Математика

вательно,

1

+

1

= 1. Поскольку эксцентриситет эллипса ε =

c

,

a2

b2

a

c

=

3

. Значит,

a =

5c

.

a 5

3

Для определения c2 получаем уравнение

9

+

9

= 1.

25c2

16c2

Тогда c2 =

369

,

b2 =

41

,

а2 =

41

.

400

25

16

Каноническое уравнение эллипса

x2

+

y2

= 1.

41

41

16

25

условию

2a = 20,

2c = 30.

Значит,

a = 10,

c = 15,

a2 = 100,

c2 = 225.

Величины a, b, c у гиперболы связаны соотношени-

ем (8) a2 + b2 = c2.

Отсюда

b2 = c2 − a2 = 225 − 100,

b2 = 125.

Значит, уравнение гиперболы будет

x2

−

y2

= 1.

100

125

раболы следует искать в виде y2 = 2 px.

Подставляя в это урав-

нение

координаты

точки A, будем иметь

1 = 8 p,

p =

1

, 2 p =

1

. Искомым уравнени-

8

4

Рис. 18

Эскиз этой параболы показан на рис. 18.

Решение.

y) – произвольная «текущая» точка линии. Из

Пусть M (x;

условия задачи видно, что d1 – расстояние от точки M (x; y)

до

A(0; 1) в два раза меньше, чем d2

– расстояния от M (x; y)

до

прямой y − 4 = 0.

Расстояние

между

точками

определяем по формуле

d1 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 , d1 = (x − 0)2 + (y − 1)2 .

Расстояние точки до прямой определяем по формуле

d2 =

Ax0 + By0 + C

, d2

=

y − 4

.

A2 + B2

1

Поскольку d2 = 2d1,

2 x2 + (y − 1)2

= y − 4 .

Возводим обе части равенства в квадрат, получаем:

4(x2 + (y −1)2 )= (y − 4)2 ;

Основные формулы

Определения и замечания

и рисунки

1.

Преобразованием системы коорди-

нат называется переход от одной

системы координат к другой. При

таком переходе надо установить

формулы, позволяющие по извест-

ным координатам точки в одной

системе координат (XOY : M

(x; y))

определить ее координаты в другой

Рис. 1

(X ′O′Y′ : M (x′; y′)) (рис. 1).

Следует запомнить, что главной

целью преобразования координат

является определение такой коор-

динатной системы, в которой

уравнение данной линии становит-

ся наиболее простым. Преобразо-

вание уравнения кривой второго

порядка к каноническому

виду

достигается в общем случае:

а) параллельным переносом ко-

ординатной системы без изменения

направления осей;

б) поворотом осей.

Основные формулы

Определения и замечания

и рисунки

2.

При переходе от системы коорди-

нат

XOY к новой системе X ′O′Y′

(направление осей координат преж-

нее, за новое начало координат

принята точка O′(x0 ; y0 ) (рис. 2))

связь между старыми и новыми ко-

ординатами точки M плоскости оп-

ределяется формулами (1).

Рис. 2

Замечание 1.

Первоначальную систему коорди-

x′ = x − x0 ,

нат иногда называют исходной,

(1)

иногда – старой.

y′ = y − y0.

Замечание 2.

x, y – координаты точки M в старой

системе координат .

x′,

y′ – координаты этой точки

в новой системе координат.

x0 ,

y0 – координаты нового нача-

ла O′ в старой системе координат.

3.

При повороте осей координат на

угол α (начало координат прежнее,

причем α отсчитывается против

часовой стрелки; рис. 3) зависи-

мость между старыми координата-

ми

(x; y) и новыми (x′; y′) опреде-

ляется формулами (2).

Рис. 3

x = x′ cos α − y′ sin α,

(2)

y = x′ sin α + y′ cos α.

а)

(x − 1)2

+

(y + 1)2

= 1;

б)

(x + 2)2

−

(y + 3)2

= 1;

9

4

25

16

x′2

y′2

Каноническое уравнение эллипса

+

= 1 (рис. 4).

