Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

b

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

1.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

VI. РАСЧЕТ ПЛАСТИНОК НА ИЗГИБ ВАРИАЦИОННЫМИ МЕТОДАМИ

При расчете пластинок на изгиб вводятся гипотезы Кирхгофа о линейном распределении напряжений по толщине пластин и неискривляемой нормали, которая остается нормальной к деформированной срединной поверхности пластинки. Перемещения в срединной плоскости пластинки считаются бесконечно малыми и ими в линейной теории пренебрегают. Эти гипотезы позволяют интегрированием по толщине пластине перейти от напряжений к внутренним обобщенным усилиям - изгибающим моментам Мх и My, крутящему моменту Мху и поперечным силам Qy и Qy, (рис. 6.1), а от относительных деформаций к относительным изгибным кривизнам χх и χу, кривизне кручения χху.

				dx
a					h/2	х
		0			h/2	х
dy	m	0			h/2
dy	m
y	n	z		w
	m′			w
	m′
	n′			ϕ = ∂ w/∂ x
б	n′		Qy
б			Qy	My
				My
Mx	q(x,y)			M x
Mx				M x
				Mx
y	z			Qx
y

	Qy		Mxy
			Mxy
Рис. 6.1. Изгиб пластинки
	а - схемы деформирования
	б - внутренние усилия

Гипотезы Кирхгофа позволили описать напряженно-де- формированное состояние изгиба пластинки формой ее деформированной срединой поверхности, которая описывается единственной функцией - прогибом срединной поверхности w(x,y). В пластинках обычно принимают, что ось z, перпендикулярная срединной поверхности пластинки, направлена вниз. Положительные изгибающие моменты Мх, My растягивают нижние волокна пластинки, Положительные поперечные силы в сечениях с нормалью, совпадающей с направлением осей х, у, совпадают с направлением оси z.

6.1. Основные уравнения изгиба пластинки.

1) Уравнение равновесия в усилиях

∂2M

+ 2

∂2M xy

∂2M y

+ q = 0 .

(6.1.1)

∂x2

∂x∂y

∂y2

2) Уравнения деформаций

χx = −

∂2 w

;

χ y = −

∂2 w

;

χxy = −

∂2 w

(6.1.2)

∂x2

∂y 2

∂x∂y

3) Связь внутренних усилий с деформациями (закон Гука)

= D (χ

+ν χ

∂

+ν

∂

;

)= −D

∂x

∂y

= D (χ

+ν χ

+ν

;

)= −D

∂

∂y

∂x

M xy = D(1 −ν )χxy = −D(1 −ν )∂∂x2∂wy ;

(6.1.3)

Qx = ∂M x + ∂M xy

∂x ∂y

Qy = ∂M y + ∂M xy

∂y ∂x


где	D =		Eh3
где	D =	12(1		−ν 2 )
		12(1		−ν 2 )

= −D ∂ 2 w ∂x

= −D ∂ 2 w ∂y

	∂	∂2 w			∂2 w
= −D			2	+		2	;

		∂x			∂y
	∂x
	∂	∂2 w			∂2 w
= −D			2	+		2	,

		∂x			∂y
	∂y

- изгибная жесткость пластинки.

На свободном краю определяют обобщенные поперечные силы Qx и Qy , определяемые комбинацией поперечной силы и производной от крутящего момента:

∂M

∂

Q = Q

= −D

w +(2 +

ν )∂

;

∂y

∂x

∂y

∂x

∂M

∂

+(2

−ν)∂

= Q

= −D

(6.1.4)

∂x

∂y

∂x

Обобщенные

поперечные

силы

используются

при

удовлетворении

граничных условий на свободном краю.

4) Уравнения равновесия в перемещениях (уравнение Софи

Жермен − Лагранжа)

q(x, y)

4 w(x, y)= 2 2 w(x, y)=

(6.1.5)

∂2 ..

∂

4 ..

∂4 ..

