Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

b

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

1.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

′′

;

′

emn = ∫Yn (ξ)dξ ;

cmn = ∫Ym

(ξ)Yn (ξ)dξ

cmn = ∫Ym (ξ)Yn (ξ)dξ ;

′

bmn = −bmn

+Ym (ξ)Yn (ξ)

0 = bnm + [Ym (ξ)Yn (ξ)

−Ym (ξ)Yn

(ξ)]0 ;

′

′′

′

′′′

;

cmn = cnm + [Ym (ξ)Yn (ξ)−Ym (ξ)Yn (ξ)]0

При удовлетворении всех граничных условий опирания балки

′

cmn = cnm .

А. Тригонометрические балочные функции

Тип нагрузки:

П – произвольная; С – симметричная; Ас - асимметричнаяю

Таблица П. 1

№

Схема балки

Ym (ξ)

Тип

нагрузки

sin mπξ

sin(2m −1)πξ

sin 2mπξ

Ас

cos(m −1)πξ − cos(m +1)πξ

cos 2(m −1)πξ − cos 2mπξ ;

1−cos 2mπξ ;

cos(2m −1)πξ − cos(2m +1)πξ

Ас

sin

π ξ

−(−1m )sin

2m +1πξ

con

−cos

2m +1

πξ

1−cos

2m −1

πξ

1 + (−1m )sin 2m −1πξ

Тригонометрические

балочные

функции

удовлетворяют

кинематическим условиям опирания балки, но могут не

удовлетворять части статических граничных условий. В этом

случае

они

используются

при

решении

задач

методом

Ритца−Тимошенко.

Б. Статические балочные функции

Статические балочные функции – функции прогиба. Статические балочные функции определяются из общего интеграла дифференциального уравнения прогиба балки

n (n −1)....3 2 1

m!n!

Y IV (ξ)=	q	,	(П.Б.1)
	EJ

общее решение которого при q = q0 = const ( EJq0 =1) определяется

формулой

Y (ξ)= G(c0 +c1ξ +c2ξ2 + c3ξ3 +ξ4 ).

(П.Б.2)

Константы интегрирования сi определяются из условий опирания балки; G – константа, назначаемая для придания функции наиболее простого вида.

При использовании статических балочных функций в первом приближении (с одним членом ряда) интеграл дифференциального уравнения изгиба балки должен учитывать характер нагрузки. При линейно-распределенной нагрузке q = q0ξ интеграл определяется формулой

Y (ξ)= G(c0 + c1ξ + c2ξ 2 + c3ξ3 +ξ5 ).

(П.Б.3)

Балочные статические функции и их производные для стандартных условий опирания балок приведены в табл. П.2 и

П.3.

При вычислении квадратур (П.1) статических балочных функций удобно пользоваться формулой интеграла от произведения бинома на степенную функцию

∫1 (1 −ξ

m+1

n−1

m+1

)

dξ =

(1 −ξ) ξ

∫

(1 −ξ)

dξ = ....

m +1

n (n −1)....3 2

m+n−1

m+n+1

(1 −ξ)ξ

+ ∫ξ

dξ

(m +1) (m + 2) ...(m + n)

= ( + ) ( + ) ( + )ξ 1 = ( + + ) . m 1 m 2 ... m n 0 m n 1 !

(П..Б.4)

В. Динамические балочные функции (функции формы колебаний балки)

Динамические балочные функции отвечают дифференциальному уравнению формы колебаний балки, получаемому при решении методом разделения переменных (метод Фурье) дифференциального уравнения колебаний балки [3] - дифференциального уравнения в частных производных. Функция

прогибов ищется в виде y(ξ)=Y (ξ) sinωt . При этом получаем дифференциальное уравнение формы колебаний балки

Y IV (ξ)−γ 4Y (ξ)= 0 .

(П.В.1)

	4		ρl 4		2			x	; l – длина балки;
Здесь γ		=		ω		;	ξ =			ρ - масса
								l
			EJ z

единицы длины балки; ω - частота собственных колебаний балки. Решением дифференциального уравнения (В.1) являются функции формы колебаний балок – динамические балочные функции. Для представления решения уравнения (В.1) обычно используются функции Крылова:

(ξ)

1 (chγ

ξ + cosγ

ξ);

(ξ)= 1

(shγ

ξ + sinγ

ξ);

(ξ)

1 (chγ

ξ −cosγ

ξ);

(ξ)

= 1 (shγ

ξ − sinγ ξ).

