Математика

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

(6) Смешанное произведе-

5.

abc = cab = bca .

ние

не

изменится при

круговой перестановке

векторов.

Замечание.

Перестановка двух со-

седних

сомножителей

меняет знак произведе-

ния

на

противополож-

ax

ay

az

Смешанное произведе-

ние векторов,

заданных

abc =

b

b

b

.

(7)

x

y

z

своими

координатами,

cx

cy

cz

равно

определителю

третьего порядка, со-

ставленному

из

коор-

динат

перемножаемых

векторов.

Абсолютная

величина

7.

abc = ± Vпараллелепипеда,

или

смешанного

произве-

(

)

дения

равна

объему

Vпараллелепипеда =

.

(8)

abc

параллелепипеда,

по-

строенного на векторах

,

и

.

a

b

c

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

ax

ay

az

Замечание 1.

= ±

1

= ±

1

Знак

перед

опрелите-

b

.(9)

V

abc

b

b

лем

должен

быть

вы-

пирамиды

6

6

x

y

z

cx

cy

cz

бран так,

чтобы объем

V был положительным.

Замечание 2.

Предполагается,

что

векторы

и

a,

b

c

не лежат в одной плос-

кости (некомпланарны).

Задачи

Задача 1.

Вектор

перпендикулярен к векторам

и

,

c

a

b

угол между

и

равен 30°. Зная,

что

= 8,

= 2,

= 5,

a

b

a

b

c

1

0

0

abc =

0

0

1

= −1 < 0 .

0

1

0

= {− 3;1; 6}.

A1A4

Найдем

объем

пирамиды

по

формуле (9):

1

− 4

1

3

1

(− 24).

V

= ±

− 2 2 0

= ±

пирамиды

6

6

− 3

1

6

Рис. 3

Vпирамиды = 4 куб.ед.

В правой части выбран знак минус, т.к. определитель отри-

цателен.

Задача 4. Показать, что

точки A(5; 7; − 2),

B(3; 1; − 1),

C(9; 4; − 4) и D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.

Решение.

Рассмотрим три вектора:

AB,

и

.

AC

AD

= {− 2; − 6; 1},

AB

= {4; − 3; − 2},

AC

Рис. 4

= {− 4; − 2; 2} (рис. 4).

AD

Находим смешанное произведение векторов:

− 2

− 6

1

=

4

− 3

− 2

= 0

(элементы первого

и третьего

AB

AC

AD

− 4

− 2

2

столбцов пропорциональны).

Поскольку

= 0,

векторы компланарны, т.е. точки

AB

AC

AD

A, B, C, D лежат в одной плоскости.

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

A(x1 )

1. Расстояние

d между точками

Расстояние

между

и B(x2 )

на оси

двумя

точками

чи-

d =

x2 − x1

.

(1)

словой оси равно аб-

солютной

величине

разности

координат

A(x1, y1 )

этих точек.

2. Расстояние d между точками

Расстояние

между

и B(x2 ,

y2 ) на плоскости

двумя данными точ-

d =

(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2

.

(2)

ками плоскости рав-

но корню квадратно-

му из суммы квадра-

тов разностей одно-

именных

координат

этих точек.

3. Расстояние

d

между

точками

A(x1, y1, z1 ) и B(x2 ,

y2 , z2 ) в пространстве

d =

(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2

. (3)

4. Координаты

точки

C(x, y),

делящей

Назовем отношени-

отрезок

с

концами

A(x1, y1 )

ем, в котором точ-

AB

ка С делит направ-

и B(x2 ,

y2 ) в отношении λ, определяются

ленный отрезок

AB

,

соотношениями:

x =

x1 + λx2

,

y =

y1 + λy2

.

(4)

число

λ

=

AC

.

1 + λ

1 + λ

CB

Если

λ = 1,

то точка

C(x, y)

делит отре-

зок

AB

пополам,

и тогда

координаты

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

середины

отрезка

определяются

Следует запомнить,

AB

соотношениями:

что

каждому

зна-

чению λ соответст-

x1 + x2

y1 + y2

x =

, y =

.

(5)

вует некоторая точка

2

2

прямой АВ. Исклю-

чение

представляет

значение λ = −1,

при

котором формулы (4)

5. Координаты точки C(x,

y, z), делящей

теряют смысл.

Замечание.

концами A(x1,

y1, z1 )

Если

λ положитель-

отрезок

AB

с

но, то точка C(x, y)

и B(x2 , y2 , z2 ) в отношении λ, определя-

лежит между точка-

ются соотношениями:

ми А и В.

x =

x1 + λx2

, y

=

y1 + λy2

, z

=

z1 + λz2

. (6)

Если λ отрицательно,

1 + λ

1

+ λ

1

+ λ

то точка С лежит на

прямой вне

отрезка

.

AB

6. Пусть

даны вершины

треугольника

Замечание.

A(x1, y1 ), B(x2 , y2 )

, C(x3,

y3 ).

Площадь

В формуле

нужно

треугольника вычисляется по формуле

взять

знак

«+»

или

S = ±

1

x1 − x3

y1

− y3

«–», смотря по тому,

.

(7)

будет

ли определи-

2

x2 − x3

y2

− y3

тель положительным

или отрицательным.

ты точки С, x1 и y1

– координаты точки А; x2 и y2 – координа-

ты точки В; λ =

1

.

4

Значит, у нас

x1 = 3, x2 = 1, y1 = 5, y2 = −4. Итак, по фор-

мулам (4):

2

2

Отсюда

5 + x2 = 0;

x2 = −5,

12

Точка С имеет координаты

C 0; 0;

.

5

но взять x1 = 2, x2 = 1,

x3 = −6,

y1 = −3,

y2 = 1,

y3 = 5.

Подставляя эти числа в (7), получим

1

2 − (− 6) (− 3 − 5)

1

8

− 8

1

24 = 12 .

S =

1 − (− 6)

(1 − 5)

=

7

− 4

=

2

2

2

Основные формулы

Определения и замечания

и рисунки

1. Ax + By + C = 0 – общее урав-

Всякое уравнение первой сте-

нение прямой.

(1)

пени относительно текущих

координат x и y определяет

прямую линию.

Замечание.

= {A, B} –

нормальный

N

вектор прямой l;

l (рис. 1).

N

Рис. 1

а) C = 0, Ax + By = 0

– прямая

проходит через начало коорди-

нат;