∂4

где

.. =

∂x

∂y

∂x

∂y

бигармонический оператор Лапласа в плоскости.

Углы поворота и внутренние усилия в косых сечениях

(рис. 6.2).

n- нормаль, τ - касательная

вкосом сечении

l = cos(x n );				m = cos(y n );
dx = m ds;			dy = l ds;
∂..	= l	∂..	+ m	∂..	;
∂n		∂x		∂y

∂..	= l	∂..	−m	∂..	; (6.1.6,a)
∂τ		∂y		∂x

∂..	= l	∂..	−m	∂..	;
∂x		∂n		∂τ

Мух

			dx			Мх	х
			dx

		Му
		Му					Мτ
							Мτ
Мху				α			α
							α
					Мп		n
			dy		Мп


	τ				ds
	τ			у
				у

∂..	= l	∂..	+ m	∂..	.	(6.1.6,б)	Рис. 6.2. Внутренние усилия в косом
							сечении пластинки
∂y		∂τ
				∂n

Углы поворота

∂w

∂..

∂w

∂..

+ m

−m

∂n

= l

∂x

∂y

w ;

∂τ

= l

∂y

∂x

w . (6.1.7)

Внутренние усилия

M n = M x l 2 + M y m2 + 2M xy l m =

		∂..		∂..	2
= D		∂..	+ m	∂..

	l	∂x		∂y		w +ν
		∂x		∂y

∂..

∂.. 2

∂2 w

− l

= −D

+ν

;

∂y

∂x

∂n

∂τ

Mτ = M x m2 + M y

l2 − 2M xy l m =

∂..

∂2 w

= D

− l

w +ν

+ m

2 +

∂y

∂x

∂y

= −D

∂τ

∂n

;

M nτ = (M y − M x ) l m + 2M xy (l2 − m2 )=

∂2 ..

2 ∂2 ..

= −D(1 −ν ) l m

−

+ (l

− m

)

w =

∂y

∂x

∂x∂y

∂..

∂

+ m

− m

. (6.1.8)

= −D (1 −ν ) l

∂x

∂y

∂x

w = −D (1 −ν )

∂n∂τ

∂..

Q = Q

l + Q

m = −D l

+ m

2 w = −D ∂n w ;

∂x

∂y

∂n

∂..

Q = −Q

m + Q

l = −D− m

+ l

2 w = −D ∂n w ;

∂x

∂y

∂τ

Q = Q l + Q m = Q +

∂M nτ = −D

∂

∂2 w

+ (2 −ν )∂2 w

;

∂n

∂τ

∂n2

∂τ 2

Q = −Q m + Q l = Q +

∂M nτ

= −D

∂

∂2 w

+ (2 −ν )

∂2 w

. (6.1.9)

∂τ

∂n2

∂n

∂τ 2

Здесь

∂..

- производные по

направлению

нормали

∂n

∂τ

касательной в

косом

сечении; Мn, Мτ

изгибающие моменты,

Qn, Qτ

поперечные

силы,

, Q

обобщенные

поперечные

соответственно;

силы

сечениях

нормалями

M nτ

= Mτ n - крутящие моменты в этих сечениях;

∂2

∂2 ..

n .. =

оператор

Лапласа

∂n2

∂τ

∂x

∂y2

ортогональной прямоугольной системе координат n, τ. 6) Граничные условия

Граничные условия опирания пластинок можно разделить на простые и смешанные.

К простым граничным условиям опирания пластинки относятся: шарнирное опирание, жесткое защемление и свободный край. Простые граничные условия всегда можно разделить на кинематические и статические граничные условия. К смешанным граничным условиям относятся опирание на упругие опоры и упругое защемление в сечениях пластинки или в отдельных точках.

а − шарнирное опирание.

B сечении х = хi = const - w(xi ,y)= 0 , M x (xi , y)= 0 .

