21869_4f7d312f91bac43d4530a115cb0453bf

1. A - замкнута (системы практически не взаимодействуют между собой),

2. A - квазизамкнута (системы слабо

взаимодействуют между собой),

...и т.д. - возможны многие другие разнообразные способы их взаимодействия.

Пусть E′ - энергия системы A′ , то есть термостата, E - энергия системы A то есть исследуемой подсистемы и E* = E′ + E (E′ = E* - E).

5.1 Микроканоническое распределение

Предположим, что A замкнута, ее энергия за все время наблюдения не меняется (вообще говоря, такой система может быть, например, при абсолютном нуле температур). Заметим, что все состояния системы с заданной энергией равновероятны (в смысле вероятности данного ее состояния).

Микроканоническое распределение характеризуется тем, что вероятность нахождения замкнутой подсистемы в одном из состояний с данной энергией пропорциональна кратности его вырождения, а говоря другими словами - статистическому весу, то есть числу способов, которыми может быть реализовано это состояние.

Если при абсолютном нуле температур микросостояние реализуется всего одним способом, его статистический вес равен 1, то при любых других температурах одно и то же макросостояние, например, энергия подсистемы равная E0 , может быть реализовано многими способами (точнее равными двум или большими двух), которые все являются равновероятными. При этом справедлива следующая формула:

ρ(E) = cst δ(E - E0),

где ρ - плотность вероятности для энергии, а δ - так называемая символическая дельта-функция Дирака

δ = |(0 при E ≠ E0) и (∞ при E = E0)

120

ρÒ

E

E0

Эта функция математически может быть смоделирована разными способами, например

a

δ(x) = lim[e-x/a/(aπ)1/2] = lim[Sin(ax)/πx] = lim[(∫ eixtdt)/2π], a → ∞ a → ∞ a → ∞ -a

график иллюстрирует модель δ - функции.

1 1

2

e x 0.5

1.91517 .10 174 0

δ-функция математически является не обычной, а символической функцией. Она обладает следующими важными для нас свойствами.

1.δ(x) = 0 при x≠0

2.∫δ(x)dx = 1 (при интегрировании по всему пространству, в данном случае от -∞ до +∞)

3.∫ f(x) δ(x - x′)dx = f(x′) ∫ f(x) δ(x)dx = f(0).

121

5.2 Каноническое распределение Гиббса

Пусть A квазизамкнута. A и A′ взаимодействуют. Подсистема A находится в термостате A′ . Взаимодействие осуществляется через поверхность, являющуюся общей границей, причем граница условная, так как система в целом состоит из одних и тех же частиц. Мы просто наблюдаем за поведением подсистемы как части целостной системы.

Характеристика распределения Гиббса:

Распределение Гиббса описывает распределение вероятностей (иметь ту или иную энергию, например) различных состояний подсистемы, составляющей малую, квазинезависимую часть произвольной системы (термостата), находящейся в состоянии статистического равновесия.

(Если не учитывать, что вся система находится в состоянии равновесия, то рассуждения этого раздела теряют смысл.) При этом имеет место:

ρ(E) = A e – E / kT, A - константа

ρ(E) A

асимптотически

резервуара (термостата, среды) большую флуктуацию энергии для подсистемы уменьшается экспоненциально с ростом энергии этой флуктуации.

Вообще говоря, ρ есть функция фундаментальных сохраняющихся величин: энергии, компанентов импульса и момента импульса как векторов, однако выбором системы отсчета можно исключить зависимость от импульсов и моментов импульсов. Рассмотрение вероятностного характера энергии, как наиболее фундаментальной физической величины, имеют достаточно общий характер.

Распределение Гиббса можно получить, путем следующего рассуждения.

Пусть Ω0 (E* - E) и Ω(E) - статистические веса термостата и подсистемы (это числа). Тогда вероятность иметь данное состояние (по отношению к энергии в данном случае) пропорциональна произведению

122

статистических весов (так как они взаимодействуют) по свойству вероятности

P Ω0(E* - E) Ω(E). (1)

Представим через экспоненту статистический вес термостата.

Ω 0 (E* - E) = e σ (E*-E),

Произведем разложение в ряд

σ(E*- E) = σ(E*) – E ∂σ/∂E + ... ≈ σ - E/θ, θ = (∂σ/∂E)-1

Ω0(E* - E) ≈ eσ e -E / θ,

Введем дополнительную константу и произведем замену, имеем (см.(1))

Pn = cst eσ e –E n / θ Ω(En) (n → ∞ dPE = ρ(E)dΓ).

Пусть θ = kT, cst=A

ρ(E) = A e -E / kT.

Резюме:

i)Микроканоническое распределение - эквивалент признания равновероятными всех микросостояний данного тела

ii)В каноническом распределении содержится утверждение о том, что среда не стремиться передать свою энергию телу так, чтобы энергия этого тела возрастала до максимально возможного значения (но случайные флуктуации энергии всегда возможны и подчиняются экспоненте).

123

Глава 2 Статистические распределения физических величин

§ 1 Распределения Максвелла по импульсам, скоростям и энергиям

Пусть p и q - обобщенные импульсы и координаты, тогда вероятность, (например, для частиц газа) иметь импульсы и ко-

ординаты в заданных границах равна

dPp, q = A e –E (p, q) / kTdpdq. (1)

E - полная энергия частицы из числа частиц составляющих тело. Ее можно представить как сумму кинетической и потенциальной составляющих

E(p, q) = E k(p) + E п(q) ,

причем E k зависит только от импульсов, E п зависит только от координат. Если произведение обобщенных импульсов и координат есть элемент объема фазового пространства, то правую часть канонического распределения можно представить в виде произведения двух сомножителей по свойству пересечения вероятностей.

