Математика

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

c =

a

2 + b

2 + 2 a b cos(a b). (1)

4.

Разностью

двух векторов

a

и

называется третий вектор

b

=

−

,

сумма

которого

c

a

b

с

вычитаемым

вектором

b

дает вектор

, т.е.

+

=

a

b

c

a

Рис. 4

(рис. 4).

5.

Замечание.

Если на векторах

и

, от-

a

b

ложенных из общей точки О,

построить

параллелограмм,

то вектор

, совпадающий

OB

с одной диагональю паралле-

лограмма, исходящей из точ-

ки О, равен сумме

+

=

,

Рис. 5

a

b

c

вычисляется а

вектор

совпадающий

Модуль вектора

CA,

d

по формуле

с

другой

диагональю, равен

разности

−

=

(рис. 5).

d =

a

2

+ b

2

a

b

d

− 2 a b cos(a

b). (2)

= λ

.

(3) 1)

b

=

λ

a

;

b

a

2)

вектор

коллинеарен век-

b

тору

;

a

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

3)

↑↑

, если λ > 0;

b

a

↑↓

, если λ < 0.

b

a

Замечание.

Поскольку вектор

колли-

b

неарен вектору

, в дальней-

a

шем условие коллинеарности

векторов будем

записывать

в виде

= λ

.

b

a

Задачи

Задача 1. Найти равнодейст-

вующую двух сил

и

, моду-

F1

F2

ли которых равны

= 5,

= 7 ,

F1

F2

угол между ними θ = 60°. Опреде-

лить также углы α и β, образуемые

равнодействующей с силами

и

F1

Рис. 6

(рис. 6).

F2

F1

=

F2

=

R

.

sin β

sin α

sin(180° − θ)

F2 sin θ

7

3

2

≈ 0,581 ; α = 35°30′,

sin α =

=

R

10,44

sin α

5 0,581

F1

≈ 0,415 ; β = 24°30′.

sin β =

=

F2

7

Проверка: (α + β = 60°).

Задача 2.

Построить вектор

= 2

− 1,5

и определить его

c

a

b

модуль, если

= 3,

a

b

= 4 и a b = 120° .

Решение.

Возьмем

произвольную

точку О и построим векторы

=

и

=

,

угол

между

OA

a

OB

b

которыми 120° (рис. 7). Строим

вектор

= 2

и

= 1,5

OM

a

ON

b

(см. п. 6). Строим вектор

=

NM

Рис. 7

= c = 2a − 1,5b (см. п. 4).

Определяем длину вектора

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

1.

Тройка векторов i,

,

на-

j

k

зывается

координатным

ба-

зисом, если эти векторы

удовлетворяют условиям:

1) вектор i лежит на оси OX,

вектор

– на оси OY, вектор

j

– на оси OZ;

k

2) каждый из векторов i,

j,

направлен

на

своей

оси

k

Рис. 1

в положительную сторону;

3) векторы i,

– еди-

j,

k

ничные,

т.е.

=

=

= 1

i

j

k

(рис. 1).

= ax i + ay

+ az

Каким бы ни был вектор

2.

a

j

k

.

(1)

a,

он всегда может быть разло-

жен по базису

т.е.

i, j, k,

может

быть

представлен

в виде (1).

ax , ay , az –

проекции век-

тора на

координатные

оси

(координаты вектора).

3.

= ax i + ay

+ az

При сложении (вычитании)

a

j

k

или

векторов

их

одноименные

= {ax , ay , az };

координаты

складываются

a

(вычитаются).

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

= bx i + by

+ bz

b

j

k

или

{bx ,by ,bz

};

=

b

±

= (ax ± bx )i + (ay ± by )

+

a

b

j

+ (az ± bz )

k

или

±

= {ax ± bx ;ay

± by ;az ± bz }. (2)

a

b

4.

λ

= λax i + λay

+ λaz

При умножении вектора

на

a

j

k

или

скаляр координаты вектора

умножаются на этот скаляр.

λ

= {λax ;λay ;λaz }.

(3)

a

a

ay

a

Следует

запомнить,

что

5.

a = λb

x

=

=

z

= λ.

(4)

признаком

коллинеарности

bx

by

bz

двух векторов

= {ax ,ay ,az }

a

и

= {bx ,by ,bz } является про-

b

порциональность их коорди-

нат.

натной форме:

2

= {2; − 2; 6}, 3

= {6; 3; − 3},

= {− 4; − 5; 9},

a

b

c1

− 6

= {− 6;

6; − 18}, 9

= {18; 9; − 9},

= {12; 15; − 27}.

a

b

c2

= λ

, т.к. − 4 = − 5 =

9

, λ = −

1

(формула (4)).

c1

c2

− 27

12

15

3

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

1. Обозначение скалярного произведения:

,

(

,

).

a

b

ab,

a

b

(1)