Математика

tg π =

k − 3

или

k − 3

= 1.

1 + 3k

1 + 3k

4

Отсюда

k − 3

= 1 и

k − 3

= −1 .

1 + 3k

1 + 3k

Решая каждое из полученных уравнений, находим, что уг-

ловой коэффициент

одной прямой

k1 = −2, а другой k2

=

1

.

2

Уравнения искомых прямых:

y = −2x, y =

1

x.

2

Задача 11. Найти точку пересечения прямых 4x − y + 1 = 0

и 2x + 3y − 17 = 0.

Решение.

Поскольку

4

≠ −

1

,

следовательно, прямые пересекаются.

2

3

Решая уравнения совместно, получим x = 1, y = 5, M (1; 5).

y1 = 0, получим искомое уравнение y = 2(x − 1)

или

2x − y − 2 = 0.

б) Искомый угловой коэффициент обозначим через k1.

Уг-

ния, равен

1

. Условие перпендикулярности k1 k2 = −1 нам да-

3

ет:

1

k1 = −1,

откуда k1 = −3. Таким образом, искомое уравнение

3

y = −3(x − 1)

или 3x + y − 3 = 0.

d = 3 1+ 4 3 + 20 = 35 = 7.

32 + 42

5

§ 3. Плоскость

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

1.

Общее уравнение плоскости

Всякое уравнение первой

Ax + By + Cz + D = 0 ;

(1)

степени относительно те-

кущих координат опреде-

а)

D = 0, Ax + By + Cz = 0 – плоскость

ляет в пространстве плос-

проходит через начало координат;

кость.

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

б) A = 0, By + Cz + D = 0

– плоскость

Следует запомнить: если

параллельна оси OX ;

отсутствует член с одной

в) B = 0, Ax + Cz + D = 0

–

плоскость

из координат, то плос-

параллельна оси OY;

кость параллельна

соот-

ветствующей оси коорди-

г) C = 0, Ax + By + D = 0

– плоскость

нат.

параллельна оси OZ;

д) A = 0, D = 0, By + Cz = 0

–

плос-

Если

одновременно

от-

кость проходит через ось OX ;

сутствует свободный член

е) B = 0, D = 0, Ax + Cz = 0

–

плос-

и член с одной из коорди-

кость проходит через ось OY;

нат,

то плоскость прохо-

дит

через

соответствую-

ж) C = 0, D = 0, Ax + By = 0

–

плос-

щую ось.

кость проходит через ось OZ;

з) A = 0, B = 0, Cz + D = 0

–

плос-

Если отсутствуют члены

кость параллельна плоскости

XOY

с двумя координатами, то

(перпендикулярна оси OZ );

плоскость

параллельна

и) B = 0, C = 0, Ax + D = 0

–

плос-

той

координатной плос-

кость параллельна плоскости

YOZ

кости, которая содержит

(перпендикулярна оси OX );

соответствующие оси.

к) A = 0, C = 0, By + D = 0

–

плос-

кость параллельна плоскости

XOZ

(перпендикулярна оси OY );

л) A = 0, B = 0, D = 0, z = 0

–

плос-

Если отсутствуют члены

кость совпадает с плоскостью XOY ;

с двумя

координатами

м) A = 0, C = 0, D = 0, y = 0

–

плос-

и свободный член, то

кость совпадает с плоскостью XOZ;

плоскость совпадает с од-

н) B = 0, C = 0, D = 0, x = 0

–

плос-

ной

из

координатных

кость совпадает с плоскостью YOZ.

плоскостей.

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

Если отсутствуют все чле-

ны с координатами, а сво-

бодный член

отличен

от

нуля, то уравнение смыс-

ла не имеет.

2. Уравнение плоскости в отрезках

Следует запомнить,

что

x

y

z

a, b, c – величины отрез-

+

+

= 1.

(2)

ков, отсекаемых плоско-

a

b

c

стью

на

координатных

осях (считая каждый от

начала координат) (рис. 1).

Замечание 1.

К виду (2) можно привес-

ти

уравнение

всякой

плоскости за исключени-

ем

случая

D = 0,

т.е.

плоскости,

проходящей

через начало координат.

Рис. 1

Замечание 2.

Уравнение вида (2) удоб-

но использовать при по-

строении плоскости.

3. Нормальное уравнение плоскости

p – длина

перпендикуля-

x cosα + y cosβ + z cos γ − p = 0 . (3)

ра, опущенного из начала

координат на плоскость;

cosα, cosβ,

cos γ

–

на-

правляющие

косинусы

перпендикуляра,

прове-

денного из начала коор-

динат к данной плоско-

сти.

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

Замечание.

нормально-

Особенности

го уравнения плоскости:

а) сумма квадратов коэф-

фициентов при

текущих

координатах

равна

еди-

нице;

б) свободный

член

его

− p ≤ 0.

