Метод "идеальной" точки

Метод "идеальной" точки. Рассматривается m-мерное пространство (где m число локальных критериев), в котором априори выбирается вектор, отображающий "идеальное" решение (или, что тоже самое, "идеальная" точка, координатами которой являются "идеальные" значения (например, минимальные или максимальные значения) локальных критериев). В этом пространстве вводится некоторая метрика, с целью вычисления расстояния между вектором, отображающим рассматриваемое решения, и "идеальным". В качестве наилучшего выбирается такое решение, векторная оценка которого наиболее близка к "идеальной" точке. Недостатками метода являются произвол при выборе идеальной точки и введение метрики.

Определим обобщенный критерий следующим образом. Положим a_i=maxF_i(X); , т.е.a_i является максимально (минимально) возможным значением по i – му критерию. Положим a=(a₁, a₂, . . ., a_m). Точка a называется идеальной. Смысл названия связан с тем, что такие точки оптимальны сразу по всем критериям – получить большее (меньшее) значение ни по одному критерию невозможно. Как правило, точка aY_D. Зададим для всех точек YY_D функцию, являющуюся евклидовым расстоянием между точками Y и a

.

За целевую функцию (обобщённый критерий) берут выражение

где i – весовые коэффициенты.

Таким образом, задача оптимизации формулируется следующим образом

min

XD

С учётом нормировки

min (8)

XD

Замечание. Здесь принцип оптимальности выражается функцией выбора определяемой близостью к идеальной точке.

Замечание. В качестве идеальной точки берут директивные значения параметров, заданные заказчиком, т.е. в ТЗ (техническом задании).

Какие задачи оптимального проектирования приводят к использованию метода идеальной точки?

Например, когда все или основные условия работоспособности имеют вид равенств, т.е. F_i(X)=TT_i, где TT_i – значение технического требования, предъявленные к i - критерию. Тогда целевая функция имеет вид:

Пример. Пусть имеются частные критерии F₁(X)=-3x₁+2x₂; F₂(X)=4x₁+3x₂; F₃(X)=2x₁-5x₂, которые требуется максимизировать. Область D задаётся неравенствами –x₁-3x₂+180; -2x₁-x₂+100; x₁0; x₂0. Линейная функция F₁(X) достигает максимального значения a₁=12 в точке X₁=(0, 6); F₂(X) - максимальное значение a₂=24 в точке X₂=(3, 4); F₃(X) - максимальное значение a₃=10 в точке X₃ =(5, 0). По методу идеальной точки составим функцию f(X)=[12-(-3x₁+2x₂)]²+[24-(4x₁+3x₂)]²+[10-(2x₁-5x₂)]². После преобразований получим f(x₁, x₂)=.

Таким образом, задача оптимизации будет такая

min f(x₁, x₂)

g₁(X)= –x₁-3x₂+180

g₂(X)= -2x₁-x₂+100

g₃(X)=x₁≥0; g₄(X)=x₂≥0

Построим область D.

y=10-2x

X_opt

y=6-2/3x

ОбластьD

Рис. 8. Область D

Найдем максимум функции, не учитывая ограничений. Если полученное значение будет лежать в области D, то оно и будет решением нашей задачи.

Находим частные производные по x₁ и x₂ функции f(x₁, x₂) и приравняем их к нулю. Получим следующую систему линейных уравнений

29x₁-4x₂=80

-4x₁+38x₂=46.

Решение этой системы: x₁=2.97; x₂=1.52. Эта точка находится внутри области D. Следовательно, минимум функции достигается в точке с координатами x_1opt=2.97; x_2opt=1.52.

В найденной точке X_opt, являющейся решением рассматриваемой многокритериальной задачи линейного программирования, F₁(X_opt)=-5.87; F₂(X_opt)=16.44; F₃(X_opt)=-1.66.

Следовательно, x_1opt=2.97; x_2opt=1.52.