Очевидно, первое граничное условие является кинематическим, второе статическим. Записывая условие равенства нулю изгибающего момента через функцию прогибов w(x,y), получим

∂2 w(x, y)

+ν

∂2 w(x, y)

= 0 .

∂x2

∂y2

x=xi

w(xi ,y)= 0 ,

Однако

в силу

первого

граничного

условия

производные

по

равны

нулю

∂k w(xi , y)

≡ 0 .

Поэтому,

∂yk

окончательно граничные условия шарнирно опертого

края в

сечении х = хi

запишутся в виде

w(xi , y)=

∂

2 w(xi , y)

= 0 .

(6.1.10,а)

∂x2

Аналогично, для шарнирно опертого края

= уi = const

граничные условия получим в виде

w(x, yi )=

∂2 w(x, yi )

= 0 .

(6.1.10,б)

∂y 2

Для шарнирно опертого прямолинейного края не

параллельного осям

координат

y(x)

= k x + c ,

вводя

местные

ортогональные координаты		t, n (рис. 6.2),			граничные условия
получим в виде	w(x, y(x))= 0	и	M n (x, y(x))= M n (t,n)= 0 . Второе
условия с учетом формул (6.1.9)			для функции перемещений имеет
вид	∂2 w(x, y)		∂2 w(x, y)
	∂2 w(x, y)	+ν	∂2 w(x, y)		= 0 .
	∂n2	+ν	∂t 2		= 0 .
	∂n2		∂t 2	y=y(x)
				y=y(x)
Учитывая	первое условия,		получим		∂2 w(x, y(x))	= 0 , и,
Учитывая	первое условия,		получим		∂t 2	= 0 , и,
					∂t 2

окончательно, для шарнирно опертого прямолинейного края пластинки, граничные условия запишутся в виде:

w(x, y(x))=	∂2 w(x, y(x))	= 0 .	(6.1.11)
	∂n2

Для края пластинки в сечении х = хi нормаль совпадает (или противоположна) с направлением оси х, производная по нормали является производной по координате х, и получаем формулу (6.1.10,а). Для границы, перпендикулярной оси у, нормаль совпадает с осью у и производная по нормали в формуле (6.1.11) заменяется на производную по координате у (формула (6.1.10,б).

б − жесткое защемление.

Для жестко защемленного края у = у(х) прогибы и углы поворота по нормали к границе равны нулю

w(x, y(x))=	∂w(x, y(x))	= 0 .	(6.1.12)
	∂n

При жестком защемлении оба граничных условия являются кинематическими. Если граница жестко защемленного края перпендикулярна одной из осей прямоугольной системы координат, то производная по нормали заменяется на производную

по координате х, или у для сечений х = хi, или у = уi соответственно.

в − свободный край.

На свободном краю должны выполняться три граничных условия: равенство нулю изгибающего нормального момента, крутящего момента и поперечной силы. Однако дифференциальное уравнение 4-го порядка (6.5), описывающего деформированное состояние пластинки, позволяет удовлетворить только два граничных условия на краю. Это является следствием гипотез Кирхгофа, принятых в теории изгиба пластин. Поэтому Кирхгофом было предложено для свободного края приравнивать нулю комбинацию поперечных сил и производной крутящего момента – обобщенную поперечную силу. В результате, на свободном криволинейном крае у = у( х) приходим к следующим

граничным условиям -	M		n	(x, y(x))= 0 ,		Q (x, y(x))= 0 ,	или для
функции прогиба:						n

∂2 w(x, y(x))	+ν	∂2 w(x, y(x))			= 0 ;
∂n2				∂τ 2

∂3w(x, y(x))	+(2 −ν )∂3w(x, y(x)) = 0 .						(6.1.13)
∂n3				∂n∂τ 2
Оба граничных условия для свободного края относятся к
статическим граничным условиям. Для свободного края							х = хi
перпендикулярного оси х				в формуле (6.1.13) производные по
нормали n заменяются			производными			по координате х,		а
производные по касательной - производными по координате								у.

