b
.pdf
|
v(x, y)= v0 (x, y)+ ∑∞ Bm vm (x, y). |
|
(3.1.6) |
|
|
|
m=1 |
|
u0(x,y), |
Как и в случае пространственной задачи, функции |
||||
v0(x,y) |
должны удовлетворять неоднородным, а функции |
um(x,y), |
||
vm(x,y) |
- однородным кинематическим граничным условиям. |
|||
Неизвестные коэффициенты |
Ат, Вт |
определяются из |
системы алгебраических уравнений, получаемой в результате подстановки решения (3.1.6) в функционал полной энергии деформаций плоской задачи теории упругости (2.1.26) и дифференцирования по параметрам Аn, Вn. В результате получим систему алгебраических уравнений:
|
∑∞ (anmA Am + bnmA Bm )= dnA , |
|
|
m=1 |
n = 1, 2, 3,… |
(3.1.7) |
|
|
∑∞ (anmB Am + bnmB Bm )= dnB , |
||
|
|
|
|
m=1 |
|
|
A |
|
|
|
∂um |
∂un |
|
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
∫∫ |
|
+ |
ν ∂um ∂un |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
где anm |
|
|
∂x ∂x |
|
2 |
|
|
∂y ∂y |
|
dA ; |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
A |
|
|
|
|
|
∂vm ∂un |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∫∫ |
|
|
|
+ |
−ν ∂vm ∂un |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
bnm = |
ν1 |
∂y ∂x |
|
|
2 ∂x ∂y |
dA ; |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−ν1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
B |
|
|
|
|
|
∂um ∂vn |
|
∂um ∂vn |
|
|
|
|
||||||||||||||||
anm |
= |
∫∫ |
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ν |
∂x ∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dA ; |
|
|
|||||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
2 ∂y ∂x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
B |
|
|
|
∂vm |
∂vn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 −ν1 ∂vm ∂vn |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
bnm = |
∫∫ |
|
∂y ∂y |
+ |
|
|
|
|
|
∂x ∂x |
dA ; |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
dnA = |
1 −ν |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
E |
1 |
∫∫X undA + ∫Xν un dL − |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
Lσ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
0 |
|
|
|
|
∂v |
0 |
|
∂u |
n |
|
|
1−ν |
1 |
|
∂u |
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
∂x |
+ 2ν1 |
∂y |
∂x + |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
− ∫∫ |
|
|
|
|
|
∂y |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dnB = |
1 −ν 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
E |
1 |
|
∫∫Y vndA + |
∫Yν vn dL |
− |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
Lσ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− ∫∫A ∂∂vy0 + 2ν1 ∂∂ux0 ∂∂vyn +1−2ν1 ∂∂uy0 + ∂∂vx0
+ ∂∂vx0 ∂∂uyn dA ;
∂vn dA . (3.1.8)
∂x
Решив систему алгебраических уравнений (3.1.8), вычисляем перемещения на основе формул (3.1.7). Деформации и напряжения вычисляются с привлечением уравнений деформаций (2.1.17) и закона Гука (2.1.18,а).
3.2.Метод Канторовича−Власова.
Вотличие от метода Ритца−Тимошенко, метод Канторовича−Власова приводит задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, т.е. сводит пространственную или плоскую задачу теории упругости к одномерной. Метод
Канторовича−Власова обычно применяется к призматическим телам, ограниченным плоскостями х1, х2 = const, перпендикулярными оси х.
а) ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА
Решение метода Канторовича−Власова принимается в виде:
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
u( x, y,z ) = u0 ( x, y,z ) + ∑Am ( x )um ( y,z ), |
|
|
||||
|
|
|
m=1 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
v( x, y,z ) = v0 ( x, y,z ) + ∑Bm ( x )vm ( y,z ), |
|
|
||||
|
|
|
m=1 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
w( x, y,z ) = w0 ( x, y,z ) + ∑Cm ( x )wm ( y,z ) , |
(3.2.1) |
|||||
|
|
|
m=1 |
|
|
|
|
где |
u0(x,y,z), |
v0(x,y,z), w0(x,y,z) |
- функции, |
удовлетворяющие |
|||
неоднородным |
кинематическим |
граничным |
условиям; um(y,z), |
||||
vm(y,z), wm(y,z) |
- функции переменных |
у, z, |
удовлетворяющие |
||||
однородным |
кинематическим |
граничным |
условиям |
на |
|||
поверхности Su, кроме плоскостей х = х1 |
и х = х2; Аm(х), Bm(х), |
||||||
Cm(х) |
- неопределенные функции аргумента |
х, выполняющие в |
методе Канторовича−Власова роль, которая соответствует роли неопределенных коэффициентов Аm, Вm, Сm в методе Ритца −Тимошенко.
