Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.03.2016

Размер:

1.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 178 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Задачи

Задача 1. Найти скалярное произведение векторов 3a − 2b

и 5

− 6

, если

= 4,

= 6,

π .

Решение.

Имеем

(3a − 2b)(5a − 6b)= 15a2 −10ab − 18ab + 12b2 = = 15a2 − 28ab + 12b2

(используем свойства скалярного произведения – формулы (5), (6), (7)). По формулам (2) и (9), получаем:

= 16,

= 36, ab =

cos a

b = 4 6

= 12 ,

− 2

)(5

− 6

)= 15 16 − 28 12 + 12 36 = 336.

Задача 2.

Даны точки A(0; 3; − 5),

B(1; − 2; 3)иС(−3; 2;1) .

Вычислить (3

)(2

− 4

Решение.

Найдем координаты векторов

= {1; − 5; 8},

= {4; − 4; + 2}.

противоположен вектору

следовательно,

= {− 1; 5; − 8}. Аналогично BC = {− 4; 4; − 2}.

(3AB + CB)= {7; − 19; 26}; (2BC − 4BA)= {− 4; − 12; 28}.

По формуле (10) найдем:

(3AB + CB)(2BC − 4BA)= 7 (− 4)+ (− 19)(− 12)+ 26 28 =

= −28 + 228 + 728 = 928 .

Задача 3.

При каком

m векторы

= mi +

= 3i − 3

+ 4

перпендикулярны?

Решение.

Находим

скалярное

произведение

этих

векторов

то

т.е.

ab = 3m − 3. Поскольку a b,

ab = 0. Отсюда 3m − 3 = 0,

m = 1.

Задача 4.

Вычислить

угол, образованный

векторами

a = {1; − 5; 4} и b = {− 3; 2; 7}.

Решение.

Используя формулу (11'), получаем

cos ϕ =

1 (− 3)− 5 2 + 4 7

= − 3 − 10 + 28 =

12 + (− 5)2 + 42 (− 3)2 + 22 + 72

2 651

ϕ = arccos

15 .

651

Задача 5.

Даны векторы

= 2i + 2

= 6i + 3

2k .

Найти прa b и прb a .

Решение.

Используя формулу (13), получаем:

пр		b = ab = 2 6 + 2 3 + 1 2 = 12 + 6 + 2 = 20 ,
пр	a	b = ab = 2 6 + 2 3 + 1 2 = 12 + 6 + 2 = 20 ,
	a	a			4 + 4 + 1	3	3
		a			4 + 4 + 1	3	3
		пр	b	a = ab	= 2 6 + 2 3 + 1 2	= 20 .
			b	b	36 + 9 + 4	7
				b	36 + 9 + 4	7

Задача 6. Дан вектор a = 2i + 5 j + k. Найти его проекцию

на ось u, составляющую с координатными осями равные острые углы.

Решение.

Поскольку ось u составляет с координатными осями равные острые углы, т.е. α = β = γ, то cos α = cosβ = cos γ.

Но	cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 , и,			т.к. в этой		сумме все
слагаемые		между	собой равны,	3cos2 α = 1;		cos2 α =	1	;

						3
cosα =	1 ,	тогда	cosα = cosβ = cos γ = 1		(знак	плюс перед
	3			3

корнем взят потому, что по условию углы α, β, γ – острые, значит, косинусы их положительны). Поскольку по условию x = 2,

	y = 5,		z = 1, по формуле (14) получаем прu a = 2 1 + 5							1 +
									3	3
+ 1 1			= 8 .
3			3
		Задача 7.		Вычислить, какую работу производит						сила
		= {3; − 2; − 5},		когда точка ее приложения, двигаясь прямоли-
	F	= {3; − 2; − 5},		когда точка ее приложения, двигаясь прямоли-
нейно,			перемещается из положения					M1(2; − 3; 5)	в положение
	M 2 (3; − 2; −1).
		Решение.					= {1; 1; − 6}.
		Находим			=			Тогда по	формуле	(15)
		Находим		S	=	M1M 2		Тогда по	формуле	(15)

A = F S = 3 1 + (−2) (1) + (−5) (−6) = 3 − 2 + 30 = 31 (ед. раб.).