9

4

§ 8. Упрощение общего уравнения кривой

второго порядка

Основные формулы

Определения

и замечания

1. Общее уравнение кривой второго

Кривой второго порядка

порядка

называется линия, опре-

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F =

0 . (1)

деляемая

уравнением

второй

степени

относи-

тельно

текущих

декар-

товых координат.

Замечание.

A, B, C, D, E, F – дейст-

вительные числа, и, кро-

ме того, по крайней

мере, одно из чисел A, B

или С отлично от нуля.

2. B = 0,

Для того чтобы опреде-

Ах2 + Су2 + Dx + Ey + F = 0.

(2)

лить, какую линию оп-

ределяет

уравнение (2)

при

заданных

числен-

ных значениях коэффи-

циентов, выделим в ле-

вой части этого уравне-

ния

две группы членов

Ax2 + Dx

и Cy2 + Ey,

вынесем A и C за скобки

и дополним каждую из

них до полного квадрата.

Применяя формулы (1)

§ 7 параллельного пере-

носа, приведем уравне-

ние

к

каноническому

виду.

Основные формулы

Определения

и замечания

3.

B ≠ 0,

Поскольку

уравнение

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0.

(3)

содержит член с произ-

ведением координат,

его

упрощение

следует

на-

чать

с поворота

осей

системы координат, ис-

пользуя формулы (2) § 7.

α – угол поворота сис-

темы

координат

XOY

вокруг точки O(0; 0).

4.

ctg 2α =

A − C

.

(4)

При надлежащем выбо-

B

ре угла α можно осво-

бодиться от члена, со-

держащего произведение

координат.

Вот почему

угол α определяется

из

формулы (4).

Замечание.

Условимся угол 2α вы-

бирать в I или II четвер-

ти, так чтобы 0 < α < π .

2

5.

cos 2α =

ctg 2α

(5)

Замечание.

1+ ctg2 2α .

Знаки

cos 2α и

ctg 2α

в I и II четверти совпа-

дают.

6. Зная cos 2α, найдем:

cos α =

1+ cos 2α ,

2

Основные формулы

Определения

и замечания

sin α =

1− cos 2α .

(6)

2

7. A x′2

+ C y′2 + D x′ + E y′ + F = 0. (7) В результате

поворота

1

1

1

1

системы XOY

на ука-

Замечание.

Уравнение

(1) всегда

определяет: либо ок-

ружность, либо эллипс,

либо гиперболу,

либо

параболу.

При

этом

возможны

случаи

рас-

пада и вырождения этих

кривых.

8. Мнимый эллипс

x2

+

y2

= −1.

(8)

a2

b2

9. Точка M 0 (x0 ;

y0 )

Уравнению

второй

сте-

(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = 0 .

пени удовлетворяют ко-

(9) ординаты

единственной

точки M0

(x0; y0 ).

Основные формулы

Определения

и замечания

10. Уравнение

x2 − y2 = 0

можно за-

Уравнение

x2 − y2 = 0

писать в виде

есть уравнение двух пе-

(x − y)(x + y)= 0

(10)

ресекающихся прямых.

(пересекающиеся прямые).

y = ± x (биссектрисы ко-

ординатных углов) пере-

секаются между

собой

в начале координат.

11.

y2 = a2

или x2 = b2

(11)

Уравнение y2 = a2 мож-

(параллельные прямые).

но

записать

в

форме

(y − a)(y + a)

= 0 .

y = ±a . Следовательно,

уравнение

y2 = a2 есть

уравнение

двух

парал-

лельных прямых. Ана-

логично для x2 = b2.

12. Уравнение

(x − y)2 = 0

равносильно

x2 − 2xy + y2 = 0

(12)

уравнению

прямой

может

быть

переписано

в

виде

x − y = 0 (биссектрисы I

(x − y)2 = 0 (две сливающиеся

пря-

и

III координатных уг-

мые).

лов).

Замечание.

x2 + 2xy + y2 = 0

может

быть переписано в виде

(x + y)2 = 0

(биссектри-

сы II и IV координатных

углов).