Математика
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»
Т.В. Смышляева
МАТЕМАТИКА
Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия
Издание второе, стереотипное
Допущено Учебно-методическим объединением
по профессионально-педагогическому образованию в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений, обучающихся по специальности 050501.65 – Профессиональное обучение (по отраслям)
Издательство Пермского национального исследовательского
политехнического университета
2012
УДК 51+512.64+514.742.2+514.12](075.8) С52
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, доцент Р.А. Рекка (Пермский государственный национальный исследовательский университет);
д-р физ.-мат. наук, профессор А.Р. Абдуллаев; ст. преподаватель Т.Я. Зубко
(Пермский национальный исследовательский политехнический университет)
Смышляева, Т.В.
С52 Математика. Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия: учеб. пособие / Т.В. Смышляева. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2012. –
163 с.
ISBN 978-5-398-00777-0
Представлены разделы по линейной алгебре, векторной алгебре и аналитической геометрии в соответствии с новыми образовательными стандартами (ФГОС). В каждой главе даны задачи различной степени сложности. Объяснения решений приведены в доступной для студентов форме.
Учебное пособие предназначено для студентов высших учебных заведений (в первую очередь для будущих инженеров и экономистов), атакже преподавателей, ведущихпрактическиезанятия.
Будет полезным при выполнении домашних контрольных и расчетно-графических работ студентам вечерней и заочной форм обучения.
УДК 51+512.64+514.742.2+514.12](075.8)
ISBN 978-5-398-00777-0 |
© ПНИПУ, 2012 |
2
СОДЕРЖАНИЕ |
|
Предисловие................................................................................. |
5 |
I. Линейная алгебра ..................................................................... |
6 |
§ 1. Матрицы............................................................................ |
6 |
Задачи................................................................................ |
13 |
§ 2. Определители.................................................................... |
14 |
Задачи................................................................................ |
21 |
§ 3. Система двух линейных уравнений с двумя |
|
неизвестными........................................................................... |
25 |
Задачи................................................................................ |
27 |
§ 4. Система трех линейных уравнений с тремя |
|
неизвестными........................................................................... |
29 |
Задачи................................................................................ |
31 |
§ 5. Обратная матрица. Матричный способ решения |
|
систем....................................................................................... |
33 |
Задачи................................................................................ |
36 |
§ 6. Ранг матрицы.................................................................... |
38 |
Задачи................................................................................ |
41 |
§ 7. Решение систем линейных уравнений методом |
|
Гаусса ....................................................................................... |
44 |
Задачи................................................................................ |
50 |
II. Векторная алгебра................................................................... |
53 |
§ 1. Понятие вектора. Проекции вектора............................... |
53 |
Задачи................................................................................ |
58 |
§ 2. Линейные операции над векторами................................ |
59 |
Задачи................................................................................ |
62 |
§ 3. Действия над векторами, заданными проекциями ........ |
64 |
Задачи................................................................................ |
65 |
§ 4. Скалярное произведение двух векторов......................... |
67 |
Задачи................................................................................ |
71 |
§ 5. Векторное произведение двух векторов......................... |
74 |
Задачи................................................................................ |
77 |
§ 6. Смешанное произведение трех векторов ....................... |
80 |
Задачи................................................................................ |
82 |
3
III. Аналитическая геометрия..................................................... |
85 |
§ 1. Метод координат.............................................................. |
85 |
Задачи................................................................................ |
87 |
§ 2. Прямая на плоскости........................................................ |
89 |
Задачи................................................................................ |
95 |
§ 3. Плоскость.......................................................................... |
102 |
Задачи................................................................................ |
108 |
§ 4. Прямая в пространстве..................................................... |
115 |
Задачи................................................................................ |
118 |
§ 5. Прямая и плоскость.......................................................... |
123 |
Задачи................................................................................ |
126 |
§ 6. Кривые II порядка............................................................. |
129 |
Задачи................................................................................ |
138 |
§ 7. Преобразование координат на плоскости....................... |
143 |
Задачи................................................................................ |
145 |
§ 8. Упрощение общего уравнения кривой второго |
|
порядка..................................................................................... |
147 |
Задачи................................................................................ |
151 |
§ 9. Полярные координаты ..................................................... |
156 |
Задачи................................................................................ |
159 |
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Издание предназначено для студентов I курса высших технических учебных заведений.
