21869_4f7d312f91bac43d4530a115cb0453bf

В точках пространства вокруг плоскости.

n E

∆S

n

Пересечем плоскость цилиндром с боковой поверхностью перпендикулярной данной плоскости. Заряд, оказавшийся внутри цилиндрической поверхности, ограниченной боковой поверхностью и торцами, и, таким образом, замкнутой, равен

Q = σ ∆S.

Для вычисления интеграла по замкнутой поверхности необходимо представить его в виде суммы трех интегралов по боковой поверхности и двум торцам

Вследствие симметрии напряженность электрического поля, создаваемая заряженной плоскостью направлена перпендикулярно к плоскости во всех точках

230

пространства (плоскость заряжена равномерно и бесконечно протяженна). Раз так, то интеграл по боковой поверхности от скалярного произведения EdS равен 0 (вследствие взаимной перпендикулярности E и dS). Остаются интегралы по торцам, их два. В точках торцов E = cst, и E n = E, тогда поток, проходящий через торцы равен

∫ E n dS = E ∫ dS = 2E∆S. 2∆S 2∆S

Приравняем поток согласно закону Гаусса заряду с учетом электрической постоянной

2E ∆S = σ∆S/ε0 E = σ/2ε0.

Попутно рассудим об электрическом поле между двумя бесконечными, одинаково - равномерно, но разноименно заряженными пластинами (аппроксимация плоского конденсатора с размерами пластин много больше расстояния между ними)

2E

E

-

+

E k = 2E = σ/ε0.

§ 10 Формулы Остроградского-Гаусса, Стокса и уравнения Максвелла для E в вакууме

10.1 От формулы ОстроградскогоГаусса к уравнению Максвелла

Пусть имеем поле векторов a , тогда

dФa = a dS , Фa = ∫ a dS

S

231

Фa называется потоком вектора a через площадку S. Здесь вектор dS направлен по орту нормали n к площадке dS, то есть

dS

n

dS

Определим для вектора a оператор

div a = ∂ax/∂x + ∂ay/∂y + ∂az/∂z.

Заметим, что

a = (i∂/∂x + j∂/∂y + k∂/∂z)(axi + ayj + azk) = div a.

Без вывода запишем соотношение, называемое формулой ОстроградскогоГаусса

∫ a dS = ∫ div a dV. S V

Здесь объем V ограничивается замкнутой поверхностью S . Для вектора напряженности электрического поля формула перепишется в виде

∫ E dS = ∫ div E dV. S V

Используем полученную формулу для записи закона Гаусса. Предварительно отметим следующее

n

Q = Σ qi = ∫ ρ dV. i=1 V

Имеем

232

∫ div E dV = (1/ε0) ∫ρ dV V V

∫ (div E - ρ/ε0) dV = 0

V

Так как объем выбирался произвольно, как объем, ограниченный произвольной поверхностью, то

div E = ρ/ε0.

Получили одно из уравнений Максвелла. Оно связывает электрическое поле с электрическими зарядами. Его генезис: Закон Кулона – закон Гаусса – уравнение Максвелла.

10.2 От циркуляции вектора E по контуру, через формулу Стокса к следующему уравнению Максвелла

Для напряженности электрического поля имеем

∫ E dl = 0 L

Согласно формуле Стокса подобный интеграл по замкнутому контуру можно преобразовать в интеграл по поверхности, опирающейся на этот контур

L

Для произвольного вектора a будет (без вывода):

∫ a dl = ∫ rot a dS L S

233

Здесь направление dl определяется направлением орта e , совпадающего по направлению с касательной в данной точке контура L . (Единственное, что необходимо выбрать – это направление обхода контура по или против часовой стрелки, что должно быть согласовано и с направлением орта n). Для нашей задачи формула запишется в виде

∫ E dl = ∫ rot E dS.

Оператор rot E можно представить как векторное произведение

+ j (∂Ex/∂z - ∂Ez/∂x) + k (∂Ey/∂x - ∂Ex/∂y).

Проще запомнить последовательность совокупности производных для ротора по мнемоническому правилу

∂/∂x

∂/∂z ∂/∂y

i

Таким образом, для напряженности электрического поля имеем

∫ rot E dS = 0, S

а так как поверхность S выбиралась произвольно, вследствие произвольности выбора контура, на которую эта поверхность опирается, то и

rot E = 0.

234

В1900 году Друдэ разработал свою теорию электро- и теплопроводности

–он рассматривал электроны в металле как электронный газ и применил к нему кинетическую теорию газов.

Основные положения теории Друдэ.

Приближение независимых электронов. В промежутках между столкновениями не учитывается ни электрон электронное взаимодействие, ни электрон ионное взаимодействие для квазисвободных электронов в металлах.

Столкновения рассматриваются как мгновенные события – внезапное изменение скорости частиц, причинами которого пренебрегают.

Вероятность испытать столкновение для частиц пропорциональна отношению dt/τ , где τ - усредненное время свободного пробега электронов (константа для данного металла), dt – время собственно столкновения.

Выведем электроны в металле каким-либо способом из состояния равновесия. Возврат к равновесию происходит благодаря взаимодействию (столкновению) электронов между собой и со структурой, причем скорости электронов сразу же после столкновений не связаны с их скоростями до столкновений и направлены случайным образом (величина средней скорости при этом соответствует равновесной температуре тела).

Популярность модели Друдэ определялась очень хорошим согласием его положений с экспериментальными результатами. Поскольку в проводниках есть заряженные частицы, которые могут двигаться свободно (квазисвободно, например, электроны внутри куска металла), то при внесении такого проводника в электрическое поле на эти частицы начинает действовать сила, и они приходят в движение.

Положительные частицы движутся в направлении вектора E , отрицательные – в противоположную сторону. В результате такого движения произойдет так называемое разделение зарядов. Наступит состояние равновесия, при котором внутри проводника образуется внутреннее поле, направленное навстречу внешнему и равное ему по величине.

238