Следует запомнить:

для

приведения общего урав-

нения плоскости к нор-

мальному

виду

следует

умножить

все его члены

на нормирующий множи-

тель

µ = ±

1

,

A2 + B2 + C2

где знак перед радикалом

противоположен знаку сво-

бодного члена D в общем

уравнении плоскости.

4. Уравнение плоскости, проходящей

= {A, B, C}

–

нормаль-

N

через данную точку M0 (x0 , y0 , z0 ),

ный

вектор

плоскости –

перпендикулярно

данному

вектору

каждый (не равный нулю)

= {A, B, C} (рис. 2):

вектор,

перпендикуляр-

N

A(x − x )+ B(y − y

0

)+ C(z − z

0

) = 0. (4)

ный плоскости.

0

Замечание.

За

нормальный

вектор

плоскости можно принять

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

Рис. 2

5. Уравнение плоскости, проходящей Следует

запомнить: че-

через три данные точки

M

x , y , z ,

рез три точки, не лежащие

1( 1

1

1 )

M 2 (x2 , y2 , z2 ), M3 (x3 , y3 , z3 ),

на одной прямой, можно

x − x1

y − y1

z − z1

провести

единственную

плоскость.

x2 − x1

y2 − y1

z2 − z1

= 0 .

(5)

x3 − x1

y3 − y1

z3 − z1

6. Угол между плоскостями (рис. 3)

Углом между двумя плос-

A1x + B1 y + C1z + D1 = 0,

костями

будем

называть

= {A1, B1, C1}

любой из двух смежных

N1

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0,

двугранных углов, обра-

зованных

этими

плоско-

= {A2 , B2 , C2}

стями.

N2

определяется по формуле

Замечание 1.

cos ϕ =

Нахождение угла между

двумя

плоскостями сво-

= ±

A1 A2 + B1B2 + C1C2

.(6)

дится к нахождению угла

A12 + B12 + C12

A2

2 + B2

2 + C2

2

между нормальными век-

торами

данных

плоско-

стей: cos ϕ =

.

N1

N2

N1

N2

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

Замечание 2.

В

формуле

(6)

можно

брать любой знак

(+ или

–), что соответствует вы-

бору

одного

из

двух

смежных двугранных уг-

лов.

Рис. 3

7.

A1

=

B1

=

C1

≠

D1

–

условие па-

Замечание.

A1

B1

C1

D1

A B C

D

Если

=

=

=

2

2

2

2

,

раллельности двух плоскостей.

(7)

A2

B2

C2

D2

то плоскости совпадают.

8.

A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0

–

условие

Замечание.

перпендику-

перпендикулярности

двух

плоско-

Плоскости

стей.

(8)

лярны,

если

скалярное

произведение нормальных

векторов

= {A1, B1, C1}

N1

и

= {A2 , B2 , C2}

равно

N2

нулю.

∆ =

A1

B1

C1

≠ 0 –

Замечание.

точки

пере-

9.

A

B

C

2

(9)

Нахождение

2

2

сечения

трех

плоскостей

A3

B3

C3

сводится к решению сис-

необходимое и достаточное условие

темы

трех

линейных

того, что три плоскости:

уравнений.

A1x + B1 y + C1z + D1 = 0,

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0,

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

A3x + B3 y + C3z + D3 = 0

– имеют

только одну общую точку.

10. Расстояние от точки

M (x1, y1, z1 )

до плоскости Ax + By + Cz + D = 0

определяется по формуле

d =

Ax1 + By1 + Cz1

+ D

. (10)

A2 + B2 + C2

плоскостей:

б) 9y − 2 = 0;

в) x + y − 5 = 0;

а) 3x − 5z + 1 = 0;

г) 2x + 3y − 7z = 0;

д) 8y − 3z = 0.

Решение.

а) Плоскость параллельна оси OY ,

т.к. в уравнении отсут-

ствует член с координатой y.

− A + 4B + D = 0,

2A −

3B + D = 0,

откуда

B = − 3D , A = − 7D .

5

5

Следовательно, искомое уравнение записывается в виде

− 7D x −

3D

y + D = 0 или 7x + 3y − 5 = 0.

5

5

Задача 3.

Написать уравнение плоскости, проходящей че-

рез ось OX и точку M (9; − 3; 8 ).

3

8C

8

Таким образом, имеем

y + Cz = 0, т.е.

C

y + z

= 0,

3

3

7

ной оси OY и проходящей через точку

M

− 1;

; 8

.

2

7

B + D = 0,

т.е. D = −

7

B. Следовательно,

By −

7

B = 0 или

2

2

2

7

B y −

= 0,

откуда искомое уравнение 2y − 7

= 0.

2

x

+ 2y +

4

z = 1

− 2

3

или

x

+

y

+

z

= 1.

− 2

1

3

2

4

Тогда a = −2, b =

1

,

c =

3

.

2

4

Рис. 4

Плоскость расположена,

как

показано на рис. 4.

Задача 6. Уравнение плоскости 6x − 3y − 2z + 35 = 0

при-

µ = −

1

= −

1

62 + (− 3)2 + (− 2)2

7