Для свободного края у = уi, перпендикулярного оси у в формуле (6.1.13) ∂n заменяется на ∂y , а ∂τ на ∂x .

г − упругое опирание.

При упругом опирании обобщенная поперечная сила (опорная реакция) пропорциональна прогибу, а изгибающий момент равен нулю (рис. 6.3,а). Для упруго опертого криволинейного края у = у(х) граничные условия имеют вид:

M	n	(x, y(x))= 0 ;	Q (x,y(x))= −c	w	w(x,y(x)),	(6.1.14)
	n		n	w

где сw - погонная жесткость упругой опоры.

Здесь первое граничное условие является статическим, второе смешанным. Запишем граничные условия через функцию прогиба:

∂2 w(x, y(x))

+ν

∂2 w(x, y(x))

= 0

;

∂n2

∂τ 2

∂3w(x,y(x))

(2 −ν )

∂3w(x,y(x))

= c w(x,y(x)). (6.1.15)

∂n

∂n∂τ

a		б
Qn
n	M n	M on = M n
w(x,y(x))
Ron = −Qn		ϕn =	∂w
			∂n
z		z

Рис. 6.3. а - упругая опора; б - упругое защемление

Для перехода к сечениям, перпендикулярным осям х, у, запишем второе условие, используя формулу нормальной производной (6.1.6)

∂

∂2 w(x,y(x))

+ (2 −ν )

∂2 w(x,y(x))

w(x,y(x)).

+ m

∂x

∂n

∂τ

∂y

(6.1.16)

Учитывая, что вторые производные по n и τ переходят в сечениях, перпендикулярных оси х, во вторые производные по х и у соответственно, а в сечениях, перпендикулярных оси у, во вторые производные по у и х соответственно, получим для этих сечений граничные условия в виде:

сечение х = хi

∂2 w(x

, y)

+ν

∂2 w(x

, y)

= 0 ;

∂x2

∂y2

∂3w(x ,y)

+ (2 −ν )

∂

3w(x ,y)

= ±cw w(xi ,y);

(6.1.17а)

∂x3

∂x∂y2

сечение у = уi :

)

∂2 w(x, y

)

∂2 w(x, y

+ν

= 0 ;

∂y2

∂x2

∂3w(x,yi )

+ (2 −ν )∂3w(x,yi )

= ±cw w(x,yi ).

(6.1.17,б)

∂y3

∂y∂x2

В формулах (6.1.17,а) и (6.1.17,б) знак плюс берется, если внешняя нормаль к опорному краю совпадает с направлением оси х (l = 1) или у (m = 1), а знак минус, если направление нормали противоположно направлению осей (l = -1) или (m = -1) соответственно.

д − упругое защемление.

При упругом защемлении криволинейного края прогиб равен нулю, а нормальный момент в сечении пропорционален углу поворота опорного сечения (рис. 6.3,б):

w(x, y(x))= 0 ;

M	n	(x, y(x))= c	ϕ	n	(x, y(x))= c	∂w(x, y(x))	,	(6.1.18)

		ϕ			ϕ	∂n

где сϕ - погонная жесткость упругого защемления; Первое граничное условие является кинематическим, второе

смешанным.

Для функции перемещений второе условие с учетом первого граничного условия (производные по τ равны нулю) запишется в виде

∂2 w(x, y(x))	= −	cϕ	∂w(x, y(x))	.	(6.1.19)
∂n2		D	∂n

С учетом замечаний, сделанных при рассмотрении упругого опирания для упруго защемленных опорных сечений перпендикулярных осям х, у, второе граничное условие имеет вид:

сечение	х = хi
	∂2 w(xi , y)		= m	cϕ ∂w(xi , y)			;	(6.1.20,а)
	∂x2		= m	D	∂x		;	(6.1.20,а)
сечение	у = уi	)				)
	∂2 w(x, y	)		cϕ	∂w(x, y	)
	i		= m		i		.	(6.1.20,б)
	i		= m	D	i		.	(6.1.20,б)
	∂y2			D	∂y

