b

Функцию формы прогиба в поперечном направлении пластинки Y(η) принимаем в виде статической балочной функции по формуле (6.6.2).

Интегрируя функциональное уравнение (6.4.3), получаем дифференциальное уравнение для функции формы прогиба в продольном направлении пластинки

соответствующих коэффициентов в методе Рица−Тимошенко, так в обоих вариантах принята одинаковая функция прогибов в поперечном направлении пластинки.

Составляем характеристическое уравнение дифференциального уравнения (6.6.8) и определяем его корни

Таким образом, производная вектор-функции определяется умножением матрицы [B] на исходную вектор-

где Re , Im - действительная и мнимая части комплексного числа. Выполняя необходимые вычисления, получим:

α2 =α2 − β 2 ; β2 = 2αβ ; α3 =α3 − 3αβ 2 ; β3 = 3α2 β − β 3 .

Замечая, что при ξ = 0 - Φ (0)={1, 0, 0, 0 } (здесь * -

операция транспонирования вектора или матрицы), получим, удовлетворяя условиям опирания пластинки на поперечных краях

Полученную систему двух уравнений целесообразно решать численно, предварительно вычислив значения функций Φi (1) и

их производных. Например, при λ = 1

Φ1 (1)= chα sin β = ch (3,142) sin (0,05357)=11,6 0.05354 = 0,6211.

После вычисления коэффициентов Аi, прогибы определяются по формуле (6.6.7), а внутренние усилия по формуле (6.6.6) при

А = 1.

Ниже в табл. 6.2, 6.3, 6.4, 6.5 приведены результаты расчетов пластин методом Ритца−Тимошенко и Канторовича–Власова при различных отношениях сторон - прогибов и изгибающих моментов в центре пластинки и изгибающего момента в середине

Прогибы в центре пластинки w(a / 2,b / 2)

Таблица 6.2

Изгибающий момент в центре пластинки M x (a / 2,b / 2)

Изгибающий момент в центре пластинки M y (a / 2,b / 2)

Таблица 6.4

Изгибающий момент в середине защемленной стороны пластинки

M x (a,b / 2) Таблица 6.5

~

M y

-0,126 -0,676

-0,135 -0,876

-0,122 -0,840

решения - wП.Р. . В качестве точного решения - wТ.Р. взяты данные

из кн.: С.П. Тимошенко, Войновский-Кригер С. «Пластинки и оболочки» [1]. Аналогичные результаты получаются при расчете данной пластинки методом Леви с тремя-четырьмя членами ряда.

Как видно из приведенных результатов, при расчете прогиба в центре пластинки оба метода дают удовлетворительные результаты, особенно для квадратной и вытянутой в продольном

направлении (шарнирно опертые стороны пластинки больше или равны поперечным сторонам) пластинки.

При расчете изгибающих моментов метод Ритца−Тимошенко в первом приближении дает неудовлетворительные результаты для продольных и опорных моментов. Минимальная невязка для продольных моментов составляет 7,4% и увеличивается до 25% для длинных пластинок Это связано с тем, что в первом приближении кривая прогиба аппроксимируется параболой четвертого порядка с максимальной кривизной в средней части, в то время как для длинных пластин средняя часть в продольном направлении выполаживается, т.е. кривизна в средней части снижается. Поэтому решение в первом приближении дает завышенные значения продольного изгибающего момента. Особенно плохую точность метод Ритца−Тимошенко дает для изгибающих моментов в защемлении, невязка которых достигает для удлиненных пластин 65%. Причем расчет методом Ритца−Тимошенко дает заниженные значения момента в защемлении. Более удовлетворительные результаты получаются для поперечного изгибающего момента для удлиненных пластин λ ≥ 1,5, когда влияние защемления перестает сказываться на характере изгиба пластинки в поперечном направлении.

Метод Канторовича−Власова дает удовлетворительные результаты расчета изгибающих моментов удлиненных пластин. Для квадратной пластинки невязка поперечного изгибающего момента достигает 7,9%, продольного – 3,1%, момента в защемлении - 4,%. При удлинении пластинки невязка снижается. Большая точность метода Канторовича−Власова по сравнению с методом Ритца−Тимошенко объясняется тем, что решение дифференциального уравнения функции прогиба в продольном направлении (по направлению длинной стороны пластинки) более точно отражает характер изгиба пластинки, чем статическая балочная функция.