(П.В.2)

Здесь γm - собственные числа дифференциального уравнения

(В.1), зависящие от условия опирания балки.

Отметим некоторые свойства функций Крылова:

F0m (0)=1;

Fi m (0)= 0 ,

i = 1,2,3

(i ≠ 0);

F (k )(ξ)=γ k

−k+4 p

(ξ),

0 ≤ i − k + 4 p ≤ 3 ;

i m

(П.В.3)

(ξ)dξ =

(ξ)+ c , 0 ≤ i +1 − 4 p ≤ 3 .

∫

i,m

i+1−4 p,m

С учетом формул (В.3) решение дифференциального

уравнения (В.1) при стандартных условиях опирания

балок может быть записано в виде

Ym (ξ)= Fi m (ξ)− Cm Fj m (ξ).

(П.В.4)

Здесь i, j = 0, 1, 2, 3

подбираются так, чтобы решение

(В.4) удовлетворяло условиям опирания балки на левой опоре (ξ =

0). Учитывая свойства (В.3) при граничных условиях

Ym(k )(0)=Ym(l )(0) (k, l = 0, 1, 2, 3), получим i, j ≠ k, l.

Коэффициент Сm подбирается из граничных условий опирания на правом конце балки. При этом для одновременного удовлетворения двух граничных условий получаем функциональное уравнение, из решения которого находим значения собственных чисел γ m .

Формулы динамических балочных функций для различных условий опирания балок приведены в табл. П.4.

	Динамические балочные функции			Таблица П. 4

№	Схема балки	Граничные	Ym(γmξ)		Сm
№	Схема балки	условия	Ym(γmξ)		Сm
		условия

1	Y(0) =Y ′(0),		F2m (γ m )		=	F1m (γ m )
	Y (1) =Y ′(1)
		F2m(γmξ) -	F3m (γ m )			F2m (γ m )
	Y(0) =Y ′(0),		F2m (γm )			F0m (γ m )
2		CmF3m(γmξ)		=
	Y (1) =Y ′′(1)
			F3m (γ m )			F1m (γ m )
3	Y(0) =Y ′(0),		F0m (γm )	=		F3m (γm )
	Y ′′(1) =Y ′′′(1)
			F1m (γm )			F0m (γm )
4	Y(0 =Y ′′(0),		F1m (γ m )		=	F0m (γ m )
	Y(1)=Y ′(1)
			F3m (γ m )			F2m (γ m )
5	Y(0) = Y ′′(0),	F1m(γmξ) -	F1m (γm )		=	F3m (γm )
	Y(1) = Y ′′(1)
			F3m (γm )			F1m (γm )
		CmF3m(γmξ)
6	Y(0)=Y ′′(0),		F3m (γ m )=			F2m (γm )
	Y′′(1) =Y ′′′(1)
			F1m (γ m )			F0m (γm )
		Таблица П. 4 (продолжение)

№ Схема балки	Граничные	Ym(γmξ)		Сm
	условия

7	Y ′′(0) =Y ′′′(0),		F0m (γm )=		F3m (γm )
	Y(1) =Y ′(1)
		F0m(γmξ) -	F1m (γm )		F0m (γm )
	Y ′′(0) =Y ′′′(0),		F0m (γ m )		F2m (γ m )
8		CmF1m(γmξ)		=
	Y(1) =Y ′′(1)
			F1m (γm )		F3m (γ m )
9	Y ′′(0) =Y ′′′(0),		F2m (γm )	=	F1m (γm )
	Y′′(1) =Y ′′′(1)
			F3m (γm )		F2m (γm )

Функциональные уравнения и собственные числа динамических балочных функций

Таблица П. 5

Схемы
балок,		Функциональное уравнение
табл.П.4
1,9	F1m (γ m ) F3m (γ m )=				cos γ m = −	1
1,9				= F22m (γ m )	cos γ m = −	chγ m
				= F22m (γ m )		chγ m
2, 4,	F1m(γm) F2m(γm) =				tg(γ m )= th(γ m )
2, 4,					tg(γ m )= th(γ m )
6, 8	=F0m(γm) F3m(γm)
	=F0m(γm) F3m(γm)
	F 2	(γ	m	)=		1
3, 7	0m		m		cos γ m =
	= F1m (γ m ) F3m (γ m )
						chγ m
						chγ m

5	F1m(γm) = F3m(γm); Cm = 1				sinγ m = 0

γm

4,73004; 7,85320; 10,99561; 1413717; γm > 4 ≈ (m + 0,5) π 3,92660; 7,06858; 10,21018; 13,35177; γm > 4 ≈ (m + 0,25) π 1,87510; 4,69409; 7,85476; 10,99554;

