Математика

1

2

2

0

1 2

2

0

1

2

2

0

~ 0 10

2

6

~ 0

10

2

6

~ 0

5

1

3 .

0

− 10

− 35

60

0

0

− 33

66

0

0

1

− 2

x1 + 2x2 + 2x3 = 0,

= 3,

5x2 + x3

x3 = −2,

x1 + x2 + x3 + x4 = 1,

+ x2

+ 2x3 + x4 = 0,

x1

+ x2

− x3 + x4 = 3.

x1

к ступенчатому виду:

1 1

1 1

1

1

1

1 1

1

1

1

1

1

1

A = 1 1

2 1

0

~ 0

0

1 0

− 1

~ 0

0

1

0

− 1 ~

− 1 1

3

0

−

2 0

2

0

0

0

0

0

1 1

0

1

1

1

1

1

~

0

0

1

.

0

− 1

матрицы, отличный от нуля M =

1

1

= 1 ≠ 0 .

0

1

Базисный минор стоит на пересечении 1-й и 2-й строк со

2-м и 3-м столбцами.

Таким образом, x2

и x3

–

базисные неизвестные, а x1

и x4 – свободные неизвестные системы.

x1 + x2 + x3

+ x4 = 1,

= −1.

.

x3

Пусть x1 = α , x4 = β ,

тогда

x2

+ x3 = 1− α − β,

Отсюда

= −1.

x3

x2 = 2 − α − β .

x1 = α,

= 2 − α − β,

Общее решение системы

x2

= −1,

x3

= β.

x4

Положив, например,

α = 1,

β = 1, получаем одно из частных

решений: x1 = 1, x2 = 0, x3 = −1,

x4 = 1.

Основные формулы

Определения

и рисунки

и замечания

1.

Вектор – это направлен-

A

B

ный отрезок прямой.

Рис. 1

Следует запомнить: век-

тор обозначается

обычно

двумя буквами.

Сначала

пишется буква, указы-

вающая начало, а потом –

буква, указывающая конец

вектора; например, на рис.

1 изображен вектор

.

AB

Замечание. Вместо того

чтобы писать перед бук-

вами слово «вектор», для

краткости условились ста-

вить над этими

буквами

черту сверху.

Основные формулы

Определения

и рисунки

и замечания

2.

Вектор можно обозначить

a

и одной буквой:

a

(рис. 2).

Рис. 2

3. Длина вектора:

Длина вектора называется

,

.

(1)

его модулем и обозначает-

AB

a

ся символом

или

.

AB

a

4.

– нулевой вектор.

Вектор,

длина

которого

0

равна

нулю,

называется

нулевым вектором.

Следует запомнить: ну-

левой вектор направления

не имеет.

5.

– единичный вектор.

Вектор,

длина

которого

e

равна единице,

называется

единичным вектором.

6.

Векторы,

расположенные

на одной прямой или па-

раллельных прямых, на-

зываются

коллинеарными

(рис. 3).

Рис. 3

7.

Два

вектора называются

равными, если они:

– имеют равные модули;

– коллинеарны;

Рис. 4

– направлены в одну сто-

рону (рис. 4).

=

или

=

.

(2)

AB

CD

a

b

Основные формулы

Определения

и рисунки

и замечания

8.

и

– противоположные

Вектора противополож-

AB

BA

ные, если они:

векторы или a и − a.

– имеют равные модули;

– коллинеарны;

– направлены в

противо-

положную сторону (рис. 5).

Рис. 5

9.

Три вектора в пространст-

ве

называются

компла-

нарными, если они лежат

в одной плоскости или па-

раллельны некоторой плос-

кости (рис. 6).

Рис. 6

10.

Проекцией вектора

на

a

ось l называется длина от-

резка A′B′, заключенного

между проекциями начала

и конца вектора на эту

ось. Этой длине приписы-

вается знак плюс, если на-

правление отрезка A′B′

совпадает с направлением

оси, и знак минус, если

Рис. 7

его

направление

противо-

положно направлению оси.

