b

где у(х) - прогиб балки - вертикальное перемещение оси балки - y( x ) = v(x, y)y=−0 .

Тогда

Формула (5.1.4) представляет потенциальную энергию изгибных деформаций стержня переменной жесткости

(главные оси всех поперечных сечений стержня лежат в двух общих плоскостях). Она применима и для стержня постоянной жесткости. В этом случае жесткость балки ЕJz = const выносят за знак интеграла. Для балки постоянной жесткости формула (5.1.4) нами уже использовалась в ряде примеров.

Работа внешних сил (распределенных нагрузок, поперечных сосредоточенных сил, сосредоточенных изгибающих моментов), действующих в главной плоскости стержня, определяется по формуле

поворота в точке приложения сосредоточенного изгибающего момента Мk.

В формуле (5.1.5) предусмотрено наличие нескольких сосредоточенных сил и сосредоточенных моментов. В общем случае распределенных нагрузок также может быть несколько, каждая из которых действует на своем участке. Это может быть учтено при интегрировании.

Запишем подынтегральную функцию полной энергии деформаций балки

и, следовательно, условие Эйлера экстремума функционала полной энергии деформаций балки, согласно формуле (1.2.7), имеет вид:

Fy + d 2 F2y′′ = 0 ; dx

(5.1.6)

После подстановки Fy и Fy′′ в формулу (5.1.6) получим

дифференциальное уравнение изгиба балки переменной жесткости

б) Балка на упругом основании.

Для балки на упругом Винклеровском основании потенциальная энергия деформаций системы, кроме потенциальной энергии деформаций балки, определяемой формулой (5.1.4), будет включать потенциальную энергию деформаций упругого основания, или работу сил отпора основания р(х) = к(х) у(х) на перемещениях, равных пе-

ремещениям оси балки у(х). Потенциальная энергия упругого основания определяется формулой

где k(х) - коэффициент постели упругого основания, который в общем случае может быть переменным или постоянным по длине балки. Потенциальная энергия балки на упругом основании получается при суммировании формул (5.1.4) и (5.1.8). Работа внешних сил, как и в случае балки на опорах, определяется формулой (5.1.5).

в) Балка на упругих опорах.

Кроме упругого основания, балка может опираться на упругие опоры или в некоторых сечениях может быть упруго защемлена. Потенциальная энергия деформаций упругих опор

где cуi - коэффициент упругости i-ой опоры (Н/м); сϕi -

упругом защемлении.

Потенциальная энергия деформаций упругих опор и упругих защемлений (5.1.9) вместе с потенциальной энергией деформации балки (5.1.4) составляет потенциальную энергию деформаций балки на упругих опорах.

г) Устойчивость стержня.

Для задачи устойчивости стержня (продольный изгиб) полная энергия деформаций стержня записывается для изгибной формы равновесия стержня после потери устойчивости. Следовательно, потенциальная энергия деформаций определяется изгибными деформациями стержня и вычисляется по формуле (5.1.4). Работа внешней продольной сжимающей силы Рс совершается этой силой на перемещении, определяемом сближением концов стержня при его изгибе. Работой продольной силы на перемещениях, вызванных продольными деформациями сжатия балки, пренебрегаем. Перемещения, вызванные продольными деформациями сжатия, оказываются обычно много меньше продольных перемещений, вызванных криволинейной формой оси стержня при изгибе.

Определим сближение концов стержня при изгибе

A l u0

dx′ du

Рис. 5.1. Потеря устойчивости стержня

Участок стержня длиной dx поворачивается при изгибе стержня на угол ϕ (рис. 5.1, узел А). При этом его проекция на неискривленную ось стержня будет dx′ = dx cosϕ.

Следовательно, его конец участка стержня перемещается вдоль оси стержня на величину

Интегрируя полученное выражение по длине стержня, получаем величину сближения его концов

и, следовательно, работа продольной силы определится по формуле

Суммируя вышерассмотренные случаи деформирования стержня, получим формулу потенциальной энергии деформации стержня переменного сечения на упругом основании и упругих опорах

Формулы (5.1.11, 5.1.12) определяют потенциальную энергию деформаций и работу внешних сил, а следовательно, и полную энергию деформаций произвольного стержня (стержневой системы) для задач статики и устойчивости. Все

Решая систему алгебраических уравнений (5.2.5), определяем коэффициенты Аm. Прогибы определяются по формуле (5.2.4), в которой учитывается количество членов ряда, необходимое для расчетов с нужной точностью. Для определения внутренних усилий используются известные формулы сопротивления материалов:

(5.2.7)

В общем случае мы получаем бесконечную систему алгебраических уравнений. Обычно задачу решают с конечным числом членов ряда, получая приближенное решение.

Точность расчетов при дифференцировании решения ухудшается, поэтому для достижения необходимой точности при вычислении поперечных сил Qy требуется удерживать большее число членов ряда, чем для вычисления изгибающих моментов Му, а для вычисления изгибающих моментов удерживается большее число членов ряда, чем для вычисления прогибов.

Рассмотрим несколько примеров по расчету стержней методом Ритца−Тимошенко.

Пример 5.1. Определить прогиб в середине пролета шарнирно опертой балки переменного сечения, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой q = q0. Момент инерции поперечного сечения вдоль оси балки изменяется по закону

;

B12 = B21 = B23 = B32 = 0 ;

Так как коэффициенты Bnm с нечетной суммой индексов равны нулю, то система уравнений распадается на две независимые системы, для четных и нечетных номеров уравнений. А так как Сn = 0 при n = 2,4,6,..., т.е. правая часть равна нулю во всех четных уравнениях системы, то коэффициенты An = 0 при n = 2,4,6,... Впрочем, это следует и из симметрии системы (балки и нагрузки).