Ток смещения определяется не самим D , а его первой производной по времени. Ранее мы писали уравнение вида
rot H = jпроводимости.
H, как выясняется, порождается не только током проводимости, но еще и током смещения, тогда
rot H = j + ∂D/dt.
§ 3 Значение теории электромагнетизма Максвелла
Максвелл Джеймс Кларк, английский физик, уроженец Шотландии. Впервые опубликована его теория в работе 1864 года «Динамическая теория электромагнитного поля». Основные положения этой теории включены также в «Трактат об электричестве и магнетизме» 1873 года.
Приведем цитату. «Для человеческого ума недоступна совокупность причин явлений. Но потребность отыскивать причины вложена в душу человека, и человеческий ум, не вникнувши в бесчисленность и сложность условий явлений, из которых каждое отдельное может представляться причиною, хватается за первое самое понятное сближение и говорит: вот причина.» Л.Н.Толстой «Война и мир».
В электромагнетизме обобщение шло от Кулона к Фарадею и далее к Максвеллу. Подсчитаем число уравнений и число неизвестных величин, фигурирующих в теории Максвелла.
div D = ρ
div B = 0
rot E = - ∂B/∂t
rot H = j + ∂D/∂t
310
Распишем все векторные уравнения.
∂Dx/∂x + ∂Dy/∂y + ∂Dz/∂z = ρ,
(1)
1
2
3
∂Bx/∂x + ∂By/∂y + ∂Bz/∂z = 0,
(2)
4
5
6
(∂Ez/∂y - ∂Ey/∂z ) i + (∂Ex/∂z - ∂Ez/∂x) j + (∂Ey/∂x - ∂Ex/∂y) k = 7 8 9
= - ∂(Bx i + By j + Bz k)/ ∂t , (3,4,5)
(∂Hz/∂y - ∂Hy/∂z) i + (∂Hx/∂z - ∂Hz/∂x) j + (∂Hy/∂x - ∂Hx/∂y) k = 10 11 12
= jx i + jy j + jz k + ∂(Dx i + Dy j + Dz k)/∂t. (6,7,8)
Итого имеем: неизвестных – 12 (четыре вектора по три компоненты каждый), а уравнений – 8 в задаче по вычислению компонентов векторов напряженности электрического поля – E, электрического смещения – D, индукции магнитного поля – B, напряженности магнитного поля – H. Добавим к ним уравнения, связывающие искомые величины.
D = εε0 E, B = µµ0 H, j = σ E,
а также уравнение непрерывности
div j = - ∂ρ/∂ t.
В этом случае число уравнений превысит число неизвестных и по заданным распределениям объемной плотности заряда и плотности тока можно рассчитать поля B и H .
Уравнения Максвелла содержат в себе все основные законы поведения электрического и магнитного полей включая и электромагнитную индукцию и поэтому они являются общими уравнениями электромагнитного поля в покоящихся средах. Теория Максвелла объединяет, вообще говоря, известные факты. Совершенно новым в теории Максвелла стало предположение Максвелла о магнитном поле токов смещения. Он теоретически предсказал существование электромагнитных волн, что блестяще доказано современным состоянием теле и радио коммуникации
Далее в этом параграфе будем работать в гауссовой системе единиц. Перепишем в гауссовой системе уравнения Максвелла.
div E = 4πρ, rot E = - ∂H / c∂t
div H = 0, rot H = ∂E / c∂t + 4πj /c
Теперь эти же уравнения запишем для вакуума. В этом случае равны нулю заряды и токи.
div E = 0 (1),
div H = 0 (2)
rot E = - ∂H/c∂t
(3), rot H = ∂E / c∂t (4).
Ранее был определен скалярный потенциал в виде
312
E = - grad ϕ (rot grad ≡ 0).
По аналогии можно ввести векторный потенциал такой, что
H = rot A (5).
Подставим (5) в правую часть (3)
rot (E + ∂A/c∂t) = 0.
Тогда потенциальным оказывается все выражение в круглых скобках и его можно ( по аналогии) представить как градиент некоторой функции, то есть
E + ∂A / c∂t = - grad ϕ.
Здесь использовано то же самое обозначение, что и для скалярного градиента (изменена система единиц) , функция ϕ по-прежнему скалярная, но в отличие от прежнего скалярного потенциала новая ϕ является и функцией времени. Тогда, в отличие от электростатики, напряженность электрического поля E (при наличии вихревого характера поля) уже не представима как градиент некоторой скалярной функции, а записывается в виде
E = - grad ϕ - ∂A / c∂t (6) .
Задача вычисления магнитной индукции (или напряженности магнитного поля) можно свести теперь к вычислению скалярного и векторного потенциалов
ϕ и А.
Исключим из уравнений Максвелла B и H. Для этого (5) и (6) подставим в (4) .
rot rot A = - ∂2A / c2 ∂t2 - (grad ∂ϕ/∂t)/c .
Справедливо соотношение
rot rot A = grad div A - ∆A (∆ = = div grad),
которое проверяется прямым вычислением. Используем это соотношение
∆ A- ∂2A / c2dt2 = grad (div A + ∂ϕ/c∂t) - 4πj /c. (7)
313
Подставим (6) в (1)
div (- grad ϕ - ∂A /c∂t) = 0 - ∆ϕ - ∂ div A/ c ∂t = 0. (8)
Так как вектор-потенциал не определен, то, вообще говоря, его можно доопределить произвольным образом. Доопределим его согласно так называемому соотношению Лоренца, а именно
div A + ∂ϕ/c∂t = 0.
Тогда (7) перепишется в виде
∆ A - ∂2A/c2 ∂t2 = 0 , (9)
а (8) представимо в виде
- ∆ ϕ + ∂2ϕ/c2 ∂t2 = 0 . (10)
Таким образом (9) и (10) являются уравнениями относительно скалярного и векторного потенциалов, ρ и j являются функциями координат и времени.