γm > 4 ≈ (m - 0,5) π

γm = m π

Функциональное уравнение получаем приведением соотношений для Сm к общему знаменателю, подстановкой в полученное

выражение функций Крылова и упрощений с использованием свойств тригонометрических и гиперболических функций. Собственные числа являются корнями функционального уравнения. Корни трансцендентного функционального уравнения находятся путем подбора. В табл. П.5 приведены значения первых четырех собственных чисел функциональных уравнений с пятью значащими цифрами после запятой. Последующие значения собственных чисел (m > 4) могут быть определены с той же точностью по асимптотическим формулам? приведенным в табл.

П. 5.

Функции формы колебаний балки удовлетворяют свойствам ортогональности в интервале интегрирования (0, 1)

1	1	1
∫Ym (ξ) Yn (ξ)dξ = ∫Ym′′(ξ) Yn′′(ξ)dξ = ∫YmIV (ξ) Yn (ξ)dξ = 0 , m ≠ n.
0	0	0

(П.В.5)

Не обладают свойством ортогональности вторые производные балочных функций по отношению самих функций

∫1 Ym′′(ξ) Yn (ξ)dξ ≠ 0 .

В то же время последний интеграл для балок, опертых по обjим концам, обладает свойством квазиортогональности

∫1 Ym′′(ξ) Yn (ξ)dξ << ∫1 Ym′′(ξ) Ym (ξ)dξ .

Интегралы от произведения балочных одноименных функций (m = n) и их производных вычисляются по формулам, полученным интегрированием по частям и предельным переходом

[3, 28]:

1 2

dm = amm = ∫Ym (ξ)dξ =

(0)+

′′

′

′′′

;

4 [Ym

(0)− 2Ym (0)Ym (0)]

γm

′

′′

(ξ) Yn (ξ)dξ = ∫Ym (ξ) Yn (ξ)dξ =

cmm = cmm = ∫Ym

=γ m4 ∫1 Ym (ξ) Yn (ξ)dξ =γ m4 dm ;

1 1

(ξ)Ym (ξ)dξ =

′′

dm =

2 ∫Ym

γ m

γ m 0

= −

(П.В.6)

1			2				1		2
1			2	(0)− 2Ym (0)Ym′′(0)+			1		2	(0)+
		Ym′						Ym′′′
4γ	2	Ym′					γ 4	Ym′′′
	m						m
						1					1
						1
			+ Ym (ξ)Ym′		(ξ)+		Ym′′(ξ)Ym′′′(ξ)					.
			+ Ym (ξ)Ym′		(ξ)+	γ 4	Ym′′(ξ)Ym′′′(ξ)					.
						m
						m					0
											0

При m ≠ n интеграл от произведения динамической балочной функции на ее вторую производную получается интегрированием по частям

bmn = ∫1 Ym′′(γ mξ)Yn (γ nξ)dξ =

′′

′′′

′′

γ 4

−

{Ym

(γ mξ) Yn (γ nξ)−Ym (γ mξ) Yn (γ nξ)+

+γ m4 [Ym (γ mξ) Yn′ (γ nξ)−Ym (γ mξ) Yn′(γ nξ)]}

1 .

(П.В.7)

Как видно из первой формулы (П.В.6) интеграл от квадрата

динамической

балочной

функции

зависит только от

граничных условий опирания балки на правой опоре, в то же время численные их значения для различных условий опирания балки на левой опоре могут отличаться. Для балок с симметричными условиями опирания формул вычисления интеграла от произведения балочной функции на ее вторую производную можно упростить

′′

(ξ)Ym (ξ)dξ = −

&&&2

γ 2

dm =

∫Ym

{Ym

(0)+Ym (0)− 2Ym (0)Ym (0)+

m 0

&& &&&

γ m

[Ym (0)Ym (0)+Ym (0)Ym (0)] .

(П.В.8)

В табл. П.6 – П.9 приведены интегралы от систем балочных функций.

