2. ПостроенИе ортогонального чертежа
2.1. Построение чертежа по схеме Монжа
Процесс проецирования, рассмотренный в разд. 1, позволяет строить изображения по заданному оригиналу, т. е. решать прямую задачу начертательной геометрии – построение проекций оригинала методом проецирования. Наряду с этим возникает обратная задача – восстановление оригинала по его проекциям.
Данная задача реализуется в общепринятой схеме построения обратимого чертежа3, применяемой в начертательной геометрии.
Как уже было сказано выше, основные принципы построения обратимых чертежей изложены Гаспаром Монжем– крупным французским геометром концаXVIIIначалаXIXв.
По схеме Монжа оригинал проецируется ортогонально на две взаимно-перпендикулярные плоскости проекций П1и П2, называемые горизонтальной и фронтальной плоскостями проекций (рис. 2.1).
Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла – четверти (квадранты), которые нумеруются в порядке, показанном на рис. 2.1, а. Система координат выбрана из условия совпадения координатных плоскостей с плоскостями проекций. После проецирования оригинала плоскости П1и П2совмещают в одну плоскость, П1=П2, причем плоскость П1вращается вокруг оси ОXпо часовой стрелке (рис. 2.1). Полученный чертеж называют эпюром4Монжа (рис. 2.1,б).
|
а |
б |
|
Рис. 2.1. Система плоскостей проекций П1П2: а – наглядное изображение; б – эпюр Монжа | |
2.2. Построение чертежей в декартовой системе координатных плоскостей проекций
Из практики исследования видно, что построение изображений в системе двух взаимно-перпендикулярных плоскостей проекций не всегда даёт однозначно полное преставление о форме и размерах оригинала (геометрического образа). Для решения данной задачи вводят систему трёх взаимно-перпендикулярных плоскостей, дополняя систему двух плоскостей П1П2профильной плоскостью П3(рис. 2.2).
Таким образом, в систему трех плоскостей проекций входят:
П1 – горизонтальная плоскость проекций;
П2 – фронтальная плоскость проекций;
П3 – профильная плоскость проекций.
Для определения положения оригинала в пространстве по ортогональным проекциям Монжа наиболее удобно использовать совмещение данной модели системы трёх плоскостей проекции с системой координат, предложенной французским математиком Декартом5(рис. 2.3).
|
|
|
|
Рис. 2.2. Наглядное изображение системы плоскостей проекций П1П2П3 |
Рис. 2.3. Наглядное изображение совмещенной системы координатных осей X, Y, Ζ и системы плоскостей проекций П1П2П3 |
Пересекаясь, координатные плоскости образуют в пространстве прямоугольный трехгранник и делят пространство на 8 частей – октантов6. Ребра этого трехгранника – линии пересечения плоскостей – называют осями координат и их обозначают x, y, z. Точка пересечения осей – начало координат– точка О.
Ось OХ называют осью абсцисс7, осьOУ – осью ординат8, осьOZ – осью аппликат9. Координатные оси могут иметь положительные и отрицательные направления. По заданным координатам можно определить октант, в котором находится геометрический образ (рис. 2.4).
|
а |
б |
|
|
|
|
Рис. 2.4. Система плоскостей проекций П1П2П3: а – наглядное изображение; б – комплексный чертёж | |
|
Таблица 2.1 Знаки координат | |||
|
Октант |
Координаты | ||
|
X |
Y |
Ζ | |
|
I |
+ |
+ |
+ |
|
II |
+ |
- |
+ |
|
III |
+ |
- |
- |
|
IV |
+ |
+ |
- |
|
V |
- |
+ |
+ |
|
VI |
- |
- |
+ |
|
VII |
- |
- |
- |
|
VIII |
- |
+ |
- |
Для получения комплексного чертежа10в системе трех плоскостей проекций плоскости совмещают в одну плоскость вращением вокруг осейOYиOZв следующем порядке.
1. Плоскость П1совмещают вращением вокруг оси х с плоскостью П2 .
2. Плоскость П3совмещают вращением вокруг оси z с плоскостью П2 (рис. 2.4). При этом осьOYкак бы «раздваивается» и повторяется в двух плоскостях: на горизонтальной плоскости – для построения горизонтальных проекций и на профильной – для построения профильных проекций.
На рис. 2.5 представлен результат проецирования геометрического образа в системе трех плоскостей проекций.
|
а |
б |
|
|
|
|
Рис. 2.5. Проецирование призмы в системе плоскостей проекций П1П2П3: а – наглядное изображение; б – комплексный чертёж | |