Для определения неизвестных функций Аm(х), Вm(х), Сm(х), используем соотношения (2.2.6) метода возможных перемещений, полученные при доказательстве принципа Лагранжа, записанные через функции перемещений:
|
(λ + µ) |
∂θ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
∫∫∫ |
|
|
+ |
µ |
|
u |
+ X δu dΩ = 0 |
, |
||||||
∂x |
|
|||||||||||||
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(λ + µ) |
∂θ |
|
|
µ 2v |
|
|
|
||||||
|
|
|
+ |
+Y δv dΩ = 0 |
, |
|
||||||||
|
|
|
||||||||||||
∫∫∫ |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
∂θ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫∫∫ (λ + µ) |
|
|
+ |
µ |
|
w + Z δwdΩ = 0 ; |
|
(3.2.2) |
||||||
∂z |
|
|
||||||||||||
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫∫ (σ x l +τxy m +τxz n − Xν )δu ds = 0 , |
|
|
||||||||||||
Sσ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫∫ (τ yx l +σ y m +τ yz n −Yν )δv ds = 0 , |
|
|
||||||||||||
Sσ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫∫ (τzx l +τzy m +σ z n − Zν )δwds = 0 . |
|
(3.2.3) |
||||||||||||
Sσ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варьируя функции |
u, v, |
w и учитывая, что варьируются |
||||||||||||
только неопределенные функции |
Аm(х), Вm(х), Сm(х), получим: |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
δu( x, y,z ) = ∑um ( y,z )δAm ( x ) , |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
m=1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
δv( x, y,z ) = ∑vm ( y,z )δBm ( x ) , |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
m=1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
δw( x, y,z ) = ∑wm ( y,z )δCm ( x ). |
|
(3.2.4) |
m=1
Подставляя вариацию функции u(x,y,z) в первое уравнение (3.2.2), интегрируя ряд почленно и разделяя в объемном интеграле интегрирование по аргументам х и у, z, имеем:
|
|
(λ + µ) |
∂θ |
2 |
|
|
∫∫∫ |
|
+ µ |
u + X δu dΩ = |
|||
∂x |
||||||
Ω |
|
|
|
|
|
|
(λ + µ) |
∂θ |
|
|
2 |
|
∞ |
|
|
||||
= ∫∫∫ |
|
+ µ |
|
u + X |
∑un ( y,z )δAn dΩ = |
|
|
|||||||
∂x |
|
|
|
|||||||||||
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
||
∞ x2 |
|
|
|
|
|
|
∂θ |
|
2 |
|
|
|
||
= ∑ ∫ |
|
∫∫ |
(λ + µ) |
+ µ |
|
, |
||||||||
|
|
∂x |
|
u + X un ( y,z )dydz |
δAn ( x )dx = 0 |
|||||||||
n=1 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A( x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
∫∫ |
|
- |
|
|
интеграл по |
|
площади поперечного сечения |
||||||
A( x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
призматического тела в точке с координатой х.
Аналогично проводятся преобразования с граничными статическими условиями для соотношений (3.2.3)
∑∞ ∫∫(σ x l +τxy m +τxz n − Xν )un ( y,z )δAn ( x )ds =
n=1Sσ
∞ |
x2 |
|
∫(σ x |
|
|
= ∑ |
∫ |
|
l +τxy m +τxz n − Xν )un ( y,z )dL δAn ( x )dx =0 |
, |
|
n=1 x1 |
L( x ) |
|
|
||
где |
|
|
∫ - |
интеграл по контуру сечения призмы |
с |
|
|
|
L( x ) |
|
|
координатой х. Интеграл учитывает невязки в выполнении статических граничных условий отдельным членом ряда.
Далее рассматриваются призматические тела, для которых поперечное сечение А и контур L постоянны (не зависят от х), направляющий косинус на контурной поверхности тела l = 0 и слагаемое σ x в контурных интегралах опускается.
