21869_4f7d312f91bac43d4530a115cb0453bf

С другой стороны jz E. Чтобы поставить знак равенства необходимо ввести коэффициент

jz = σq E. (1)

Этот коэффициент пропорциональности σq называется удельной электрической проводимостью вещества. Заметим аналогию

N = n<v>S/6 jz = N′q = q nq <v>др (N′ = nq<v>др). (2)

В выражении (2) отсутствует численный коэффициент 1/6, так как движение всего заряда упорядочено и направлено вдоль одной координаты. Скорость <v>др в данном случае называют дрейфовой. Это скорость дрейфа зарядов в слабом электрическом поле.

Запишем уравнение движения частицы согласно 2-го закона Ньютона

mdv/dt = qE, после интегрирования - v = qEt/m + v0.

Произведем усреднение. Тогда v0 = 0 , как скорость в начальный момент времени, t = τ - среднему времени свободного пробега, а v заменяется на <v>др

<v>др = qEτ/m.

Приравняем правые части (1) и (2) и подставим туда значение дрейфовой скорости

σq E = q nq <v>др = q2nqEτ / m.

Отсюда получим значение удельной проводимости, выраженное через микроскопические параметры

σq = q2nqτ/m.

Так как

τ = λ/<v>др = 1/√2πdэфф2n<v>др , то

σq = q2nq / m√2πdэфф2n<v>др,

где n - концентрация всех частиц, обусловленных столкновениями, а nq - средняя концентрация заряженных частиц. Они могут совпадать.

180

Глава 5 Гидродинамика

§1 Понятие о гидродинамике

1.1 Модель сплошной среды

Содержание гидродинамики составляет изучение движения жидкостей. Все рассуждения, как правило, справедливы и для газов, хотя здесь используется другое название - аэродинамика. Субстанция

рассматривается при этом как сплошная среда. Если в гидродинамике говорят о смещении некоторой частицы, то речь идет не о смещении отдельной молекулы, а о смещении целого элемента континуального объема. При этом, сколь маленький объем ни взять, в нем частичек предполагается актуально много (столько, сколько нам нужно), чем и хороша такая идеализация частичек, которые и сами в свою очередь состоят из воображаемых частичек всегда в достаточном количестве. Элемент такого объема можно рассматривать как точку, имеющую массу. Характеристиками жидкости здесь являются

скорость v = v(x,y,z,t), давление P = Р(x,y,z,t), плотность ρ = ρ(x,y,z,t).

Подчеркнем, что скорость (давление, плотность) рассматриваются в каждой данной точке пространства с координатами (x,y,z) в момент времени t и относится не к частицам жидкости, а к точкам пространства. Температуру можно считать как неизменной, так и любой удобной для данного рассмотрения.

Плотность ρ считаем неизменной вдоль всего объема жидкости и в течение всего времени движения. Иначе говоря, жидкость у нас несжимаемая. Сжи-

181

маемостью называется способность вещества (тела) изменять свой объем под действием всестороннего давления.

клапан

Сжимаемость = (∆V/∆P) - изотермическая, адиабатическая. Пользуются понятием сжимаемости в виде β = - ∆V/V∆P, Па-1. Для примера в таблице приведены коэффициенты сжимаемости некоторых жидкостей

1.2 Уравнение непрерывности

Пусть имеем объем V0, тогда масса жидкости в нем

m = ∫ ρdV. (1) V0

Пусть f - площадь поверхности, ограничивающей объем V0, а df - векторный элемент этой поверхности (с направлением вне (+) или во внутрь (-) ).

182

1.3 Об уравнении Эйлера

Имеем определение давления

P = dF/dS

продифференцируем обе части по оставшейся координате | d/dx

dP/dx = dF/dV = Fед. об..

Здесь Fед.об. - сила, приходящаяся на единичный объем, учтем ее векторный характер

Fед.об. = Fxi + Fyj + Fzk = (∂P/∂x) i + (∂P/∂y) j + (∂P/∂z) k = grad P.

В состоянии равновесия

Fед.об. = grad P.

Если равновесия нет, то можно записать уравнение движения согласно второму закону Ньютона

ρdv/dt = Fед.об. - grad P,

где v - скорость единицы объема, а если учесть и силу веса жидкости, имеем:

ρdv/dt = Fед.об. - grad P + ρg.

Полученное выражение носит название уравнения Эйлера.

1.4 Теорема неразрывности струй

Картина тока жидкости представляется полем вектора скорости. Каждая линия тока является касательной к вектору скорости в данной точке. Густота линий тока пропорциональна величине скорости. Часть жидкости, ограниченная линиями тока называется трубкой жидкости. Вектора скорости не пересекают стенок трубки тока как касательные к ним.

184

S1 v1

S2 v2

Определение теоремы неразрывности струй:

S v = cst

Произведение величины сечения, проведенного через трубку тока в произвольной ее точке на среднюю скорость жидкости в этом сечении ,есть величина постоянная.

Следовательно

S1v1 = S2v2 = ... = Sivi = ...

§ 2 Уравнение Бернулли

Вообще говоря, течение жидкости в трубке тока может быть произвольным. Течение жидкости называется стационарным или установившимся, если вектор скорости в каждой точке пространства текущей жидкости остается постоянным.

Рассмотрим трубку со стационарным течением. Пусть трубка ограничена стенками и сечениями S1 и S2 . За время ∆t сечения переместятся на длины

∆l1 и ∆l2.