В формулах (6.1.20,а), (6.1.20,б) верхний знак – минус соответствует совпадению направления внешней нормали к опорному краю с направлением осей х (l = 1) или у (m = 1)у, а при знаке плюс направление нормали противоположно

направлению этих осей (l = −1)	или (m = −1).
Заметим, что при предельных значениях коэффициента
погонной жесткости сw = 0 и	сw = ∞ в формуле (6.16) (разделив

во втором случае правую и левую части равенства на сw) получим условия свободного и шарнирно опертого края соответственно. При предельных значениях коэффициента упругого защемления сϕ = 0 и сϕ = ∞ - условия шарнирно опертого и защемленного краев соответственно.

7) Потенциальная и полная энергия деформаций.

Потенциальная энергия деформаций определяется работой изгибающих Мх и Мх и крутящего Мху моментов на соответствующих им перемещениях χх, χу, χху (энергией деформаций сдвига от поперечных сил Qx и Qу, как и в случае стержней пренебрегаем).

U= 1 ∫∫(M x χx + M y χy + 2M xy χy )dA =

2 A

∂

∫∫

∂

2 +ν

∂

+ 2(1 −ν )

∂x∂y

dA =

∂

∫∫ ( 2 w)2

+ 2(1 −ν )

−

dA . (6.1.21)

∂x∂y

∂x2

Проинтегрируем дважды по частям интеграл от квадрата смешанной производной, учитывая при этом, что интегрирование производится не по объему, а по площади, интеграл по поверхности тела в формуле (6.2.2) заменяется на интеграл по контуру пластинки, формула интегрирования по частям принимает вид

	∂P		∂Q				∂G		∂G
		+						+Q
∫∫G	∂x		∂y	dA = ∫G(P l +Q m)ds − ∫∫ P			∂x		∂y	dA . (6.1.22)
A					S	A

При этом получим

∂2 w

∂w

∂3w

∫∫

∂x∂y

∂x∂y dA = ∫∂x∂y

∂x

md s − ∫∫

∂x

∂ ∂2

dA =

= ∫

∂2 w

m −

∂2 w

∂w

d s + ∫∫

∂2 w

dA .

∂x∂y

∂y

∂x

∂

Тогда

∂2 w 2

∂2 w ∂2 w

∂2 w

∂w

∫∫

−

m −

d s .

(6.1.23)

∂x

dA = ∫

∂x∂y

∂y

∂x

∂x∂y

Если контур пластинки защемлен, то первые производные функции прогиба на контуре произвольного очертания по любому

направлению равны нулю, т.е. ∂∂wx = 0 , и контурный интеграл в

формуле (6.1.21) равен нулю, следовательно, равен нулю и интеграл по площади. Аналогичную картину получим, если сторона пластинки параллельна оси х. Тогда т = 0, l = 1 и

∂2 w	= 0	. Если сторона пластинки параллельна оси у, то	∂w	= 0 .
∂y2			∂x

Следовательно, если контур пластинки состоит из криволинейных или прямолинейных защемленных участков, включая шарнирно опертые участки, параллельные осям прямоугольной системы координат, то интеграл от слагаемых, заключенных в квадратные скобки в формуле (6.1.23), равен нулю, и потенциальная энергия деформаций определяется по упрощенной формуле

U = D	∫∫( 2 w)2 dA .				(6.1.24)
2	A
Полная энергия деформаций
Э = U – Т.					(6.1.25)
Работа внешних сил
T = ∫∫q(x,y) w(x,y)dA + ∑Pi w(xPi ,yPi )+
A
+ ∫ p(x, y(x)) w(x, y(x))+ mx	(x, y(x))∂w(x, y(x))		+
S		∂x
+ m y (x, y(x))		∂w(x, y(x))		ds ,	(6.1.26)
		∂y