Применяя к внешнему интегралу по х основную лемму вариационного исчисления, учитывая независимость функций Аn(х) при различных значениях n, и добавляя аналогичные соотношения для второго и третьего соотношений (3.2.2) и (3.2.3), получим основные функциональные соотношения метода Канторовича−Вла-сова. Соотношения для объемного и поверхностного интегралов при вариациях одноименных функций суммируются, напряжения выражаются через перемещения:
|
(λ + |
µ) |
∂θ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫∫ |
|
+ µ |
|
|
u + X un ( y,z )dydz + |
|||||||||||||
∂x |
|
|
||||||||||||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∂u |
|
∂v |
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
∂w |
|
|
||
|
|
|
+ |
|
m + µ |
+ |
|
− Xν un ( y,z )dL = 0 ; |
||||||||||
|
+ ∫ µ |
∂y |
∂x |
|
|
∂z |
|
n |
||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
||||
|
(λ + µ) |
∂θ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫∫ |
|
+ µ |
|
|
u |
+ X vn ( y,z )dydz + |
||||||||||||
∂x |
|
|
||||||||||||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂v |
|
∂v |
∂w |
|
|||||||
|
+ ∫ |
|
|
+ 2µ |
|
|
|
|
|
n −Yν vn ( y,z )dL = 0 ; |
||||||||
|
λθ |
|
∂y |
m + |
µ |
∂z |
|
+ ∂y |
|
|||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(λ + µ) |
∂θ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫∫ |
|
+ µ |
|
|
u |
+ X wn ( y,z )dydz + |
||||||||||||
∂x |
|
|
||||||||||||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂v |
|
∂w |
|
|
|
|
|
|
|
∂w |
|
|
|||
|
|
|
+ |
|
|
λθ + µ |
|
|
||||||||||
|
+ ∫ µ |
∂z |
∂y |
|
m + |
n − Zν wn ( y,z )dL = 0 ; |
||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1, 2, 3,... (3.2.5) |
Если функции u0(x,y,z), v0(x,y,z), w0(x,y,z) и um(y,z), vm(y,z), wm(y,z) удовлетворяют не только кинематическим, но и
статическим граничным условиям на боковой поверхности
призмы, то поверхностные интегралы в соотношениях (3.2.5)
отбрасываются. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции u(x,y,z), |
v(x,y,z), |
||||||||||||||||||||||||
Подставим в соотношения (3.2.5) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
w(x,y,z) в виде рядов (3.2.1), учитывая при этом, что |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
θ = |
∂u |
+ |
∂v |
+ |
|
∂w |
= |
|
∂u0 ( x, y,z ) + |
∂v0 ( x, y,z ) + ∂w0 ( x, y,z ) + |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂v |
n |
( x, y ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂w ( x, y ) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+Cn ( x ) |
|
|
n |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
+ ∑ Am ( x )un ( y,z ) + Bn ( x ) |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
∂z |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
m=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Проводя интегрирование для каждого члена ряда и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
группировку слагаемых при однотипных неизвестных |
Ат(х), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вт(х), Ст(х) |
и их производных, приходим к системе обыкновенных |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференциальных уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
′′A |
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′A |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
′A |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|||||||||
∑ |
[anm |
Am ( x ) |
+ anm A( x ) +bnm Bm ( x ) +cnmCm ( x )]= dn ( x ), |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
m=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
′B |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′B |
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
||||||||||
∑ |
[anm Am |
( x ) +bnm B ( x ) +bnm Bm ( x ) +cnmCm ( x )] |
= dn ( x ), |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
m=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
′C |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′A |
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|||||||||
∑[anm Am |
( x ) +bnm Bm ( x ) +cnm Cm ( x ) +cnmC( x )]= dn ( x ), |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
m=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1, 2, 3,... |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.2.6) |
|||||||||||||
′′A |
= (λ + 2µ)∫∫ um ( y,z )un ( y,z )dA ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
где anm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A |
|
|
|
|
|
|
∂2u |
m |
( y,z ) ∂2u |
m |
|
( y,z ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
= µ∫∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
anm |
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
un ( y,z )dA + |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
m |
( y,z ) |
|
|
|
|
|
|
∂u |
m |
( y,z ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ µ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
n dA ; |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
′A |
= (λ + µ)∫∫ |
|
∂vm ( y,z ) |
un ( y,z )dA + µ∫ vm ( y,z )un ( y,z ) m dL ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
bnm |
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
′A |
|
|
|
µ)∫∫ |
|
∂wm ( y,z ) |
|
un ( y, z )dA + µ∫ wm ( y,z )un ( y,z ) n dL ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cnm = (λ + |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂θ |
