический оператор в двухмерной области.

Таким образом, функция напряжений в этом случае является бигармонической функцией.

6) Уравнения плоской задачи теории упругости в перемещениях:

∂2u

+ (1 −ν

)∂2u

+ (1 +ν

)

∂2 v

2(1 −ν12 )

X = 0 ,

∂

∂x∂y

∂

(1 +ν

)

∂2u

+ (1 −ν

)

∂2 v

+ 2

∂2 v

2(1 −ν12 )

Y = 0 .

∂x∂y

∂ 2

∂

(2.1.25)

Статические граничные условия в перемещениях

запишутся в виде:

∂u

∂v

−ν1

∂u

∂v

m =

1 −ν1

Xν

∂x +ν1

∂y

l +

1 −ν1

∂u

∂v

∂u

∂v

1 −ν1

Yν .

∂y

∂x

∂y

ν1

(1.1.26)

7) Потенциальная энергия деформаций и работа внешних сил

U= 1 ∫∫ (σ xεx +σ yεy +τxyγ xy )dA =

2 A

∫∫

[σ 2 +σ

2 − 2ν σ

+ 2(1 +ν

)τ 2 ]dA =

1 x

(1 −ν1 )

∫∫ εx2

+ εy2 + 2ν1εxεy +

γ xy2 dA =

2(1 −ν1

(2.1.27)

∂u 2

∂v 2

∂u ∂v

(1 −ν

)

∂u

∫∫

+ 2ν1

−ν

∂x

∂y

2(1

) A

∂x

∂y

Работа внешних сил определяется по формуле

T = ∫∫ (X u +Y v)dA + ∫ (Xν u + Yν v)ds,

Sσ

+∂v 2 dA ∂x

(2.1.28)

где Sσ - часть контура пластинке, на которой заданы статические граничные условия.

2.2. Принцип Лагранжа.

Потенциальная и полная энергии деформаций представляют собой функционалы Эйлеровского типа и могут исследоваться на экстремум на основе формул Эйлера вариационного исчисления. Одним из основных вариационных принципов, использующим функционал полной энергии деформаций, является принцип Лагранжа, на основе которого разработаны различные вариационные методы решения задач теории упругости.

Сформулируем и докажем принцип Лагранжа:

Их всех кинематически возможных напряженно-деформи- рованных состояний твердого деформируемого тела для действительного деформированного состояния полная энергия деформаций достигает минимального значения

Э = Эmin.

(2.2.1)

Тогда, согласно принципам вариационного исчисления,

вариация полной энергии деформаций равна нулю

δЭ = 0.

(2.2.2)

Под кинематически возможным напряженно-деформирован- ным состоянием понимается любое деформированное состояние тела, не противоречащее наложенным на тело кинематическим связям. Кинематические связи - связи наложенные на перемещения отдельных точек и частей тела. Другими словами, если некоторые точки тела закреплены, или для них заданы некоторые, вполне определенные перемещения, то в качестве возможных деформированных состояний должны приниматься функции, для которых выполнены эти условия.

Доказательство 1. Докажем принцип Лагранжа, используя непосредственное варьирование функционала полной энергии деформаций, записанного в перемещениях, и проводя варьирование под знаком интеграла

Э = δU - δT = 0,

δU = 12 ∫∫∫Ω δ [λθ 2 + 2µ(εx2 + εy2 + εz2 )+ µ(γ xy2 +γ yz2 +γ zx2 )]dΩ =

= ∫∫∫ [λθ δθ + 2µ(εx δεx + εy δεy + εz δεz )+

Ω

+ µ(γ xy δγ xy + γ yz δγ yz + γ zx δγ zx )] dΩ ,

δT = ∫∫∫ δ(X u +Y v + Z w)dΩ + ∫∫δ(Xν u +Yν v + Zν w) dS =

Ω

Sσ

= ∫∫∫ (X δ u +Y δ v + Z δ w)dΩ + ∫∫ (Xν δ u +Yν δ v + Zν δ w)dS .

Ω	Sσ
Учитывая,	что δθ =δ(εx + εy + εz )=δεx +δεy +δεz и группируя в

выражении вариации потенциальной энергии деформаций слагаемые при вариациях одноименных деформаций и учитывая закон Гука (3.1.3,а), получим

δU = ∫∫∫[(λθ + 2µεx )δεx + (λθ + 2µεy )δεy + (λθ + 2µεz )δεz +

Ω

+ µ(γ xyδγ xy +γ yzδγ yz +γ zxδγ zx )] dΩ =

= ∫∫∫ (σ xδεxy +σ yδε y +σ zδεz +τ xyδγ xy +τ yzδγ yz +τ zxδγ zx )dΩ .

Ω

(2.2.3)

Формула (2.2.3) называется формулой Клапейрона. Используя уравнения деформаций (2.1.2) и меняя порядок производной и вариации, имеем:

δεx =δ

∂u

∂δu

;

δεy =δ

∂v

∂δv

;

δεz = δ

∂w

∂δw

;

∂x

∂y

∂z

	∂u		∂v		∂δu		∂δv
		+		=		+		;
δγ xy =δ	∂y		∂x		∂y		∂x

∂w		+	∂u	=	∂δw	+	∂δu	.
δγ zx =δ	∂x				∂x		∂z
			∂z

	∂v		∂w		∂δv		∂δw
		+		=		+		;
δγ yz =δ	∂z		∂y		∂z		∂y

Рассмотрим известную из математического анализа формулу Гаусса-Остроградского

		∂P + ∂Q	+ ∂R			(P l +Q m + R n)ds ,
		∂P + ∂Q	+ ∂R	dΩ =	∫∫	(P l +Q m + R n)ds ,
∫∫∫		∂x ∂y	∂z		∫∫
Ω		∂x ∂y	∂z		S
где ∫∫	-	интеграл по границе (поверхности) тела;
S

(2.2.4)

l, m, n -

направляющие косинусы нормали к поверхности тела.

<<< < Предыдущая 1 23 / 143 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.04.2019617.47 Кб1attachment.doc
#
12.05.20153.12 Mб13attachment.pdf
#
15.04.2019250.88 Кб1attachment1.doc
#
12.05.20152.01 Mб69AutoCAD.pdf
#
17.03.20161.97 Mб31A_S_Makarenko_Pedagogicheskaya_poema МАКАРЕНКО ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ПОЭМА.pdf
#
17.03.20161.59 Mб22b.pdf
#
17.03.2016146.43 Кб6bakalavr_diploma2012.doc
#
19.11.2019667.65 Кб1BD_04_ER_UCEBNAYA_CHAST_crop_ukr.doc
#
23.11.2019716.29 Кб1BD_05_ER_SESSIYA_LAB_metodichka_ukr.doc
#
27.09.2019118.78 Кб1bestref-149249.rtf
#
17.03.20162.41 Mб2BetterPhotographyPres.pdf