Интегралы статических балочных функций Равномерно распределенная нагрузка (q = q0)

Таблица П. 7

№		Схема											а11							b11							c11										e11
№		балки											а11							b11							c11										e11
		балки

1		q = q0					1				= 0,001587				−	2				= −0,01905					4 = 0,8						1				= 0,0333
1					630						= 0,001587				−	105				= −0,01905					4 = 0,8				30						= 0,0333
					630											105									5				30
																									5

2								19			= 0,03016				−		12			= −0,3426				36				= 7,2				3				= 0,15
2								19									12							36								3
4					630											35							5						20
4					630											35							5						20

3									104				− 2,311			12				=1,714			144					= 28,8						6			=1,2
3									104							12								5										6
6					45													7						5					5
6					45													7											5

5					31							= 0,04921			−	17				= −0,4857			24					= 4,8	1							= 0,2

					630
					630											35							5						5
			Линейно распределенная нагрузка (q = q0ξ)
																												Таблица П.8
№		Схема										а11						b11						c11											e11
		балки
1	q = q0ξ				23					= 0,00996				−	38				= −0,1206		36		= 5,143						3				= 0,04286
				2310											315														70
				2310											315						7
																					7

2						181				= 0,2351				−	872				= −2,768			396				= 56,57				33					= 0,236
				770						= 0,2351				−	315				= −2,768		7					= 56,57			140						= 0,236

3					21128																	1580											2640										22
3					21128						= 30,49											1580					= 26,08						7			= 377,1							22			= 3,143
					693						= 30,49											63					= 26,08						7			= 377,1				7						= 3,143
					693																	63																		7

4						128		= 0,03694												−			128			= −0,4063								64		= 9,143					8			= 0,0762
					3465			= 0,03694												−		315				= −0,4063							7			= 9,143				105				= 0,0762
					3465																	315											7							105

5					640				= 2,771												−192						= −27,43						1920			= 274,3				16				= 0,7619
5					640																												7							16
					231
																																										21
																								7																		21
6					1000					= 4,329												20 = 2,222											400			= 57,14				10				= 0,4762
6					1000					= 4,329												20 = 2,222											400			= 57,14				10				= 0,4762
					231																			9									7							21
				Интегралы от динамических балочных функций
											dm = ∫1 Ym2 (ξ)dξ																							Таблица П. 9
													0
	Опирание левой												Жестко																Шарнирно										Свободный
		опоры		балки							защемлен																			оперт									Свободный
		опоры		балки							защемлен																			оперт
		схемы балок											1÷3																4÷6											9÷12
		в табл. П. 4											1÷3																4÷6											9÷12
		в табл. П. 4
			dm														1														1	Cm													1
			dm										4																2			Cm												4
													4																2															4
							′′	=			1		1				′′		(ξ)Ym (ξ)dξ															Таблица П. 10
							′′				γ	2					′′
							dm				γ	2			∫Ym
												m 0
	Схемы															′′																		Асимптотическая
	балок														dm																			формула (m > 4)
	балок																																	формула (m > 4)
								1														2															1				2
	1, 3, 7, 9						−	1										−				2														−	1		−		2

								4		Cm Cm																											4	1
								4													γ m																4			γ m
								1														1															1				1
	2, 8						−	1										−				1														−	1		−		1

								4		Cm Cm																											4	1
								4													γ m																4			γ m
	4			−	1 F0m (γ m ) F2m															(γ m )					−		1

					2		F	(γ			m	)				F				(γ			m	)			γ
							3m				m				3m								m					n									1				1
																																			−		1		−		1

					1 F2m (γ m ) F0m															(γ m )																		1
	6			−	1 F2m (γ m ) F0m															(γ m )					−		1										2			γ m

					2		F	(γ			m	)				F				(γ			m	)			γ
							1m				m				1m								m					n
	5													− 1																								-
	5												2																									-
													2

Как видно из табл. П.9, интегралы от квадратов балочных функций являются константами (не зависят от номера члена ряда m), за исключением балок с шарнирным опиранием на левой опоре. Интегралы от произведения балочных функций на их вторые производные зависят от номера члена ряда, но для старших членов ряда они вычисляются по простым асимптотическим формулам, приведенным в табл. П. 10.

Статические балочные функции равномерно распределенная нагрузка q = q0

Таблица П. 2

№

Схема балки

Y1′

Y1′′

Y1′′′

Y IV

q = q0

ξ2 − 2ξ3 + ξ4 =

2ξ − 6ξ2 + 4ξ3 =

2(1 − 6ξ + 6ξ2 )=

−12(1 − 2ξ)

=ξ2 (1 −ξ)2

= 2ξ(1 −ξ)(1 − 2ξ)

= 2[1 − 6ξ(1 −ξ)]

3ξ2 − 5ξ3 + 2ξ4 =

ξ(6 −15ξ + 8ξ2 )

6(1 − 5ξ + 4ξ2 )=

− 6(5 − 8ξ)