0 |
( x, y,z ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
dnA = −∫∫ |
(λ + |
2µ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
µ 2u0 |
+ X |
un ( y,z )dA − |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
∂u |
0 |
( x, y,z ) |
|
|
|
|
∂v |
0 |
( x, y,z ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
− ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
µ |
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
0 |
( x, y,z ) |
|
|
|
∂w ( x, y,z ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ µ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
− Xν |
un ( y,z )dL ; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
′B |
= (λ + µ)∫∫ |
|
∂um |
( y,z ) |
vn ( y,z )dA + λ∫un ( y,z )vn ( y,z ) m dL ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
anm |
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
′′B |
= µ∫∫ vm ( y,z )vn ( y,z )dA ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
bnm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bB |
= |
|
|
|
(λ + |
2µ)∂ |
2 |
vm |
( y,z ) |
+ µ |
∂ |
2 |
vm |
( y,z ) |
|
|
|
( y,z )dA + |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫∫ |
|
|
|
|
v |
n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
nm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
(λ + 2µ) |
∂v |
m |
( y,z ) |
m + |
∂v |
m |
( y,z ) |
n |
|
|
|
|
( y,z )dA ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
n |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cnmB
dnB
a′C
nm
bnmC
c′′C
nm
= (λ + µ)∫∫ |
∂2 w |
( y,z ) |
vn ( y,z )dA + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
A |
|
|
|
∂y∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
∂w |
( y,z ) |
|
|
|
|
|
∂w ( y,z ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
λ |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
m _ µ |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
+ ∫ |
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
n vn ( y,z ) dL ; |
||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(λ + |
2µ) |
∂θ |
0 |
( x, y,z ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= −∫∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ µ 2v0 ( x, y,z ) +Y |
vn ( y,z )dA − |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂v |
|
( x, y,z ) |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
− ∫ |
|
|
λθ0 |
( x, y,z ) + 2µ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂v |
0 |
( x, y,z ) |
|
|
|
∂w ( x, y,z ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
+ µ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n −Y |
|
v |
n |
( y,z )dL ; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
ν |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= (λ + µ) |
∂um ( y,z ) w ( y,z )dA +λ |
∫ |
u |
m |
( y,z )w ( y,z ) n dL ; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫∫ |
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= (λ + µ)∫∫ |
∂2vm ( y,z ) wn ( y,z )dA + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
A |
|
|
|
∂y∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂v |
m |
( y,z ) |
|
|
|
|
|
∂v |
m |
( y,z ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
+ ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m + µ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
λ |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
n wn ( y,z ) dL ; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= µ∫∫ wm ( y,z )wn ( y,z )dA ;
A
cC = |
|
|
(λ + 2µ) |
∂2 w ( y,z ) |
+ µ |
∂2 w ( y,z ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
m |
|
2 |
|
|
|
m |
|
2 |
|
w ( y,z )dA + |
||||||||||||||||||
nm |
|
∫∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
n |
|
|
||||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂w ( y,z ) |
m +(λ + |
2µ) |
∂w ( y,z ) |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
n + w ( y,z )dA ; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
dnB = −∫∫ |
|
(λ |
+ 2µ) |
|
∂θ |
0 |
( x, y,z ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
µ 2 w0 ( x, y,z ) +Y |
wn |
( y,z )dA − |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
− ∫ |
|
µ |
∂v |
|
( x, y,z ) |
+ |
|
∂w ( x, y,z ) |
m |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂w ( x, y,z ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
+ |
λθ |
0 |
( x, y,z ) + 2µ |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
n |
−Y |
|
v |
n |
( y,z )dL . |
(3.2.7) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
ν |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система (3.2.6), представляет в общем случае бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. На практике обычно берут конечное число членов ряда (3.2.1), получая конечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Хотя теория решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений создана, это решение в общем случае является довольно трудоемким даже при использовании современных ЭВМ. Наиболее простым получается решение в случае ортогональности функций решения (3.2.1) и ортогональности их производных. Тогда система (3.2.5) распадается на систему отдельных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для каждого члена рядов (3.2.1). В частности это возможно, если используются системы тригонометрических функций, но это возможно лишь для некоторых частных граничных условий.