Пособие содержит разделы по линейной алгебре, векторной алгебре и аналитической геометрии. Цель этого пособия – помочь студенту I курса в подготовке к практическим занятиям, выполнению домашних контрольных и расчетно-графических работ.
Особенность пособия заключается в том, что каждый параграф состоит из двух частей: в одной указаны основные формулы и рисунки, в другой – даются определения и замечания к ним. Каждый параграф содержит помимо теоретического материала подробно разобранные примеры. Такое построение предоставляет студенту широкие возможности для активной самостоятельной работы и экономит его время.
Учитывая нехватку времени на изучение теоретического материала на занятиях, пособие восполняет данный пробел.
5
6
I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
§ 1. Матрицы
|
Основные формулы |
|
|
|
Определения и замечания |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a11 |
a12 ... |
a1n |
|
Матрица – это прямоугольная таблица чи- |
||||||||||
|
|
a22 ... |
|
|
|
сел из m строк и n столбцов. |
|
||||||||
1. |
a21 |
a2n |
(1) |
|
|
|
|
|
|
||||||
A = |
... ... |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
... |
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
am2 ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
am1 |
amn |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
A = (a ) или A = (a |
|
) . |
|
|
(2) |
Сокращенная запись матрицы |
А, где |
|||||||
|
ij |
|
|
ij |
m×n |
|
i = |
|
– номер строки, j = |
|
|
– номер |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, m |
1, n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
столбца. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следует запомнить, что матрицу А назы- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вают матрицей размерности m × n . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. |
A = (a ) |
, B = (b ) |
i = |
|
, |
|
Матрицы одинакового размера равны ме- |
||||||||
1, m |
|
||||||||||||||
|
ij m×n |
j = |
|
ij |
m×n |
|
жду собой, если равны все соответствую- |
||||||||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
щие элементы этих матриц. |
|
|||||
|
|
1, n |
|
|
|
|
(3) |
|
|||||||
|
A = B , если aij |
= bij . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основные формулы |
|
Определения и замечания |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
... |
a |
|
|
|
|
Матрица, у которой число строк равно |
|
|
|
|
11 |
12 |
... |
1n |
|
|
|
числу столбцов, называется квадратной. |
|
|
3. |
a21 |
a22 |
a2n |
квадратная матрица. |
(4) |
Следует запомнить, что квадратную мат- |
||||
|
A = |
|
|
|
|
– |
|||||
|
|
... ... |
... |
... |
|
|
|
рицу размера n × n называют матрицей |
|||
|
|
|
|
an2 |
... |
|
|
|
|
|
n-го порядка. |
|
|
an1 |
ann |
|
|
|
|||||
|
|
a |
0 |
0 |
... |
0 |
|
|
|
Квадратная матрица, у которой все эле- |
|
|
|
|
11 |
a22 |
0 |
... |
0 |
|
|
|
менты, кроме элементов главной диагона- |
7 |
4. |
|
0 |
|
– диагональная |
(5) |
ли, равны нулю, называется диагональной. |
||||
|
A = |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
... ... |
... |
... |
... |
|
матрица. |
|
Замечание. |
||
|
|
|
0 |
0 |
... |
... |
|
|
|
|
Элементы, стоящие на диагонали, идущей |
|
|
|
ann |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из верхнего левого угла, образуют главную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
диагональ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
... |
0 |
|
|
|
Диагональная матрица, у которой каждый |
|
|
|
|
1 |
0 |
... |
|
|
|
|
элемент главной диагонали равен единице, |
|
5. |
|
0 |
0 |
– единичная матрица. |
(6) |
называется единичной. |
||||
|
En×n = |
|
... |
... |
|
||||||
|
|
|
... ... |
... |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
... |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|||
7
|
|
|
|
|
|
Основные формулы |
|
Определения и замечания |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
... |
... |
a |
|
|
|
|
Квадратная матрица называется треуголь- |
|
|
|
|
11 |
|
12 |
|
... |
1n |
|
|
|
ной, если все элементы, расположенные по |
|
|
|
|
0 |
|
a22 ... |
a2n |
|
|
|
одну сторону от главной диагонали, равны |
|||
|
6. |
A = |