=ξ2 (1 −ξ)(3 − 2ξ)

= 6(1 −ξ)(1 − 4ξ)

(6 − 4ξ +ξ

)

12ξ −12ξ 2 + 4ξ 3 =

− 24(1 −ξ)

= 4ξ[3(1 −ξ)+ 2ξ 2 ]

12(1 −ξ)

ξ − 3ξ 3 + 2ξ 4 =

1 − 9ξ2 + 8ξ3 =

− 6ξ(3 − 4ξ)

− 6(3 − 8ξ)

=ξ(1 −ξ)2 (1 + 2ξ)

= (1 −ξ)(1 + ξ − 8ξ2 )

ξ − 2ξ3 +ξ4 =

1 −

6ξ

4ξ

−12ξ(1 −ξ)

−12(1 − 2ξ)

=ξ(1 −ξ)[1 +ξ(1 −ξ)]

3 − 4ξ + 4ξ4 =

− 4(1 −ξ3 )=

24ξ

= (1 −ξ)2 (2 + 2ξ +ξ2 )

= −4(1 −ξ)(1 + ξ +ξ2 )

12ξ

Статические балочные функции

линейно

распределенная

нагрузка q = q0ξ

Таблица П. 3

№

Схема балки

Y1′

Y1′′

Y ′′′

Y1IV

q = q0ξ

2 (2 − 3ξ +ξ3 )=

ξ(4 −9ξ +5ξ 3 )=

2(2 − 9ξ +10ξ3 )

− 6(3 −10ξ 2 )

120ξ

=ξ2 (1 −ξ)2 (2 +ξ)

=ξ(1−ξ)(4 −5ξ −5ξ 2 )

ξ2 (7 − 9ξ + 2ξ3 )=

(14

− ξ + ξ3

)

2(7 − 27ξ + 20ξ3 )=

− 6(9 − 20ξ2 )

340ξ

=ξ2

(1 −ξ)(7 − 2ξ − 2ξ2 )

= 2(1 −ξ)

(7 − 20ξ + 20ξ2 )

ξ 2 (20 −10ξ +ξ 3 )

5ξ(8 − 6ξ +ξ3 )

20(2 − 3ξ +ξ 3 )=

− 60(1 −ξ 2 )

120ξ

= 20(1 −ξ)2 (2 +ξ)

ξ(1 − 2ξ2 +ξ4 )=

1 − 6ξ2 + 5ξ3 =

− 4ξ(3 − 5ξ2 )

−12(1 − 5ξ 2 )

120ξ

=ξ

(1 −ξ)2 (1 +ξ)2

= (1 −ξ)(1 +ξ)(1 − 3ξ)2

ξ(7 −10ξ + 3ξ3 )=

7 − 30ξ2 +12ξ4

− 60ξ(1 −ξ)(1 +ξ)

− 60(1 − 3ξ 2 )

120ξ

=ξ(1 −ξ2 )(7 − 3ξ2 )

3 − 5ξ + ξ5 == (1 −ξ)2 ×

5(1 − ξ 4 )=

20ξ 3

60ξ 2

120ξ

(4 + 3ξ + 2ξ2 + ξ2 )

= 5(1 − ξ 2 )(1 + ξ 2 )

Интегралы от тригонометрических			балочных функций
Нагрузки: а –	симметричная;	б –	асимметричная;	в –
произвольная;	Таблица П. 6

№

Схема

amn

bmn

cmn

балки

, n =1,3,5,...

1,а

δm n

π n

−

δm n

32 m

δmn

n = 2,4,6,...

1,б

δm n

− π 2

(2m −1)2 δm n

π 2

(2m −1)2 δm n

2 1

π 2n −1

δm n

π 2

π 4

1,в

−

δmn

−

[δm,n−2 −

π 2 [(n −1)2δm,n−2 −

− π24 [(n −1)4δm,n−2 −

1, n = 1

2,а

−22(n2 +1)δm n + (n +1)2δm,n+2 ]

− 2(n4 + 6n2 +1)δm n +

− 2δm,n +δm,+21 ]

]

0, n > 1

+ (n +1)4δm,n+2

[δm,n−1 −

2π 2 [(n −1)2δm,n−1 −

−8π 4 {(n −1)4δm,n−1 −

1, n = 1

−

2[n

−

m n

− 2δm,n +δm,n+1 ]

− (2n2 − 2n +1)δm n + n2δm,n+1 ]

]