Метод Канторовича−Власова применим и в случае тел, ограниченных плоскостями х1, х2 с произвольной боковой поверхностью. Тогда члены рядов решения (3.2.1) берутся в виде:
Аm(х) u(x,y,z), |
Вm(х) vm(x,y,z), |
Сm(х) wm(x,y,z). |
Зависимость функций |
um, , vm„ wm |
от х, у, z связана с |
необходимостью удовлетворять граничные условия на боковой поверхности, которые будут включать уравнения боковой поверхности. В этом случае применение алгоритма метода Канторовича−Власова приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, т.е. коэффициенты системы (3.2.6) будут функциями аргумента х.
В качестве функций перемещений для прямоугольных областей c прямоугольным поперечным сечением обычно используются функции в виде произведения функций от каждого независимого аргумента:
um (x, y,z)=U xm (x) U ym (y) U zm (z); |
|
|
vm (x, y,z)=Vzm Vym (y) Vzm (z); |
|
|
wm (y,z)=Wxm (x) Wym (y) Wzm (z), |
(3.2.8) |
|
при этом индексы |
ут, zт могут независимо пробегать все |
|
значения 1, 2, 3 .... |
|
|
|
б) ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА |
|
Решение плоской задачи теории упругости методом |
||
Канторовича−Власова ищется в виде рядов: |
|
|
u(x, y)= u0 (x, y)+ ∑∞ Am (x)um (y), |
|
|
|
m=1 |
|
v(x, y)= v0 (x, y)+ ∑∞ Bm (x)vm (y), |
(3.2.9) |
|
|
m=1 |
|
где и0(х,у), v0(x,y) - функции, удовлетворяющие неоднородным граничным условиям на продольных сторонах плоской области; и(х) и v(y) - функции удовлетворяющие однородным граничным условиям на продольных сторонах плоской области; А(х), В(х) - неизвестные коэффициенты аргумента х.
Если решение ищется в виде (3.2.7), то рассматривается прямоугольная область (0 ≤ х ≤ а, 0 ≤ у ≤ b). За основу принимаются формулы уравнений возможных перемещений
(2.2.22), (2.2.23).
Проведем необходимые действия, аналогичные проведенным при решении пространственной задачи методом Канторовича−Власова. Подставляя решение (3.2.7) в левые части уравнений (2.2.22), получаем:
|
|
∂2u |
∂2u |
|
|
∂2v |
2(1 |
|
−ν12 ) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
∂x2 + (1 − |
ν1 )∂y2 + (1 +ν1 )∂x∂y + |
|
E |
|
|
|||||||||
∫∫ |
|
|
|
X δu dA = |
|||||||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
∂2u |
|
∂2u |
|
|
|
|
|
∂2 v |
|
|||
|
|
= ∫∫ 2 |
∂ 2 + (1 |
−ν1 ) |
∂ 2 |
+ (1 + |
ν1 ) |
|
+ |
||||||
|
|
∂x∂y |
|
||||||||||||
|
|
A |
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
2(1 −ν1 ) |
|
X |
δ ∑ An ( x )un ( y ) dA = |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
a |
b |
|
∂2u |
+ (1 −ν1 ) |
∂2u |
+ (1 |
+ν1 ) |
∂2 v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
= ∑ |
∫ |
∫ |
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
∂x |
∂y |
∂x∂y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
2(1 −ν1 |
) |
|
|
|
|
|
|
( y ) dy |
δA ( x )dx ; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X u |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(1 |
−ν12 ) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(1 + |
ν1 ) |
∂2u |
|
+ (1 |
−ν1 ) |
∂2v |
|
|
∂2v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
∫∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 + 2 |
|
|
2 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||
|
∂x∂y |
∂x |
∂y |
|
|
|
|
|
E1 |
δv dA |
|||||||||||||||||||||||||||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∞ |
|
a |
b |
|
(1 +ν1 ) |
∂ |
2 |
u |
+ (1 −ν1 ) |
∂ |
2 |
v |
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
2 |
u2 + |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= ∑ |
∫ ∫ + |
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
∂x∂y |
∂x |
2 |
|
∂y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 (1 −ν |
12 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
v |
n |
(y)dy |
δ B |
n |
(x)d x . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если решение (3.2.7) не удовлетворяет статическим граничным условиям, то добавляются контурные интегралы (2.2.3). При этом учитываем, что для прямоугольной области на продольных краях l = 0, на грани у = 0 m = -1, на грани у = b m = 1:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
∂v |
|
|
|
|
|
1 −ν1 |
∂u |
|
|
∂v |
|
|
|
|
1 −ν1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l + |
|
+ |
|
|
|
|
|