где Рi – сосредоточенные силы, приложенные в точках с
координатами	xP	i	, yP ;	р(х,у)		-	mx (x, y(x)),	my (x,y(x))
			i					mx (x,y(x))
распределенная вдоль линии				у(х) поперечная нагрузка;
и my (x,y(x))	- проекции на оси				х	и	у распределенного вдоль
линии у(х) момента.						mx и mу можно заменить на
Заметим, что составляющие момента
нормальную	mn и касательную				mτ	(к линии у(х)) составляющие
момента mn = mx l + my m и mτ					= −mx m + my l , при этом

m		(x, y(x))∂w + m		(x, y(x))∂w ds =
∫	n	∂n	τ
S		∂n			∂τ
		= ∫ mx (x, y(x))∂w			+ m y	(x, y(x))∂w	ds .	(6.1.27)
		S		∂x		∂y

6.2. Принцип Лагранжа при изгибе пластинки.

Формулировка принципа Лагранжа не изменяется, т.е. остается такой же, как и в общем случае теории упругости (см. раздел II).

Докажем его, варьируя

функционал полной энергии деформаций

− δ Э =δ U + δ Т = 0.

Варьируя функционал потенциальной энергии, имеем

∂

δU =

∫∫δ ( 2 w)2 + 2(1

−ν )

−

dA =

∂x∂y

∂x2

∂x

∂

δ w

= D

∫∫

−

∂x∂y

w δ w + (1 −ν )

−

∂2 w

∂2δ w

−

∂2 w

∂2δ w

∂x2

∂y 2

∂x2

dA .

(6.2.1)

Преобразуем формулу (6.2.1), применив дважды интегрирование по частям. С учетом формулы (6.1.21) получим:

∫∫G

∂2 P

dA = ∫G

∂P

l ds −

∫∫

∂G

∂P

dA =

∂x

∂P

∂G

∂

−

ldL +

∫∫

P dA ;

= ∫ G

∂x

∂

∂P

∂G

∂

∫∫G

−

mds + ∫∫

P dA ;

(6.2.2)

∂y

dA = ∫ G

∂y

∫∫G

∂2 P

PdA = ∫∫G

∂x

2 +

∂y

dA =

= +∫∫P

2		∂P		∂P			∂G
2		∂P	l +	∂P			∂G	l
	G dA + ∫ G	∂x	l +	∂y	m	−	∂x	l
	S	∂x		∂y			∂x

		= ∫∫P 2G dA + ∫ G ∂P
		A				L	∂n

	∂G
+
	∂y	m P ds =

	∂G
−
	∂n	P dL .

Применяя эти формулы к слагаемым вариации потенциальной энергии деформаций, получим:

∫∫

w δ

∂w

−

∂2 w

w δ wdA = ∫∫

w δ wdA + ∫

∂n

δw ds ;

∂2 w

∂2δw

∂2 w

∂δ w

∂3 w

∫∫

∂x∂y

∂x∂y dA =

∫

∂x∂y

∂x

md s − ∫∫

∂x

∂ ∂

dA =

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.04.2019617.47 Кб1attachment.doc
#
12.05.20153.12 Mб13attachment.pdf
#
15.04.2019250.88 Кб1attachment1.doc
#
12.05.20152.01 Mб69AutoCAD.pdf
#
17.03.20161.97 Mб31A_S_Makarenko_Pedagogicheskaya_poema МАКАРЕНКО ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ПОЭМА.pdf
#
17.03.20161.59 Mб22b.pdf
#
17.03.2016146.43 Кб6bakalavr_diploma2012.doc
#
19.11.2019667.65 Кб1BD_04_ER_UCEBNAYA_CHAST_crop_ukr.doc
#
23.11.2019716.29 Кб1BD_05_ER_SESSIYA_LAB_metodichka_ukr.doc
#
27.09.2019118.78 Кб1bestref-149249.rtf
#
17.03.20162.41 Mб2BetterPhotographyPres.pdf