185

∆l1

Здесь h1 и h2 - высоты центров масс элементов объемов трубки тока над заданным уровнем. Согласно теореме о неразрывности струй

S1v1 = S2v2, S1∆l1/∆t1 = S2∆l2/∆t2,

но так как ∆t1 = ∆t2 S1∆l1 = S2∆l2 ∆V1 = ∆V2.

То есть элементарные объемы жидкости, образующиеся около сечений S1,S2 за один и тот же промежуток времени равны друг другу.

1. Рассчитаем кинетическую энергию элементарных объемов

K1 = m1v12/2 = ∆V1 ρv12/2, K2 = ∆V2ρv22/2

2. Рассчитаем потенциальную энергию относительно заданного уровня

W1 = m1gh1 = ρ∆V1gh1, W2 = ρ∆V2gh2.

Для того чтобы рассчитать полное приращение энергии при переходе жидкости от объема ∆V1 к объему ∆V2 сложим кинетическую и потенциальную составляющие и найдем разность энергий между вторым и первым состояниями

∆E = E2 - E1 = ∆V2ρv22/2 + ρ∆V2gh2 - ∆V1ρv12 - ρ∆V1gh2.

Данное приращение энергии должно равняться совершаемой над объемом работе при его перемещении. Работа давления на боковые стенки равна 0 (здесь перемещения нет). Остается работа за счет разницы давлений на торцах.

A = P1S1∆l1 - P2S2∆l2 = P1∆V - P2∆V, ∆E = A ρv22/2 + ρgh2 - ρv12/2 - ρgh1 = P1 - P2.

Произведено сокращение на элементарный объем, который в данном случае остается одинаковым.

186

ρv22/2 + ρgh2 + P2 = ρv12/2 + ρgh1 + P1.

Так как сечения выбирались произвольно, то

ρv2/2 + ρgh + P = cst. (1)

Это выражение будет точным при ∆S → 0. Определение

В стационарно текущей жидкости в отсутствие внутреннего трения вдоль любой линии тока справедливо уравнение (1), которое называется уравнением Бернулли.

Уравнение Бернулли хорошо выполняется и для реальных жидкостей. Следствие.

При h1 = h2 (случай горизонтальных линий тока) уравнение имеет вид

ρv12/2 + P1 = ρv22/2 + P2.

Тогда, если v1 > v2, то P1<P2.

Пример: Водоструйный насос

жидкость

здесь

P<Pатмосф

здесь

образуется подсос

в атмосферу

Водоструйным насосом достигается уменьшение давления до 100 мм. рт.ст, что в 7,6 раза меньше атмосферного давления.

§ 3 Ламинарное и турбулентное течения

Рассмотрим течение жидкости по трубе. Ламинарное (слоистое):

жидкость разделяется на слои, которые скользят друг относительно друга не перемешиваясь, течение стационарно.

Турбулентное:

187

жидкость энергично перемешивается во всех направлениях (Р. Осборн, английский физик 1842-1912).

Рейнольдс для характеристики течения предложил следующую безразмерную величину

Re = ρ v l /η, [η] = Па с = кг/м с.

ρ - плотность, v - средняя по сечению трубы скорость потока, η - коэффициент вязкости жидкости, l - характерный размер для трубы.

Начиная с некоторого критического значения числа Re, течение из ламинарного (для данной конфигурации сечения трубы) переходит в турбулентное. Для круглого сечения это Re = 1000. Характер течения различных жидкостей или (газов) будет одинаков для одинаковых чисел Рейнольдса.

Замечание. Иногда пользуются понятием кинематической вязкости

ν = η/ρ Re = vl/η, [ν] = м 2/с.

§ 4 Формула Пуазейля

Рассмотрим течение жидкости по трубе круглого сечения. Пусть течение ламинарное. Будем искать зависимость скорости течения жидкости в трубе от радиуса трубы.

Выделим в трубе с текущей жидкостью воображаемый цилиндр. Так как движение жидкости равномерное, то сумма внешних сил, приложенных к этому цилиндру должна быть равна нулю.

Рассчитаем силы, действующие на цилиндр.

1. Основания цилиндра. Составим разность сил давления на основания

(P1 - P2) πr2

188

2.Боковая поверхность. На боковую поверхность действуют силы внутреннего трения (вязкости).

F = K/t = η |dv/dr| Sбок = - η 2π rl dv/dr.

Знак минус означает убывание скорости с ростом r . Сложим силы и приравняем их к 0 (силы трения препятствуют перемещению, которому способствуют силы давления).

(P1 - P2) πr2 + η 2πrl dv/dr = 0

dv/dr = - (P1 - P2) r/2ηl.

Интегрируем полученное дифференциальное уравнение.

∫ dv = - (P1 - P2)/2 ηl ∫ rdr,

v = C - (P1 - P2) r2/4ηl (*)

Найдем константу интегрирования C по граничному условию

v = (при r=R) = 0, то есть скорость движения у стенки жидкости равна 0, тогда

v = (1 - r2/R2)(P1 - P2)R2/4η l.

То есть v r2 , следовательно, v(r) - парабола. В центре трубы при r = 0 скорость максимальна

vмакс = v(0) = (P1 - P2) R2/4ηl v( r ) = vмакс(1 - r2/R2). (2)

Вычислим поток жидкости (Q) - объем жидкости, протекающей за единицу времени через поперечное сечение трубы S.

189