Xν δu dL = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂x |
+ν1 ∂y |
|
2 |
|
|
∂y |
x |
m − |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Lσ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−ν1 |
|
∂u( x, y ) |
+ ∂v( x, y ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
= − |
∫ |
|
|
− |
1−ν1 |
Xν δ ∑A ( x )u |
n |
( y )dx |
|
+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y=0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
a |
|
1 |
−ν |
1 |
|
|
|
|
∂u( x, y ) |
|
|
∂v( x, y ) |
|
|
1−ν 2 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
+ |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
1 |
|
|
Xν |
δ ∑A ( x )u |
n |
( y )dx |
|
= |
|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
E |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y=b |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y=b |
|
||||||||||||
|
|
|
∞ |
b |
|
|
|
|
−ν |
|
∂u( x, y ) |
|
∂v( x, y ) |
|
1−ν |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= ∑ |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
X |
ν u |
n |
( y ) |
|
|
|
|
δA ( x )dx |
|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
m=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y=0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
∂v |
|
|
|
∂u |
|
|
∂v |
|
|
|
|
|
1 −ν |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
∫ |
|
1 −ν1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
Yν δu dL = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
∂y |
|
x |
l |
+ ν1 ∂x |
+ ∂y |
m |
|
E |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Lσ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∞ |
|
a |
|
|
|
|
|
|
∂u( x, y ) |
|
|
∂v( x, y ) |
1 |
−ν |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
= ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
ν |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
Yν v |
n |
( y ) |
|
|
|
δB |
n |
( x )dx . |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
m=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приравнивая нулю подынтегральные выражения (интеграл по аргументу х) при вариациях независимых функций Аn(x), Bn(x) (на основании основной леммы вариационного исчисления) и суммируя результаты от интеграла по площади и контурного интеграла, получаем систему дифференциальных уравнений относительно функций Ат(x), Bт(x):
|
∞ |
′′A |
′′ |
A |
|
′A ′ |
A |
|
||
|
∑[anm |
Am ( x ) + anm A( x ) +bnm Bm ( x )]= dn ( x ), |
||||||||
m=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1, 2, 3.. (3.2.10) |
|
|
∞ |
′ |
|
′ |
′′ |
|
′′ |
|
|
|
|
|
B |
B |
B |
B |
( x ), |
||||
|
∑[anm Am |
( x ) +bnm B ( x ) +bnm Bm ( x )]= dn |
||||||||
m=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′A |
b |
|
где |
= 2 ∫ um ( y ) un ( y )dy ; |
||
anm |
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
b ∂2u |
|
|
( y ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−ν |
1 |
|
∂u |
|
( y ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
a A |
= (1 |
−ν |
1 |
)) |
|
|
|
|
|
|
m |
2 |
|
|
|
|
u |
n |
( y )dy |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
u |
n |
( y ) |
|
|
; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
nm |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
′A |
|
|
|
|
|
b ∂v |
m |
( y ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−ν |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
b |
= (1 |
+ν |
|
)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
( y )dy |
+ |
|
|
|
|
v |
|
|
( y ) u |
|
( y ) |
|
; |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
nm |
|
|
|
1 |
|
∫0 |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||||
|
|
a |
|
∂2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
( x, y ) |
|
|
(1−ν1 ) |
|
( x, y ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
dnA = ∫ 2 |
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
+(1+ν1 ) |
∂2v0 |
( x, y ) |
|
|
2(1−ν12 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
X |
un ( y )dy + |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂x∂y |
|
|
|
|
|
E1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1−ν |
1 |
|
∂u |
0 |
( x, y ) ∂v |
0 |
( x, y ) |
|
|
|
|
1−ν 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Xν |
