b

при увеличении числа удер-живаемых членов ряда.

Лемма. Если функция f(x) ортогональна полной системе линейно независимых функций ϕm(х) в интервале [a,b], то эта функция тождественно равна нулю в этом интервале:

нулю, и, следовательно, равна нулю сумма ряда, т.е. тождественно равна нулю функция f(x).

Полнота системы функций имеет в данном случае существенное значение. Это аналогично ортогональности вектора к двум линейно независимым векторам в плоскости для вектора в трехмерном пространстве - вектор, ортогональный двум векторам в трехмерном пространстве, не обязательно равен нулю, а вектор, ортогональный трем некомпланарным векторам трехмерного пространства, равен нулю.

4.2.Решение дифференциальных уравнений методом Бубнова−Галеркина.

Пуст дано дифференциальное уравнение

где L - некоторый дифференциальный оператор; g(x) - заданная функция. Функция f(x) удовлетворяет граничным условиям, число которых соответствует порядку дифференциального оператора

Например, дифференциальное уравнение изгиба балки можно записать в виде

где y(x) - функция прогиба балки; EJz - изгибная жесткость балки (в общем случае переменная); q(x) - распределенная поперечная нагрузка.

Для дифференциального уравнения изгиба балки, порядок которого равен четырем, задается четыре граничных условия. Так, если дана однопролетная шарнирно опертая балка с длиной пролета l, то граничные условия имеют вид:

у(0) = 0, Мz(0) = 0, у(l) = 0, M(l) = 0, или в перемещениях y(0) = y'′(0) = y(l) = y'′(l) = 0.

Принимаем решение дифференциального уравнения (4.2.1) в виде ряда

где fm(х) - произвольно выбранные функции, удовлетворяющие граничным условиям (4.2.2), но не удовлетворяющие в общем случае дифференциальному уравнению (4.2.1); Am - произвольные коэффициенты. Тогда, в общем случае, ряд (4.2.4) не удовлетворяет дифференциальному уравнению

(4.2.1)

m=1

из решения которой определяются коэффициенты Аm, такие что функция F(x) ортогональна полной системе линейно независимых функций и, следовательно она тождественно равна нулю

F(x)= L[f (x)]− g(x)= L ∑∞ Am fm (x) − g(x)= 0 ,

m=1

т.е. решение дифференциального уравнения (4.2.1) в виде ряда (4.2.4) с коэффициентами, определяемыми из системы уравнений (4.2.7), удовлетворяет дифференциальному уравнению и граничным условиям и, следовательно, является решением исходной задачи.

Так как система алгебраических уравнений в общем случае является полной бесконечной системой, решение которой в общем виде возможно лишь при определенных соотношениях между коэффициентами системы, то на практике обычно ограничиваются конечным числом членов ряда, получая таким образом приближенное решение.

Более простое решение получается, если системы функций L[fm(x)] и ϕn(х) взаимно ортогональны в интервале интегрирования. Тогда метод Бубнова−Галеркина приводит к системе независимых алгебраических уравнений для каждого неизвестного коэффициента Аm и, следовательно, можно получить точное

решение задачи. На практике довольно часто в качестве функций fm(х) и ϕn(х) принимают одни и те же функции fm(x) = ϕn(x), но даже если сами функции системы ϕn(x) взаимно ортогональны, эта система может оказаться не ортогональной после воздействия оператора L на функции системы, т.е.

В то же время, применение различных систем - системы функций fm(x), удовлетворяющих граничным условиям задачи, и полной системы линейно независимых функций ϕn(x) бывает удобным, так как часто для удовлетворения граничных условий приходится применять системы довольно сложные функций.

Нагрузку - сосредоточенную силу Р представляем в виде рас-

(интервал действия нагрузки) и ввиду малости отрезка ∆ значения подынтегральных функций принимаем в виде их значений в точке приложения сосредоточенной силы

Am = BC .

mm

Окончательно получаем функцию прогибов для балки, загруженной сосредоточенной силой в середине пролета

,

где индекс в скобках обозначает номер приближения (число суммируемых членов ряда).

Точное значение прогиба в середине пролета шарнирно опертой балки, полученное методами сопротивления

Следовательно, приближения дают относительные

Таким образом, уже первое приближение (один член ряда) дает практически точное значение прогиба.

Используя дифференциальные зависимости угла поворота, изгибающего момента и поперечной силы от прогиба и проводя соответствующие операции с решением (4.2.9), можно получить их значения в любой точке балки. Необходимо учитывать при этом, что операция дифференцирования ухудшает сходимость соответствующих рядов и для получения точных значений внутренних усилий необходимо удерживать больше членов ряда, чем при вычислении прогиба.

4.3.Метод Бубнова−Галеркина при решении задач теории упругости.

Все понятия: ортогональность функций в заданной области интегрирования, линейная независимость и полнота системы функций, лемма о функции, ортогональной полной системе функций, переносятся из одномерного пространства на двухмерное и трехмерное пространства. Рассмотрим алгоритм решения дифференциальных уравнений в трехмерном и двухмерном пространствах на примере решения пространственной и плоской задач теории упругости.

а) ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА

Решение задачи теории упругости в перемещениях принимаем в виде рядов, аналогичных рядам, используемым при решении задач методом Ритца−Тимошенко:

u(x,y,z)= u0 (x,y,z)+ ∑∞ Amum (x,y,z),

Интегрируя ряды почленно и перенося интегралы от известных функций в правую часть равенства, получаем

∑∞ ∫∫∫ [Am L11um + Bm L12vm + Cm L13wm ] ϕndΩ =

m=1 Ω

Выполняя аналогичные действия с другими уравнениями равновесия в результате интегрирования, получаем систему алгебраических уравнений

∑∞ (a1nm Am + bnm1 Bm + c1nmCm )= dn1 ,

m=1

∑∞ (anm2 Am + bnm2 Bm + cnm2 Cm )= dn2 , n = 1, 2, 3,… (4.3.6)

m=1

∑∞ (anm3 Am + bnm3 Bm + cnm3 Cm )= dn3 ,

m=1

коэффициенты системы (4.3.7) получены в предположении, что используется одна система линейно независимых функций ϕn(х,у,z) для всех уравнений равновесия теории упругости в

перемещениях (2.1.10). Можно использовать для каждого из уравнений равновесия свою систему линейно независимых функций ϕкn(х,у,z) (к = 1, 2, 3). Использование двух или трех

полных систем линейно независимых функций может оказаться более удобным в зависимости от вида функций um(x,y,z), vm(x,y,z), wm(x,y,z), применяемых для удовлетворения граничных условий. В частности, если системы функций um(x,y,z), vm(x,y,z), wm(x,y,z), удовлетворяющие граничным условиям задачи, каждая из которых является полной системой линейно независимых функций, они могут использоваться и в качестве систем функций для ортогонализации системы уравнений равновесия при