0 |
|
0 |
a |
... |
a |
|
– |
треугольная |
(7) |
|
|
|
нулю. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
33 |
|
3n |
|
матрица. |
|
||
|
|
... |
|
... ... |
... |
... |
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
|
0 ... |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ann |
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
|
0 |
0 ... |
0 |
|
|
|
|
|
Матрица, все элементы которой равны ну- |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 ... |
|
|
|
|
|
|
лю, называется нулевой. |
|
|
0 |
|
0 |
– нулевая матрица. |
(8) |
|
||||||
|
7. O = |
|
|
... ... ... |
|
|
|||||||
8 |
|
... |
|
... |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 ... ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
8. |
A = (a11 |
|
a12 ... |
a1n ) – матрица-строка; |
(9) |
|
||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
|
– матрица-столбец. |
|
|
(10) |
|
|||||
|
|
A = |
# |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
|
|
Основные формулы |
|
|
Определения и замечания |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
9. Транспонированная матрица к данной (1) |
|
Матрица, полученная из данной (1) заме- |
|||||||||||||
|
|
|
|
a |
a |
|
|
... |
a |
|
|
|
ной каждой ее строки столбцом с тем же |
|||
|
|
|
|
11 |
|
|
21 |
|
|
|
m1 |
|
|
номером, называется матрицей, транспо- |
||
|
|
T |
|
a12 |
a22 |
... |
am2 |
|
(11) |
нированной к данной. |
||||||
|
|
A |
= |
|
. ... . |
. |
||||||||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
a2n |
... |
amn |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
a1n |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действия над матрицами |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9 |
10. Сложение матриц. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следует запомнить, что операция сложе- |
||||
|
Пусть A = |
(a ) |
и B = (b ) . |
|
|
|
|
ния матриц вводится только для матриц |
||||||||
|
|
ij m×n |
|
|
|
ij |
|
m×n |
|
|
|
|
|
|
одинаковых размеров. |
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C = (c |
|
) |
, |
|
|
|
(12) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
ij m×n |
|
|
|
|
|
|||||
|
где cij = aij |
+ bij , i = |
|
, |
j = |
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
1, m |
1, n |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Для обозначения суммы двух матриц используется за- |
|
||||||||||||||
|
пись |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C = A + B . |
|
|
|
(13) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
Основные формулы |
|
Определения и замечания |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
11. Справедливы следующие свойства сложения мат- |
|
||||||||||
|
риц: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) A + B = B + A; |
|
|
|
|
|
|
|
|
Коммутативность сложения (а). |
||
|
б) A + (B + C)= (A + B)+ C; |
|
|
|
(14) |
Ассоциативность сложения (б). |
||||||
|
в) A + O = A; |
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь О – нулевая матрица (в). |
||
|
г) (− A)+ A = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(–А) – матрица, противоположная матри- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
це А (г). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Указанные свойства справедливы для лю- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бых матриц А, В, С одинаковых размеров. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
12. Разность матриц. |
|
|
|
|
|
Замечание 1. |
|||||
|
Пусть |
A = |
(a ) |
и B = (b ) . |
|
А, В, С – матрицы одинаковых размеров. |
||||||
|
|
|
ij m×n |
ij |
m×n |
|
Замечание 2. |
|||||
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C = |
(c |
) |
, |
(15) |
Разность матриц можно определить также |
|||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ij m×n |
|
следующим образом: A − B = A + (− B), где |
|||
|
где cij |
= aij |
− bij , |
i = |
|
, |
j = |
|
. |
|
(− B) – матрица, противоположная матри- |
|
|
1, m |
1, n |
|
|||||||||
|
Разность матриц А и В обозначается символом |
|
це В. |
|||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
C = A − B . |
(16) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|