2,б1

+ n4δm,n+1}

0, n > 1

2,б2

1 −

1 δm n

− 2π 2m2δm n

8π 4m4δm n

Таблица П.6

(продолжение)

[δm,n−1 −

π22

[(2n −1)2 δm,n −1 −

−

π 2

[(n −1)4δm,n −2 −

−

2,в

− 2(4n2 +1)δm n + (2n +1)2 δm,n +1 ]

−

2(n

+ 6n +1)δmn +

− 2δm,n +δm,n+1]

+ (n +1)4 δm,n +2 ]

(1 +δm n )

−

π 2

[1 + (2m −1)2

δmn ]

π 4

[1 + (2m −1)4δmn ]

1 −

(−1)n

2n +1

(1 +δm n )

−

π 2

[1 + (2m −1)2

δmn ]

π 4

[1 + (2m −1)4 δmn ]

1 −

(−1)n

2n +1

π 4

2 (−1)m

π 4

(−1)m

1 −

2 δmn +

−

(2m −1)

−

(2m −

2 (−1)

2m −

π 2m −

(−1)m

(−1)n

1 +

π 2m −1

2m −1

2n −1

m n

π 4

2 (−

1)m

π 4

(−1)m

1 −

2 δm n +

−

(2m −1)

−

(2m −

2 (−1)

π 2m −1

2m −

(−1)m

(−1)n

1 +

π 2m −1

δm n

δmn

2m −1

2n −1

СОДЕРЖАНИЕ
Введение..…………………………………………………..	3
I. Основы вариационного исчисления.….………………….	5

1.1.Понятие о функционале. Линейный функционал. Вариация функционала...…………………………………. 7

1.2.Условия экстремума функционала. Основная лемма

вариационного исчисления. Формула Эйлера……………	12
1.3. Задачи на экстремум функционалов………………………	19

1.4.Изопериметрическая задача вариационного исчисления.. 26

II.Пространственная и плоская задачи теории упругости.

Принцип Лагранжа.………………………………………... 29

2.1.Основные уравнения теории упругости..………………... 30

2.2.Принцип Лагранжа..………………………………………. 40 III. Методы решения задач теории упругости, основанные

на принципе Лагранжа.……………………………………	50
3.1. Метод Ритца−Тимошенко..………………………………..	51
3.2. Метод Канторовича−Власова..……………………………	57
3.3. Пример расчета…………………………………………….	68

IV.	Метод Бубнова−Галеркина..………………………………	78
4.1.	Ортогональные системы функций..………………………	78

4.2.Решение дифференциальных уравнений методом Бубнова−Галеркина.………………………………………. 84

4.3.Метод Бубнова−Галеркина при решении задач теории упругости………………………………………………….. 89

V.Решение задач расчета стержней вариационными методами…………………………………………………… 96

5.1.Потенциальная энергия деформаций плоской формы изгиба стержней..………………………………………….. 96

5.2.Расчет стержней методом Ритца−Тимошенко….……….. 102

VI. Расчет пластинок на изгиб вариационными методами … 123

6.1.Основные уравнения изгиба пластинки..………………... 124

6.2.Принцип Лагранжа при изгибе пластинки………………. 134

6.3. Метод Ритца−Тимошенко в задачах изгиба пластинок… 138

6.4.Метод Канторовича−Власова в

задачах изгиба пласти141

нок………………………………

………………………….

6.5.Метод Бубнова−Галеркина в 145 задачах изгиба пластинок..

6.6.Пример расчета пластинки на изгиб…………………….. 146

Литература………………………………………………… 157

Приложение. 1. Математические формулы. …………… 159 2. Системы балочных функций…………... 161

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.04.2019617.47 Кб1attachment.doc
#
12.05.20153.12 Mб13attachment.pdf
#
15.04.2019250.88 Кб1attachment1.doc
#
12.05.20152.01 Mб69AutoCAD.pdf
#
17.03.20161.97 Mб31A_S_Makarenko_Pedagogicheskaya_poema МАКАРЕНКО ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ПОЭМА.pdf
#
17.03.20161.59 Mб22b.pdf
#
17.03.2016146.43 Кб6bakalavr_diploma2012.doc
#
19.11.2019667.65 Кб1BD_04_ER_UCEBNAYA_CHAST_crop_ukr.doc
#
23.11.2019716.29 Кб1BD_05_ER_SESSIYA_LAB_metodichka_ukr.doc
#
27.09.2019118.78 Кб1bestref-149249.rtf
#
17.03.20162.41 Mб2BetterPhotographyPres.pdf