un ( y ) |
||||||||||||||
|
|
|
+ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
+ |
|
|
x |
|
|
|
− |
|
E |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
′B |
|
|
|
|
|
b ∂u |
m |
( y ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
= (1 |
+ν1 ))∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+(ν1um ( y ) un ( y )) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
anm |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
vn ( y )dy |
|
0 ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
′′B |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (1 |
−ν1 )∫ vm ( y ) vn ( y )dy ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
bnm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y=b
;
y=0
|
bB |
= 2 |
b |
∂2v |
m |
( y ) |
v |
|
( y )dy + |
|
∂v |
m |
( y ) |
u |
|
|
|
|
|
b |
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
( y ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
nm |
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
b |
|
|
|
|
∂2u0 ( x, y ) |
|
|
|
|
|
∂2 v0 ( x, y ) |
|
|
∂2 v0 ( x, y ) |
|
|||||||||||||||||||||||||
B |
(1 |
+ν1 ) |
+ (1 −ν1 ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
dn |
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2 |
|
|
|
+ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂x∂y |
|
|
|
|
|
|
∂ |
2 |
|
|
|
∂ 2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
2(1 −ν12 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
v |
n |
( y ) dy + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
E1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
∂u |
0 |
( x, y ) |
|
|
∂v |
0 |
( x, y ) |
|
|
|
1 |
−ν |
2 |
|
|
|
|
y=b |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
+ |
ν1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
Yν vn ( y ) |
, |
(3.2.11) |
||||||||||||||
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
E |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
y=0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Ху0, Yyo, Хyb, Yyb - проекции распределенной нагрузки на гранях у = 0 и у = b по оси х и у соответственно.
Если на продольных границах у = 0 и у = b статические граничные условия выполнены, то слагаемые с подстановкой ... b0 ,
... yy==b0 отбрасываются.
Таким образом, как и в пространственной задаче, получена бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравнений. На практике берут конечное число членов в рядах (3.2.7), что приводит к конечной системе дифференциальных уравнений, и получают приближенное решение. Если удается построить ортогональную систему функций, отвечающую граничным условиям задачи, то получаем систему отдельных дифференциальных уравнений. В этом случае можно получить точное решение задачи.
Если продольные границы области плоской задачи являются кривыми r1(х) и r2(х), r1(х) ≤ у ≤ r2(х), то решение плоской задачи можно искать в виде:
u(x, y)= u0 (x, y)+ ∑∞ Am (x)um (x,y) ,
m=1 |
|
v(x,y)= v0 (x, y)+ ∑∞ Bm (x)vm (x,y), |
(3.2.12) |
m=1 |
|
так как функции, удовлетворяющие граничным условиям на продольных краях, будут включать уравнения кривых r1(х) и r2(х).
Метод Канторовича−Власова приводит в этом случае к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, вид которых зависит от типа
кривых r1(х) и r2(х).
Например, если продольные криволинейные границы области (рис. 4.1) плоской задачи теории упругости жестко защемлены, т.е. на краях r1(х) и r2(х) перемещения u = v = 0, то функции un(x), vn(x) можно принять в виде
um (x, y)= sin mπ |
|
y − r1 |
(x) |
|
. |
(3.2.13) |
|
r2 |
(x)− r1 (x) |
||||||
|
|
|
Основными трудностями в этом случае являются вопросы дифференцирования и интегрирования сложных функций и решения системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.
y r2(x)
|
r1(x) |
|
x |
|
|
||
|
|
||
|
|||
a |
b |
Рис. 3.1. Плоская область с криволинейными продольными краями
3.3. Пример расчета.
На тонкую пластинку, жестко защемленную с двух противоположных сторон, в плоскости пластинки действуют равномерно распределенные, нормальные к двум другим граням пластинки нагрузки р1 и р2, (рис. 3.2). Коэффициент Пуассона ν
= 0.15.
Требуется: Определить перемещения и нормальные усилия в пластинке методом Ритца−Тимошенко.