прl a =

a

cos ϕ .

(3)

Основные формулы

Определения

и рисунки

и замечания

Следует запомнить:

проекция

вектора

на

ось

положительна, если век-

тор образует с осью ост-

рый угол, и отрицательна,

если

вектор

образует

с осью тупой угол (рис. 7).

11. Если

для

вектора

известны

Проекции

вектора

на

ко-

a

координаты его начала A(x1, y1, z1 ) и

ординатные оси называют

координаты его конца

B(x2 , y2 , z2 ),

также его (декартовыми)

то проекции вектора

на оси коор-

координатами.

a

Следует запомнить,

что

динат определяются по формулам:

координаты вектора

рав-

a

x

= x

− x ,

ны

разностям

соответст-

2

1

вующих

координат

его

ay

= y2 − y1,

(4)

= z2 − z1,

конца и начала.

az

= {x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1}.

AB

12.

Модуль

вектора

через его

Модуль

вектора

равен

проекции

на

оси

прямоугольной

арифметическому

значе-

системы координат вычисляется по

нию квадратного корня из

формуле

суммы квадратов его про-

a =

2

2

2

=

екций.

ax

+ ay

+ az

(5)

(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 .

13. Радиус-вектор точки

M (x, y, z)

Если вектор

исходит из

r

обозначается через

начала координат, а его

= {x, y, z}.

(6)

конец М имеет координа-

r

Модуль радиус-вектора точки

ты

x, y, z,

то

тогда

его

проекции

на

координат-

M (x, y, z)

вычисляется по формуле

Основные формулы

Определения

и рисунки

и замечания

r = x2 + y2 + z2 .

(7)

ные оси равны координа-

там его

конца: ах = х;

ay = y; az

= z .

координат, то проекции вектора

a

на координатные оси будут равны:

a

cosα, cosβ, cos γ

–

назы-

x

=

a

cos α,

вают

направляющими

ay =

cosβ,

(8)

a

косинусами вектора

a

a

z

=

a

cos γ.

(рис. 8).

15. cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.

(9) Сумма квадратов направ-

ляющих

косинусов

нену-

левого вектора равна еди-

нице.

Замечание 1.

Данное

равенство

позво-

ляет определить

один

из

Основные формулы

Определения

и рисунки

и замечания

углов α, β, γ, если извест-

ны два других.

Замечание 2.

Координатами единичного

вектора

являются числа

e

cosα,

cosβ, cos γ , т.е.

cosα = − 1 ; cosβ =

2 ; cos γ =

6 .

41

41

41

cos

2

γ = 1 − cos

2

α − cos

2

2

2

1 2

1

−

1

=

1

β = 1 −

−

= 1 −

;

2

2

2

4

4

cos γ = ±

1

.

2

Поскольку γ – тупой угол, следовательно,

cos γ = −

1

. Про-

2

ax

= 2

2 =

2,

2

ay

= 2 1

= 1,

2

az

= 2

−

1

= −1,

2

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

1. Пусть

и

– два произволь- Возьмем произвольную точку

a

b

ных вектора.

О и построим вектор

=

;

OA

a

затем от точки А отложим

вектор

=

. Вектор

,

AB

b

OB

соединяющий начало первого

слагаемого вектора с концом

второго,

называется суммой

этих векторов и обозначается

=

+

(правило треуголь-

Рис. 1

c

a

b

ника) (рис. 1).

2.

На рис.

2 показано сложение

четырех векторов:

,

,

,

.

a

b

c

d

Рис. 2

3.

Сумму двух векторов можно

построить

также

по правилу

параллелограмма.

Отложим

от

точки

О векторы

=

OA

a

и

=

.

Построим на этих

OB

b

векторах как на сторонах па-

раллелограмм OACB. Вектор

, служащий

диагональю

OC

параллелограмма,

проведен-

Рис. 3

ной из вершины О, является

Модуль вектора

вычисляется

суммой векторов

+

(рис. 3).

c

a

b

по формуле