Для укороченных пластин оба метода дают неудовлетворительные результаты в первом приближении. Для метода Ритца−Тимошенко оба направления равнозначны. Поэтому наилучшие результаты этот метод дает в первом приближении для квадратной пластинки. При этом нужно учесть, что защемление любого края пластинки приводит как бы к укорочению длины пластинки в направлении, перпендикулярно защемленной стороне (примерно на 20-30%).

При расчете пластинки методом Канторовича−Власова целесообразно выбирать решение в таком виде, чтобы в направлении короткой стороны пластинки функция прогиба задавалась, а в направлении длинной - определялась из решения дифференциального уравнения.

Из приведенных расчетов видно, что в первом приближении целесообразно проводить расчеты методом Канторовича-Власова. Метод Ритца−Тимошенко в первом приближении можно использовать лишь для приближенной оценки напряженно- деформиро-ванного состояния квадратных и близких к квадратным пластин.

С исследованиями сходимости результатов расчета методом Ритца−Тимошенко при расчете пластин с несколькими членами ряда можно ознакомиться, например, в пособии [28], при расчете балок в пособии [29]. Методы построения динамических балочных функций (функций формы колебаний балки) и методы вычисления

квадратур (интегралов от произведения функций и их производных) рассматриваются в работе [30].

Библиографический список

1.Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. – М.:

Наука, 1975. – 576 с.

2.Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. − М.: Наука, 1966. − 636 с.

3.Тимошенко С.П., Колебания в инженерном деле. – М.: Физматиздат, 1959. – 440 с.

4.Лурье А.И. Теория упругости. – М.: Наука, 1970. – 940 с.

5.Лейбензон Л.С. Собрание трудов. Т.1. «Теория упругости».

–М.: Изд-во АН СССР, 1951. – 468 с.

6.Лейбензон Л.С. Вариационные методы решения задач теории упругости. − М., Л.: ОГИЗ, 1943.

7.Безухов Н.И., Лужин О.В. Приложение теории упругости и пластичности к решению инженерных задач. – М.: Высшая школа, 1974. – 200 с.

8.Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. – М.: Изд-во МГУ, 1981. – 344 с.

9.Розин Л.А. Задачи теории упругости и численные методы их решения. – СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1998. − 532 с.

10.Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. – М.:

Наука, 1978. – 288 с.

11.Пратусевич Я.А. Вариационные методы в строительной механике. – М.: ОГИЗ, 1948. – 400 с.

12.Розин Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1978. – 244 с.

13.Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. – М.: Мир, 1987. – 542 с.

14.Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. – М.: Стройиздат, 1977. – 160 с.

15.Варвак П.М., Бузун И.М. и др. Метод конечных элементов.

–Киев: «Вища школа», 1981. – 176 с.

16.Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. – М.:

«Мир», 1975. − 542 с.

17.Хечумов Р.А., Кепплер Х., Прокофьев В.И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. − М.:

Изд-во АСВ, 1994. – 352 с.

18.Верюжский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики. – Киев: «Вища школа», 1978. – 184 с.

19.Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных

элементов в прикладных науках. − М.: «Мир», 1984. – 494 с.

20.Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. − М.: Наука, 1965. – 424 с.

21.Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. – М.: Физматиздат, 1961. – 288 с.

22.Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. IV. Ч. 1 − М.: Физматиздат, 1974. – 336 с.

23.Карташев А.П., Рожденственский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. – М.: Физматиздат, 1976. – 256 с.

24.Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. –М.: «Мир», 1985. –636 с.

25.Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М., Л.: ГИТТЛ, 1952. –696 с.

26.Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.:

Наука, 1977. – 456 с.

27.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974. – 296 с.

28.Иванов В.Н. Расчет пластинок вариационным методом

Ритца−Тимошенко. – М.: Изд-во РУДН, 1992. − 36 с.

29. Иванов В.Н. Расчет балок вариационным методом Ритца−Тимошенко. Методические указания к выполнению курсовой работы по курсу «Численные методы расчета конструкций. – М.: Изд-во РУДН, 1997. −

50 с.

30.Иванов В.Н. Динамические функции и вычисление их квадратур//Строительная механика и расчет сооружений.

Вып.9. – М.: Изд-во АСВ, 2000. – С. 14-24.

Приложения

1. Математические формулы

Тригонометрические функции и интегралы

sin(α ± β)= sinα cos β ± cosα sin β ; cos(α ± β )= cosα cos β m sinα sin β ;