11. Функционалдық тізбектер және қатарлар. Функционалдық тізбектер мен қатарлар бірқалыпты жинақтылығының жеткілікті белгілері.

Жалпы тізбек деп барлық оң бүтін сандар жиынында анықталған функция аталады.Нақты сандар жиыны берілсін. Егер әр n оң бүтін санына E жиынында берілгенфункциясы сәйкес қойылса, онда осы сәйкестікЕ жиынында анықталған функциялық тізбек деп аталады.

Сандық қатар сандық тізбектің арнайы түрі болса да, көп жағдайда пайдалы түр екені туралы алдыңғы тарауда айтылған еді. Сол сияқты, функциялық тізбекті функциялық қатар ретінде қарастыру да көптеген жағдайда ұтымды болады. Е нақты сандар жиынында функциялық тізбегі берілсін.

cимволыфункционалдық қатар деп аталады.

Функционалдық тізбектер мен қатарлар бірқалыпты жинақтылығының жеткілікті шарты, Дини* теоремасы. [a, b]cегментінде анықталған және сонда f(x) функциясына нүктелі жинақталатын функциялық қатар берілсін. Егерде f(x) функциясы мен әр n(n=1,2,…) үшінфункциялары [a, b] сегментінде үзіліссіз болып, әр n(n=1,2,…) менүшінтеңсіздігі орындалса, ондақатары сегментінде бірқалыпты жинақталады.

12. Дәрежелік қатарлар және олардың жинақталу облысы.Дәрежелік қатарлар мүшелеп интегралдау және мушелеп диффференциалдау. Функцияларды дәрежелік қатарларға жіктеу.

түрінде

берілген функциялық қатар дәрежелік қатар деп аталады. Мұндағы

- нақтысандар.

А б е л ь т е о р е м а с ы. 1. Егердәрежелікқатар0 х хболғандажинақты

болса, ондаx x0 теңсіздігінқанағаттандыратынәрбірх үшін де қатар

жинақтыболады.

2. Егердәрежелікқатар1 х хболғандажинақсызболса, ондаx x1

теңсіздігінқанағаттандыратынәрбір х үшін де қатаржинақсызболады.

Абель теоремасынанмынадайтұжырымжасауғаболады: Кезкелген

дәрежелікқатардыңжинақтыоблысыретіндеa R x a R интервалы

алынады. Мұндағы R-жинақты радиусы, ал a R, a Rжинақты интервалы

депаталады.

x a R нүктелеріндеқатардыңжинақтылығынтексеруүшіндәрежелік

қатарғаx a R мәндерінқойғандапайдаболатынсандыққатардыңтексеру

жеткілікті.

ЕгерR 0 болса, ондадәрежелікқатар тек x a нүктесіндежинақты

болады.

ЕгерR болса, ондадәрежелікқатар х-тіңкезкелгенмәніндежинақты

болады.

Дәрежелікқатардыңжинақты радиусы

формулаларыменесептеледі.

Жинақтыинтервалындадәрежелікқатардыкезкелгенретмүшелеп

дифференциалдауғажәнеинтегралдауғаболады.

Теорема: Дәрежелік қатардың мүшелерін дифференциалдағаннан немесе интегралдағаннан шыққан қатарлар үшін берілген қатардың жинақтылық радиусы өзгермей қалады.

Дәлелдеу: Берілген қатарының жинақтылық радиусы R болсын. Сонда

Шегі |x|<R болғанда 1-ден кіші, ал |x|>R болғанда 1-ден үлкен. Берілген қатардың мүшелерін дифференциалдан, мынадай қатар құралық:

Енді (3) қатардың жинақтылық радиусы есептелік:

Енді (3) қатардың жинақтылық радиусы R-ге тең, яғни берілген қатардың жинақтылық радиусымен бірдей.

Енді теоремманың екінші бөлігін дәлелделік. Берілген қатардың мүшелерін интегралдағанда шыққан.

Қатардың жинақтылық радиусы R₁ болса, (4) қатардың дифференциалдасақ, жаңа ғана дәлелдегеніміз бойынша, жинақтылық радиусы өзгермей R₁ болыпқалады. Ал (4) қатарды дифференциалдасақ, бастапқы қатарының өзі шығады. ДемекR₁=R.

2. y=sinx және y=cosx функциаларын қатарға жіктеу f(x)=sinx функциясын қарастыралық. Туындыларды тапсақ:

x=0, болғанда f(0)=0, f’(0)=1, f”(0)=0, f’^v(0)=-1

Сөйтіп, х=0 нүктесінде f⁽ⁿ⁾(x) функциясының мәндері n-нің жұп және тақ мәндерінде алма кезек 1 мен -1.

Демек f⁽²ⁿ⁺¹⁾(0)=(-1)ⁿ

Бұл жерде нөмерлеуді 0-ден бастаймыз. Жоғарыдағы жазылған теңдіктерден барлық -∞<х<∞ үшін туындылардың шектелгендігін аңғарамыз. Олай болса, sinx функциясы үшін төмендегідей жіктеу шығады.