§ 5. Векторное произведение двух векторов

Основные формулы и рисунки

Определения и замечания

Три некомпланарных век-

тора

, приведен-

ные к общему началу, взя-

тые в указанном порядке,

образуют

правую

тройку,

если с конца третьего век-

тора

кратчайший поворот

от

первого вектора

ко

Рис. 1

Рис. 2

второму

виден совер-

шающимся против часовой

стрелки (рис. 1), и левую,

если по часовой (рис. 2).

Обозначение векторного произ-

Следует

запомнить,

что

ведения:

результате

векторного

(1)

произведения

двух

векто-

или

ров получается вектор.

[

, если:

Векторным произведением

вектора

на вектор

на-

a × b

sin ϕ ;

зывается

такой вектор

;

(2)

(рис. 1), который:

(

) – правая тройка.

1) имеет

модуль,

равный

sin ϕ, где ϕ – угол меж-

ду векторами

;

2) перпендикулярен к плос-

кости векторов

;

3) направлен

так,

чтобы

Основные формулы и рисунки

Определения и замечания

тройка векторов (

)

была правой.

Свойства векторного

произведения

= −(

(3)

Следует запомнить, что

от

перестановки

множите-

лей

векторное

произведе-

ние меняет направление на

противоположное, сохраняя

(λ

)×

= λ(

)

модуль.

(4)

Сочетательное свойство по

отношению к скалярному

и a × (λb)= λ(a × b).

множителю.

× (

(5)

Распределительное свойст-

во.

= 0 , если

= 0, либо

= 0,

Замечание: в частности,

либо

= λ

(6)

= 0.

8. Если

= ax i + ay

+ az

= bx i + by

+ bz

, то

Определитель раскрывается

a × b =

по элементам первой стро-

ки.

, −

. (7)

Основные формулы и рисунки Определения и замечания

Приложение векторного произведения

кгеометрии и механике

9.Нахождение площади параллелограмма и треугольника.

Согласно определению век-

торного

произведения

век-

торов

Рис. 3

sin ϕ ,

a × b

Sпараллелограмма =

(8)

т.е.

Sпараллелограмма =

S∆ =

a × b

(9)

(рис. 3).

10. Момент силы

Пусть точка А твердого те-

ла неподвижно закреплена,

АВ

(10)

а в точке B (рис. 4) прило-

жена сила

При

этом

F .

возникает

вращающий

мо-

мент,

численно

равный

sin ϕ

–

площади

параллелограмма,

постро-

енного

на

векторах

Вектор

представля-

ет собой момент

силы

Рис. 4

относительно точки А.

Задачи

Задача 1. Раскрыть скобки и упростить выражение

(2a + b)× (c − a)+ (b + c)× (a + b).

Решение.

Используя свойства векторного произведения (формулы

(4), (5), получаем

(2a + b)× (c − a)+ (b + c)× (a + b)= 2(a × c)+ (b × c)− 2(a × a)−

− (b× a)+ (b× a)+ (c × a)+ (b× b)+ (c × b)= a × c,

т.к. a × a = 0, b × b = 0, b × c = −(c × b), c × a = −(a × c).

Задача 2. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a = m + 2n и b = 2m + n , где m, n – единичные векторы, образующие угол 30°.

Решение.

(

+ 2

)× (2

)

Sпараллелограмма =

(

)×

= 2(

)+ 4(

)+ (

)+ 2(

)= 3(

т.к.

= 0,

= −(

);

a × b

3(n × m)

= 3

;

sin n

m = 3 1 1 sin 30° = 1,5

Sпараллелограмма

= 1,5.

