Математика

Задачи

Задача 1.

2 1

1

− 1

=

2 + 1

1 − 1

3

0

+

=

.

− 2

3

1

1

3 + 1

− 2 + 1

4

− 1

Задача 2.

3 − 1

5

1 1 − 4

4 0

1

+

=

.

− 2 3

0 1

− 2

2

2

− 1 1

Задача 3.

Найти матрицу 3А – 2В, если

2

−1

3

6

1 0

A = 4

0

2 ,

B = − 1

1 − 6 .

− 2

− 1

1

3

2 1

Решение.

6 − 3 9

12

2 0

Имеем 3A =

12

0

6 ,

2B = − 2

2 − 12 ,

− 3 − 6 3

6

4 2

Задача 4.

5 1+ 3 (− 2)

(− 3)+ 3

1

5

3

1

− 3

5

=

=

− 4

− 4 1+ 1 (− 2)

1

− 2

1

− 4 (− 3)+ 1 1

−1

−12

=

.

13

− 6

1 2 1

1

3

8

5

4

0

=

.

3 5

− 3 2×3

− 1

2

26

3 2×2

3×2

Задача 6.

1

(3 4)

= (3

+ 8) = (11)

.

1×2

1×1

2 2×1

Основные формулы

Определения

и замечания

1. Определитель второго порядка:

Определителем

a11

a12

= a

a

− a

21

a .

(1)

2-го порядка на-

a21

a22

11

22

12

зывают число, ко-

торое получается

из элементов

квадратной мат-

рицы

a11

a12

A =

a22

a21

по указанному

правилу.

2. Обозначение определителя:

Определитель

∆(A)илиdet A.

(2)

матрицы А также

называют

ее

де-

терминантом.

Основные формулы

Определения

и замечания

Свойства определителя второго

порядка

a

a

a

a

Величина опре-

3.

11

12

=

11

21

.

(3)

делителя не из-

a21

a22

a12

a22

менится, если его

строки поменять

местами с соот-

ветствующими

столбцами.

a

a

a

a

При перестанов-

4.

11

12

= −

21

22

.

(4)

ке двух строк

a21

a22

a11

a12

(или столбцов)

определитель из-

менит знак на

противополож-

ный.

a

ka

a

a

Общий множи-

5.

11

12

= k

11

12

.

(5)

тель всех элемен-

a21

ka22

a21

a22

тов строки (или

столбца) можно

выносить за знак

определителя.

a

a

Если все элемен-

6.

11

12

= 0 .

(6)

ты какой-либо

0

0

строки (или

столбца) равны

нулю, то опреде-

литель равен ну-

лю.

Основные формулы

Определения

и замечания

a

a

= 0.

Определитель

7.

11

12

(7)

с двумя одинако-

a11

a12

выми строками

(или столбцами)

равен нулю.

a

a

= 0 .

Определитель,

8.

11

12

(8)

у которого эле-

ka11

ka12

менты двух строк

(столбцов) соот-

ветственно про-

порциональны,

равен нулю.

9.

a11

a12 + b

=

a11

a12

+

a11

b

.

(9)

Если элементы

a21

a22 + c

a21

a22

a21

c

какого-либо

столбца (или

строки) определи-

теля представля-

ют собой суммы

двух слагаемых,

то определитель

может быть раз-

ложен на сумму

двух соответст-

вующих опреде-

лителей.

Основные формулы

Определения

и замечания

10.

a11

a12

=

a11 + λa12

a12

.

(10)

Если к элементам

какой-либо стро-

a21

a22

a21 + λa22

a22

ки (или столбца)

определителя

прибавить соот-

ветствующие

элементы другой

строки (или

столбца), умно-

женные на одно

и то же число, то

величина опреде-

лителя не изме-

нится.

11. Определитель третьего порядка:

aij – элементы

a11

a12

a13

определителя

∆ =

a21

a22

a23

.

(11)

(i =

).

1, 3, j =

1, 3

a31

a32

a33

Следует запом-

нить, что эле-

менты a11, a22 ,

a33

образуют

главную диаго-

наль определите-

ля, элементы a31,

a22 ,

a13 состав-

ляют его побоч-

ную диагональ.

Основные формулы

Определения

и замечания

12. Вычисление

определителя третьего

по-

Данное правило

рядка по правилу треугольников:

заключается

a11

a12

a13

в том, что первые

a21

a22

a23

= a11a22a33 + a12a23a31 +

три слагаемых

(12)

в правой части

a31

a32

a33

равенства (12)

+ a21a32a13 − a31a22a13 − a32a23a11 − a21a12a33.

вычисляются так,

как это показано

на рис. 1. Они

представляют со-

бой произведения

элементов, стоя-

щих на главной

диагонали и вер-

Рис. 1

Рис. 2

шинах двух тре-

угольников, у ко-

торыходна изсто-

рон параллельна

главной диагона-

ли. Остальные

три слагаемых

правой части ра-

венства (12) вы-

числяются анало-

гично (рис. 2),

только за основу

взята побочная

диагональ. При-

чем эти слагае-

мые берутся с об-

ратным знаком.

Основные формулы

Определения

и замечания

13.

Минор данного элемента

определителя

Минором данного

третьего порядка.

элемента опреде-

Mij .

(13)

лителя третьего

порядка называ-

ется определи-

тель второго по-

рядка, получен-

ный из данного

определителя вы-

черкиванием

строки и столбца,

на пересечении

которых стоит

данный элемент.

14.

Aij – алгебраическое дополнение данного

Алгебраическое

элемента определителя третьего порядка.

дополнение дан-

ного элемента –

Aij = (− 1)i+ j Mij .

(14)

это минор, взя-

тый со знаком

«плюс», если

сумма i + j –

четное число,

и со знаком «ми-

нус», если эта

сумма нечетная.

Замечание.

Здесь i означает

номер строки,

а j – номер

столбца, на пере-

сечении которых

находится дан-

ный элемент.

Основные формулы

Определения

и замечания

15. Разложение

определителя

по

элементам

Определитель

строки (или столбца).

равен сумме

a11

a12

a13

произведений

∆ =

a

21

a

22

a

23

= a

A

+ a

A

+ a

A

; (15)

элементов какой-

11

11

12

12

13

13

либо строки (или

a31

a32

a33

столбца) на их

∆ = a21A21 + a22 A22 + a23 A23 ;

алгебраические

∆ = a31A31 + a32 A32 + a33 A33 ;

дополнения.

∆ = a11A11 + a21A21 + a31A31 ;

Замечание.

∆ = a12 A12 + a22 A22 + a32 A32 ;

Формула (15) –

это разложение

∆ = a13 A13 + a23 A23 + a33 A33 .