Оператор вида
∆ - ∂2 /c2 ∂t2 = □
называется оператором Даламбера (даламберианом), а соответствующее ему уравнение относительно произвольной векторной функции – уравнением Даламбера. Если рассматривать уравнения (9) и (10) в вакууме, как мы это и проделали (где нет ни токов ни зарядов), то они примут вид
□ϕ = 0, □A = 0 или, например, ∆ϕ - ∂2ϕ/c2∂t2 = 0.
Уравнение такого вида называют волновым. В математической физике существует точное решение этого уравнения.
314
§ 2 Уравнение плоской волны. Плоские затухающие и сферические волны
2.1 Уравнение плоской волны
Под уравнением плоской волны мы будем понимать вполне определенную функциональную зависимость какой-либо характеристики волны (в нашем случае электромагнитной волны) (E, H, w, S, I, ...) от координат и времени. Пусть ξ (кси) есть некая обобщенная характеристика электромагнитного колебания. Рассмотрим ее поведение вдоль одной из координат.
x = 0 ξ = ξ (0, t) = a Cos (ωt + ϕ).
Здесь в решении отсутствует зависимость от координаты. Введем эту зависимость для обобщенной характеристики (обобщенной координаты). Пусть v – скорость распространения электромагнитной волны – групповая скорость, то есть скорость перемещения всей картины гармонического колебания
ξ
(x или t)
τ
x = 0
x = x1
x
Если наблюдать колебание в фиксированной точке координат, меняя время, или двигаться вдоль координаты при фиксированном времени, то картинки, то есть зависимости обобщенной координаты ξ от координаты x и времени t, окажутся одинаковыми. Из точки x = 0 колебание через время τ придет в точку x1 . Колебания расположенные в плоскости x1 , перпендикулярной направлению распространения волны будут отставать по времени от колебаний в плоскости x = 0 на время τ. Тогда для точки x1 можно записать зависимость в виде
ξ (x1, t) = a Cos [ω (t - τ) + ϕ],
но τ = x1 /v или x/v , если x выбирать в произвольном месте на оси, тогда
315
ξ (x, t) = a Cos [ ω (t – x/v) + ϕ]. (*)
Это уже и есть решение уравнения плоской волны (в направлении оси x) . Справедливо для продольных и поперечных волн.
Таким образом, с фазовой скоростью перемещается фронт волны или, иначе говоря, поверхности (или точки) постоянной фазы волны. Это справедливо для строго монохроматических волн. Если волна не строго монохроматическая, то среднюю фазовую скорость можно рассчитывать как отношение средних значений величин
<vф> = <λ>/<T> = <ω>/<k>.
Если же отклонения от монохроматичности значительные, то понятие фазовой скорости теряет смысл. Скорость точек волновых фронтов является функцией волнового вектора (величины обратно пропорциональной длине волны, которая в каждой точке волнового процесса разная) и при непрерывном распределении для этой зависимости справедлива формула
v = dω/dk ω = ∫ v dk.
Скорость в этом случае называется групповой. Очевидно, что при линейной зависимости ω(k) можно использовать конечные приращения
<vгр> = ∆ω/∆k, но vгр = dω/dk.
Если точки среды, по которой идет волновой процесс существенно по-разному преломляют волну, то о такой среде говорят, что она является дисперсной, а волна диспергирует в ней. Дисперсия в переводе с латинского языка означает рассеяние, разбросанность.
В качестве иллюстрации здесь целесообразно привлечь амплитудную фазовую или частотную модуляцию. К примеру, при амплитудной модуляции несущая частота представляет собой как бы волновой пакет, сгусток энергии. Также и в двух других случаях.
317
2
2
cos( λ
1.5 ) .cos( 40 λ)
0
1
2
3
2
2
0
λ
3
модель волнового пакета
Скорость распространения такого сгустка и является групповой скоростью. Таким образом групповая скорость волн – это скорость переноса энергии волны. При этом для гармонического колебания фазовая и групповая скорости совпадают.
2.3 Затухающие и сферические волны
Решение уравнения плоской волны в виде (*) справедливо в том случае, если волна не поглощается средой. Пусть амплитуда волны убывает по закону экспоненты в зависимости от координаты
a = a0 e - γ x.
1.5
e x
2.478752 .10 3
1
0
2
4
6
0
0
x
6
Затухание амплитуды волны
тогда
ξ (x, t) = a0 e - γ x Cos (ωt – kx + ϕ).
318
График такой зависимости от координаты представляет собой затухающую косинусоиду.
Фронт сферической волны (небольшой кусочек которого на достаточно большом расстоянии представляет собой плоский фронт) на актуально больших расстояниях суть концентрические сферы с центром в источнике. Амплитуда сферической волны убывает по закону обратной пропорциональности с расстоянием. Энергия волны на единичной площадке сферы имеет все меньшую и меньшую плотность. Полная энергия волнового фронта как бы размазывается по все большей и большей сфере. Пусть r – радиус-вектор, тогда
ξ (r, t) = (a′/r) Cos (ωt – kr + ϕ).
a′ здесь уже не амплитуда в прежнем понимании, а некий коэффициент, численно равный амплитуде на единичном расстоянии от источника, а по размерности равный амплитуде, умноженной на размерность длины.
§ 3 Плоская электромагнитная волна
Ранее нами было получено волновое уравнение. Здесь волновое уравнение будет получено с использованием решения плоской волны с обобщенной координатой. Построим уравнение, решением которого является решение вида
ξ (x, t) = a Cos (ωt – kxx + ϕ).
Запишем вторые производные от данного решения по координате и времени