Решение. Для удобства перейдем к безразмерным координатам, положив:
ξ = |
x |
; |
η = |
y |
; |
λ = |
a |
. |
(3.3.1) |
|
a |
|
|
b |
|
|
b |
|
При этом производные по аргументам х, у переходят в производные по аргументам ξ, η в соответствии с формулами:
|
|
|
|
|
|
|
|
∂k .. |
= |
|
1 ∂k .. |
; |
|
∂k .. |
= |
1 ∂k .. |
. |
|
|
(3.3.2) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂xk |
|
ak ∂ξ k |
|
∂y k |
bk |
∂ηk |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
соответствии |
с |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
условиями |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
закрепления |
|
граней |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
пластинки |
на |
гранях |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АВ |
|
|
|
и |
|
|
CD |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перемещения |
должны |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
равняться нулю: |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(0,η)= u(1,η)= 0 ; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
v(0,η)= v(1,η)= 0 . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На |
гранях |
BC, |
AD |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
заданы |
|
|
|
только |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Рис. 3.2. Плоская задача теории упругости. |
|
|
|
|
|
|
статические |
||||||||||||||||||||||||
|
граничные |
|
условия, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Изгиб пластинки в своей плоскости |
|
однако, |
|
перемещения |
|||||||||||||||||||||||
должны обращаться в ноль. |
|
|
|
|
|
на |
этих |
гранях |
не |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Решение задачи будем искать в виде двойных рядов: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p0 a |
∞ |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
u(ξ,η)= |
|
∑∑ Amnux m (ξ) u y n (η) , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m=1n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p0 a |
∞ |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
v(ξ,η)= |
|
∑∑Bmn vx m (ξ) vy n (η), |
|
|
|
(3.3.3) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m=1n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где C = |
|
Eh |
− жесткость пластинки на растяжение; h – толщина |
||||||||||||||||||||||||||||
|
−ν 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
пластинки; р0 |
− произвольное значение интенсивности нагрузки. |
Для определения коэффициентов Аmn, Вmn, в соответствии с алгоритмом метода Ритца−Тимошенко приходим с системе алгебраических уравнений (3.1.7)
|
∑∞ (aklAmn Amn + bklAmn Bmn )= dklA , |
|
|
|
|
m=1 |
, |
k, l = 1,2,3… |
(3.3.4) |
||
|
∑∞ (aklBmn Amn + bklBmn Bmn )= dklB , |
||||
|
|
|
|
|
|
m=1 |
|
|
|
|
|
Коэффициенты системы aklA mn ,bklAmn , aklBmn ,bklBmn , dklA , dklB |
в |
||||
соответствии с формулами (3.1.8) |
с заменой индекса |
m |
при |
функциях u, v на mn и индекса n на kl вычисляются по формулам:
a A mn = c |
(u1 |
|
u |
1 ) c |
(u 0 |
u 0 )+ |
|
1 −ν |
λ2 c |
(u 0 |
u 0 ) c |
(u1 |
u1 ); |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
kl |
ξ |
|
m |
|
|
k |
η |
n |
l |
|
2 |
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
m |
k |
η |
n |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
b A mn = λ |
|
ν c |
(v0 |
u1 ) c |
(v1 |
u 0 ) |
+ |
|
1 −ν |
c |
(v1 |
u 0 ) c |
(v0 |
u1 ) |
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
kl |
|
|
|
|
ξ |
m |
|
k |
η |
n |
|
l |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
ξ |
m |
k |
η |
n |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a B mn = λ |
ν |
c |
(u1 |
v0 ) c |
(u 0 |
v1 ) |
+ |
1 −ν |
c |
(u 0 |
v1 ) c |
(u1 |
v0 ) |
; |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
kl |
|
|
|
|
ξ |
m |
|
k |
η |
n |
|
l |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
ξ |
m |
k |
η |
n |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a B mn = λ2 |
|
c |
|
(v0 v |
0 ) c |
(v1 |
v1 )+ |
1 −ν |
c |
|
(v1 |
v1 ) c |
(v0 |
v0 ). (3.3.5) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
kl |
|
|
ξ |
m |
k |
η |
n |
l |
|
|
|
2 |
|
|
ξ |
|
|
m |
k |
η |
n |
l |
|
|
|
||||
|
Здесь введены обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
c |
ξ |
(ϕ p ψ q )= |
1 ϕ(p)(ξ) ψ (q) |
(ξ)dξ ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
k |
∫ |
x m |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0