Пусть, кроме того, кинетическая и потенциальная составляющие энергии взаимно независимы, что очень хорошо реализуется для сильно разряженных газов и вполне удовлетворительно при нормальных условиях (p = 105 Па, T = 273K), тогда вероятности можно перемножать.

dPq,p = A e –Eк /kT e –Eп /kT dpdq = a e –Eк /kT b e –Eп /kT dpdq, A = ab

dPp = a e –E к / kT dp, dPq = b e –E п / kTdq.

Перейдем к реальному трехмерному пространству. Далее в случае распределения Максвелла рассмотрим кинетическую составляющую энергии.

124

1.1 Плотность распределения по векторам импульсов

Eк = mv2/2 = m2v2/2m = p2/2m = (px2 + py2 + pz2)/2m

dPp = a exp[-(1/kT2m)(px2 + py2 + pz2)]dpxdpydpz.

dp = dpxdpydpz - элемент объема в пространстве импульсов. Мы изучаем вероятность для частиц - иметь тот или иной импульс или вероятность того, что некоторая доля частиц обладает импульсом в заданных пределах. Применим условие нормировки, чтобы найти вид плотности вероятности

P = ∫ ρdΓ(по всем состояниям)=1

+ ∞

Pp = a ∫∫∫exp[(- 1 / kT2m) (px2 + py2 + pz2)] dpxdpydpz . - ∞

-

Интегрирование проводится по каждой компоненте импульса от - ∞ до +∞. Так как интегралы независимы и численно равны друг другу (три взаимно перпендикулярных направления для импульсов статистически равноправны), то можно записать

Pp = a[∫ exp(- pi2/kT2m) dpi]3. (- ∞, +∞), i = x,y или z.

Воспользуемся табличным интегралом вида

∫ exp(-αx2)dx = (-∞, +∞) = (π/α)-1/2. У нас α = (kT2m)-1, тогда

a(πkT2m) 3/2 = 1 a = (2πkTm) - 3/2

dPp = (2πmkT)-3/2 exp(-p2/2mkT) dp.

Окончательно для плотности распределения по векторам импульсов имеем

ρp = (2πmkT) - 3/2 exp(-p2/2mkT).

125

1.2 Плотность распределения по векторам скоростей

Выразим импульсы явно через скорости

pi = mvi, p2 = m2v2

dPv = a exp[(-m(vx2 +vy2 +vz2)/2kT)] m3dvxdvydvz.

a′ = a m3 = (2πmkT) -3/2 m3 = (2πkT/m) -3/2,

dPv = (2πkT/m)-3/2exp(-mv2/2kT)dv dv = dvxdvydvz.

Окончательно для плотности распределения по векторам скоростей имеем

ρv = (2πkT/m)-3/2 exp(-mv2/2kT).

1.3 Плотность распределения для компонентов скорости vx, vy, vz

Считаем компоненты скорости взаимно независимыми, а поскольку вклад каждой скорости в вектор скорости одинаков (статистически равновероятен), то для одной компоненты справедливо

(2πkT/m) -3/2 → замена → (2πkT/m) -1/2.

Здесь использовано свойство пересечения вероятностей взаимно независимых событий, тогда

dPv i = (2πkT/m)-1/2 exp(-vi2m/2kT) dvi i = x,y или z.

Для плотности распределения по компонентам скоростей имеем

ρvi = (2πkT/m)-1/2 exp (-mvi2/2kT).

126

dθ

dρ ρdθ

ρdθ

Криволинейный параллелепипед представляет собой элемент объема

dV в сферической системе координат. Чтобы перейти в пространство скоростей, делаем формальную замену ρ → v

dV = v2(Sinθ) dv dϕ dθ,

тогда

dPv = (m/2πkT)3/2 exp(-mv2/2kT)v2(Sinθ) dv dϕ dθ.

Интегралы по углам вычисляются в пределах ϕ : от 0 до 2π, а θ : от 0 до π

dPv = (m/2πkT)3/2 exp(-mv2/2kT) v2 4π dv.

Чтобы получить плотность распределения по модулям импульсов умножим и разделим это выражение (и показатель экспоненты в нем) на массу m . (Предлагается вычислить самостоятельно). Имеем

dPp = (m/2πkT)3/2 exp(-p2/2mkT)(4πp2/m3) dp =

= (2πmkT) -3/2exp(-p2/2mkT) 4πp2 dp.

Для плотностей вероятности по модулям скоростей и импульсов имеем

ρv = (m/2πkT)3/2 exp(-mv2/2kT) v2 4π,

128

ρp = (2πmkT)-3/2 exp(-p2/2mkT) p2 4π.

1.5 Плотность распределения для энергии

Формулу плотности вероятности для энергии, ε, можно получить как из распределения для модуля скорости, так и для модуля импульса. При этом необходимо использовать формулу для вероятности. Воспользуемся формулой вероятности для модулей импульсов.

ε = p2/2m p2 = 2mε 2p dp = 2m dε dp = mdε/(2mε)1/2

dPε = 4π (2πkT)-3/2 m-3/2 e-ε/kT 2mε[mdε/(2mε)1/2] =

= (2/π1/2)(kT)-3/2 e-ε/kTε1/2dε.

ρε = (2/π1/2) (kT)-3/2 e-ε/kT ε1/2.

1.6 Анализ результатов для плотностей вероятности модулей скорости, импульса и энергии

Расчетное задание для студентов. Построение графиков зависимости плотности вероятности для скорости и энергии. Для удобства расчетов формулы приведены к условно безразмерным единицам.