Задача 3. Найти векторное

произведение векторов

a = 2i + 3 j + 5k и b = i + 2 j + k .

Решение.

По формуле (7) имеем

= i

3 5

−

2 5

2 3

= −7i + 3

2 3 5

= −7i + 3

Задача 4. Найти площадь треугольника, координаты вер-

шин которого известны: A (–2; 1; 2), B (3; –3; 4), C (1; 0; 9).

Решение.

Рассмотрим

векторы

. Площадь треугольника ABC

есть половина площади параллело-

грамма, построенного на векторах

, S∆

Sпараллелограмма

Найдем проекции векторов

на координатные

оси:

= {5; − 4; 2},

= {3; − 1; 7}.

По формулам (7) для векторного произведения векторов

найдем, что

5 − 4 2

= −26i − 29

+ 7

− 1

(− 26)2 + (− 29)2 + 72

1566 ,

S∆ABC = 1 AB × AC = 1

1566,

S∆ABC ≈ 19,787 кв. ед.

Задача 5. Дана сила F = {3; 4; − 2} и точка ее приложения

A (2; –1; 3). Найти момент силы относительно начала координат и углы, составляемые им с координатными осями.

Решение.

Момент силы относительно начала координат равен векторному произведению радиуса – вектора точки А приложения

силы на силу F, т. е. M0 = r × F.

Проекции радиуса – вектора точки А на координатные оси равны координатам точки А, r = 2i − j + 3k.

Проекции X, Y, Z силы F на координатные оси нам также

известны из условия задачи:

x = 3, y = 4, z = −2

и тогда форму-

ла (10) дает

2 − 1 3

= −10i + 13

+ 11

− 2

Отсюда M x = −10,

M y = 13,

M z = 11

и модуль момента

M x2 + M y2 + M z2 =

(−10)2 + 132 + 112 ,

= 390 ,

≈

M 0

≈ 19,748.

Направляющие

косинусы вектора

равны:

cosα =

= −

≈ −0,506 ,

cosβ =

≈ 0,658 ,

cos γ =

≈

19,748

≈ 0,557,

а углы, составляемые моментом силы с координатными

осями, следующие: α = 120°24′ , β = 48°51′ , γ = 56°9′.

Проверка: должно быть

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.

У нас

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 0,999.

§ 6. Смешанное произведение трех векторов

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

1. Обозначение смешанного

произве-

дения

abc .

(1)

= (

)

(2)

Смешанным

произве-

abc

дением

трех

векторов

называется

число, равное вектор-

ному

произведению

умноженному

скалярно на вектор

Следует

запомнить,

что в результате сме-

шанного

произведения

трех векторов

получа-

ется число.

Тройка векторов

abc > 0 ,

(3)

abc < 0 .

(4)

– правая.

Тройка векторов

– левая.

– ком-

Следует

запомнить,

abc = 0 векторы

планарные.

(5)

что для того, чтобы три

вектора

были

компла-

нарны,

необходимо

достаточно,

чтобы

их

смешанное

произведе-

ние было равно нулю.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 178 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.11.2019475.65 Кб5Мат. стат. Лекция 3.doc
#
29.03.2015385.02 Кб119мат.вед.doc
#
14.11.2019620.54 Кб18Мат_моделирование_Рудакова.doc
#
25.09.20193.34 Mб4матан.doc
#
27.11.20191.38 Mб8Матем. стат. лаб №1.doc
#
13.03.20161.92 Mб87Математика.pdf
#
29.03.20154.02 Mб80Математическая статистика.doc
#
23.08.2019129.02 Кб5математическая экономика_КР.doc
#
29.03.2015945.66 Кб31Математическое моделирование В46_.doc
#
13.03.201668.73 Кб25Материал для гос.экзамена по ИГУ.docx
#
13.03.20161.06 Mб72Материаловедение введение.doc